中学受験算数 平面図形を克服する方法

中学受験算数で平面図形を克服しにくい理由

この記事では、中学受験算数の平面図形を克服したいご家庭に向けて、つまずきの原因と家庭でできる具体的な立て直し方を順番に解説します。

公式を覚えても図の見方が身についていない

中学受験算数の平面図形を克服しにくい理由の一つは、公式を覚えていても、図のどこを見ればよいかが分からないことです。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」、三角形の内角和は180度。これらの基本公式を覚えている子は多いです。ところが、実際の問題になると手が止まることがあります。

その原因は、公式を使う場所を自分で見つけなければならないからです。たとえば、三角形が斜めに描かれていると、どこを底辺にするのか、どこが高さなのかを判断する必要があります。角度問題でも、三角形の内角和を使うには、どの三角形に注目するかを決めなければなりません。

平面図形は、公式を暗記する単元ではなく、図の中から使える条件を見つける単元です。克服するには、まず「公式を覚え直す」よりも「図を見る順番」を整えることが大切です。

補助線や比をひらめきで解こうとしてしまう

平面図形が苦手な子は、補助線や比を「ひらめき」で解くものだと思いがちです。解説を見ると、一本の線を引いた瞬間に答えが見えるように感じるため、「自分には思いつけない」と不安になってしまいます。

しかし、補助線は偶然のひらめきではありません。目的があります。三角形を作るため、平行線を使うため、同じ高さを見つけるため、相似な図形を見つけるため、面積を分けるために引きます。

比についても同じです。辺の比、面積比、相似比はそれぞれ意味が違います。同じ高さの三角形なら、面積比は底辺の比と同じです。一方、相似な図形では、相似比が2：3なら面積比は4：9になります。

補助線も比も、感覚だけで扱うと不安定になります。克服するには、「なぜその線を引くのか」「何の比を見ているのか」を言葉で説明できるようにすることが必要です。

苦手の原因が角度・面積・条件整理に分かれる

平面図形を克服するには、「図形が苦手」とひとまとめにしないことが重要です。実際には、つまずきの原因は大きく3つに分かれます。

1つ目は、角度の基本が不安定な場合です。三角形の内角和、一直線180度、平行線の錯角・同位角、円の半径が作る二等辺三角形などを見つけられない状態です。

2つ目は、面積の見方が不安定な場合です。底辺と高さを取り違える、複雑な図形を分けられない、全体から一部を引く発想が出ない、といったつまずきです。

3つ目は、条件整理ができていない場合です。問題文に書かれた長さ、角度、平行、直角、同じ長さを図に書き込まず、頭の中だけで考えようとして止まってしまいます。

原因を分けると、戻る場所がはっきりします。全部をやり直すのではなく、今のつまずきに合った基本へ戻ることが、平面図形克服の近道です。

平面図形を克服するために戻るべき基本

まず図に条件を書き込む

平面図形を克服する第一歩は、図に条件を書き込むことです。これは簡単に見えますが、図形が苦手な子ほど省略しがちな大切な作業です。

問題文に「AB＝AC」とあれば、ABとACに同じ印をつけます。「ABとCDは平行」とあれば、平行線に印を入れます。直角があれば直角の印、角度が分かったらその数字を図に書き込みます。求める部分には丸や斜線をつけます。

この書き込みによって、図はただの絵ではなく、考えるための情報になります。同じ長さに印をつけると二等辺三角形が見えます。平行線に印をつけると同じ角が見つかることがあります。求める部分を目立たせると、どこを計算すべきかが分かりやすくなります。

平面図形が苦手な子に、いきなり「解き方を考えよう」と言っても難しい場合があります。まずは「分かっていることを図に入れよう」から始めましょう。

角度は三角形・平行線・円から見る

角度問題を克服するには、見る順番を決めることが大切です。まず確認したいのは、三角形、平行線、円の3つです。

三角形では、内角の和が180度です。二等辺三角形なら底角が等しく、正三角形なら3つの角がすべて60度です。角度問題で三角形が見えたら、まずこの基本が使えないか確認します。

平行線がある場合は、同じ角を探します。Zの形やFの形を見つけると、錯角や同位角が見えることがあります。線を少し延長することで、平行線の関係が見えやすくなる問題もあります。

円がある場合は、半径に注目します。中心から円周上の点までの長さはすべて同じなので、二等辺三角形が隠れていることがあります。

家庭で角度問題を復習するときは、「三角形はある？」「平行線はある？」「半径はどこ？」と順番に聞いてください。見る場所が決まると、手が止まりにくくなります。

面積は分ける・引く・移すで考える

面積問題を克服するには、公式だけでなく、図形の扱い方を身につける必要があります。基本は「分ける」「引く」「移す」の3つです。

「分ける」は、複雑な図形を三角形、長方形、台形、円の一部などに分ける考え方です。知らない形に見えても、知っている形に分ければ公式が使えます。

「引く」は、大きな図形から不要な部分を取り除く考え方です。たとえば、大きな長方形から三角形を引く、正方形全体から円の一部を引く、といった方法です。

「移す」は、同じ形を動かして考えやすい形にする方法です。影のついた部分が離れていても、移動させると長方形や三角形にまとまる場合があります。

面積問題で止まったときは、「どの公式を使う？」と聞くより、「この形は分けられる？」「全体から引ける？」「同じ形を移せる？」と聞く方が効果的です。形を整理できると、式は自然に見えてきます。

