中学受験算数 図形の求積対策

中学受験算数で図形の求積対策が必要な理由

この記事では、中学受験算数の図形の求積でつまずく原因と、家庭で今日からできる具体的な対策を順番に解説します。

公式を覚えても面積問題で使えない

中学受験算数の図形の求積では、公式を覚えているのに問題が解けないという悩みがよくあります。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と言えても、実際の問題になると手が止まる子は少なくありません。

その理由は、入試や模試の求積問題では、公式に数字をそのまま入れるだけで解ける形では出題されにくいからです。三角形と四角形が重なっていたり、円の一部だけを求めたり、色のついた複雑な部分の面積を聞かれたりします。

このような問題では、「どの公式を使うか」より先に、「どの図形として見るか」が大切です。複雑な形を三角形や長方形に分ける。大きな図形から不要な部分を引く。面積比を使って一部分を求める。このような見方ができて、初めて公式が使えるようになります。

つまり、図形の求積対策で大切なのは、公式を増やすことではありません。公式を使える形に図を整理する練習です。家庭では、すぐに「どの公式を使うの？」と聞くより、「この形は何に分けられそう？」と問いかける方が効果的です。

複雑な図形をどう見るかで差がつく

図形の求積で差がつくのは、複雑な図形をどう見るかです。中学受験算数では、単純な長方形や三角形の面積を求める問題だけでなく、複数の図形を組み合わせた問題が多く出ます。

たとえば、L字型の図形を長方形2つに分けて求める問題があります。正方形の中に円があり、円の外側の面積を求める問題もあります。三角形の中に小さな三角形がある場合、大きな三角形から小さな三角形を引いて求めることもあります。

こうした問題で大切なのは、見た目の複雑さに引っ張られないことです。複雑に見える図形でも、長方形、三角形、台形、円、扇形など、基本図形の組み合わせでできていることが多いからです。

家庭での対策では、「この図形を一度に求めようとしない」ことを意識しましょう。「何と何に分けられる？」「大きく見て引けない？」「同じ高さの三角形はない？」と声をかけると、子どもは考え始めやすくなります。

求積は計算力より図の整理力が問われる

図形の求積というと、面積を計算する単元だと思われがちです。しかし、中学受験算数では、計算力よりも図の整理力が問われる場面が多くあります。

もちろん、計算ミスをしない力は大切です。ただ、求積で最初につまずく子の多くは、計算式を立てる前の段階で迷っています。どこを底辺と見るのか、どこが高さなのか、半径と直径のどちらを使うのか、全体から何を引くのかが整理できていないのです。

また、中学受験の図形問題では、図が正確な縮尺で描かれていないことがあります。見た目で「この辺は同じくらい」「ここは直角に見える」と判断すると、間違いにつながります。使ってよいのは、問題文に書かれた条件と、図形の性質から説明できる事実だけです。

求積対策では、計算を急ぐ前に、図へ条件を書き込むことが大切です。分かっている長さ、直角、平行、等しい辺、半径、直径などを図に入れてから考えると、式が立てやすくなります。

図形の求積対策で最初に固める基本

求める面積が全体か一部かを確認する

図形の求積対策で最初に確認したいのは、求める面積が「全体」なのか「一部」なのかです。ここをあいまいにしたまま式を書き始めると、途中で何を求めているのか分からなくなります。

全体の面積を求める問題なら、図形をいくつかの基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。反対に、色のついた部分や重なった部分など、一部の面積を求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の部分を求める問題なら、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けた形なら、大きな長方形の面積から欠けた部分の面積を引けば求められます。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」と聞いてみましょう。この一言で、足すのか、引くのか、分けるのかを考えやすくなります。求積対策は、まず求める範囲を正確に見ることから始まります。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

図形の求積では、底辺・高さ・半径を図に書き込む習慣が欠かせません。公式を覚えていても、どの数を使うのかを間違えると正解にはつながりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。斜めの辺を何となく高さだと思い込むと、面積がずれてしまいます。台形では、上底・下底・高さを区別します。円では、中心から円周までが半径であり、直径が分かっている場合は半分にする必要があります。

求積が苦手な子は、式を急いで書き始めることがあります。しかし、式の前に図へ情報を書き込むだけで、ミスはかなり減ります。分かっている長さ、直角、平行、等しい辺、半径、直径を図に入れてから考えると、使うべき公式が見えやすくなります。

家庭では、「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」「直径をそのまま使っていない？」と確認しましょう。公式そのものよりも、公式に入れる数を正しく選ぶ練習が大切です。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積では、面積比を使う問題もよく出ます。特に、複数の三角形が出てくる問題では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つける力が重要です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使うと、すべての面積を計算しなくても、一部分の面積を求められることがあります。特に、平行線がある図形では同じ高さが見つかりやすくなります。台形の中にできる三角形や、平行四辺形の中に線が引かれた問題でもよく使われます。

家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」「底辺の比は分かるかな？」と聞いてみてください。面積比が使えるようになると、図形の求積問題をすっきり解ける場面が増えていきます。

中学受験算数 図形の求積でよく使う対策

分けて求める対策

図形の求積でまず身につけたいのが、複雑な図形を分けて求める対策です。見た目が複雑でも、長方形、三角形、台形、円、扇形などの基本図形に分ければ、公式を使えるようになります。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて、それぞれの面積を足すことができます。五角形のように見える図形も、三角形と四角形に分ければ求めやすくなることがあります。円が入った図形でも、半円や扇形に分けると、計算できる形になります。

分けるときのポイントは、無理に細かく分けすぎないことです。図形を細かくしすぎると、必要な長さが分からなくなったり、計算が増えたりします。できるだけ、すでに長さが分かっている辺を使って分けるとよいでしょう。

家庭では、「この図形は何と何に分けられる？」と聞いてみてください。子どもが「長方形と三角形」「台形と三角形」などと言えれば、求積の入口が見えています。

全体から引く対策

求積では、全体から不要な部分を引く対策もよく使います。特に、求めたい部分が複雑な形をしているときは、直接求めるよりも、大きな図形から余分な部分を引く方が簡単です。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の部分を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けた形なら、大きな長方形の面積から欠けた部分の面積を引けば求められます。

この対策で大切なのは、「全体」と「不要な部分」をはっきりさせることです。図に色や印をつけて、求めたい部分と引く部分を区別すると、ミスが減ります。

家庭では、「直接求めにくいなら、大きく見て引けないかな？」と声をかけてみましょう。図形の求積では、難しく見える部分ほど、全体から引く発想が役立つことがあります。

比を使って求める対策

中学受験算数の求積では、比を使って面積を求める対策も大切です。すべての長さが分からなくても、面積の比が分かれば、全体の面積から一部分の面積