中学受験算数 平面図形の苦手を克服する手順

ステップ1 基本問題で見る場所を固定する

平面図形を克服する最初のステップは、基本問題で見る場所を固定することです。いきなり応用問題や入試問題に進むと、どこでつまずいているのか分かりにくくなります。

角度なら、三角形の内角和、一直線180度、平行線の同じ角を使う問題から始めます。面積なら、長方形、正方形、三角形の面積、底辺と高さを確認する問題を丁寧に解きます。

このとき、答えを出すだけで終わらせないことが大切です。「どの三角形を見たのか」「どこを底辺にしたのか」「高さはどこなのか」を子どもに説明させます。

平面図形は、問題数を増やせば自然に克服できる単元ではありません。見る場所を毎回確認することで、初見問題でも考え始められるようになります。

ステップ2 補助線の目的を言葉にする

基本問題で図を見る順番が安定してきたら、次は補助線の目的を言葉にする練習をします。

補助線を引いた問題では、「なぜその線を引いたのか」を必ず確認しましょう。「三角形を作るため」「同じ高さを見るため」「平行線を使うため」「相似を見つけるため」「面積を分けるため」と言えれば、補助線の意味を理解し始めています。

解説を読んで終わるだけでは、次の問題で同じ補助線を自分で使えません。解説を閉じたあと、もう一度図に補助線を引き直し、「この線で何が分かるのか」を説明させましょう。

補助線は、丸暗記ではなく目的で覚えることが大切です。目的が分かれば、似た問題に出会ったときにも応用しやすくなります。

ステップ3 同じ高さ・相似・面積比へ進む

図への書き込み、角度、面積、補助線の基本が整ってきたら、同じ高さ、相似、面積比へ進みます。ここは中学受験算数の平面図形で差がつきやすい部分です。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じです。底辺の比が2：3で高さが同じなら、面積比も2：3です。高さを実際に求めなくても面積を比べられるため、入試問題でもよく使われます。

相似な図形では、対応する辺の比がそろいます。ただし、面積比は辺の比を2回かけます。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。

子どもが混乱しやすいのは、辺の比と面積比を同じものとして扱ってしまうことです。家庭では、「これは同じ高さの三角形？相似な図形？」「今見ているのは辺の比？面積比？」と確認しましょう。比は数字だけでなく、図形の関係を見ることが大切です。

家庭で平面図形を克服する親の関わり方

答えより「どこに注目したか」を聞く

家庭で平面図形を克服するには、保護者が答えだけを確認しないことが大切です。平面図形では、どこに注目したかが理解の深さを表します。

声かけとしては、「どの三角形を見たの？」「同じ長さはどこ？」「平行線は使えそう？」「なぜその補助線を引いたの？」「これは辺の比？面積比？」がおすすめです。

答えが合っていても、見る場所を説明できない場合は、次の問題で再現できない可能性があります。反対に、答えが間違っていても、注目した場所が合っていれば、あと少しで解ける状態です。

親がすぐに解説するより、子ども自身が「どこを見たか」を言葉にする時間を作りましょう。説明できる理解は、模試や入試の初見問題でも崩れにくくなります。

間違い直しは原因別に分ける

平面図形の間違い直しでは、解説を読んで終わらせないことが重要です。間違いの原因を分けることで、次に戻るべき練習がはっきりします。

原因は主に3つです。1つ目は条件の見落としです。平行、同じ長さ、直角、円の半径などに気づけなかった場合です。2つ目は方針のミスです。分けるべきところで分けられなかった、補助線の目的が分からなかった場合です。3つ目は比の使い方のミスです。辺の比と面積比を混同した、同じ高さと相似を取り違えた場合です。

ノートには、「平行線を見落とした」「高さを取り違えた」「面積比を4：9にし忘れた」など、短く原因を書きます。

「平面図形が苦手」とまとめてしまうと、復習があいまいになります。原因を分ければ、克服するための次の一歩が見えてきます。

難問より標準問題の再現性を高める

平面図形を克服したいとき、いきなり難問ばかりに取り組む必要はありません。むしろ、標準問題を自力で再現できるようにする方が効果的です。

標準問題で、図に条件を書き込む、角度なら三角形・平行線・円を見る、面積なら分ける・引く・移すを考える、比なら同じ高さや相似を確認する。この流れを安定させましょう。

難問を長時間考えるより、標準問題を使って「なぜその方法を使ったのか」を説明できるようにする方が、得点につながりやすくなります。

家庭では、1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、図への書き込み、方針の説明、解き直しまで行います。平面図形は、センスだけで決まる単元ではありません。基本の見方を再現できるようになれば、苦手は少しずつ克服できます。

まとめ

中学受験算数の平面図形を克服するには、公式を覚え直すだけでは不十分です。まず、図に条件を書き込み、角度・長さ・平行・直角・同じ長さを見える形にすることが大切です。

角度では三角形・平行線・円、面積では分ける・引く・移す、補助線では「何を見つけるために引くのか」を確認しましょう。そのうえで、同じ高さ、相似、面積比へ進むと、応用問題にもつながります。

家庭では、答えより「どこに注目したか」を聞き、間違い直しは原因別に分けてください。難問に急ぐより、標準問題で図への書き込みと方針説明をくり返すことが大切です。平面図形は、正しい順番で戻れば、苦手から得点源へ変えていける単元です。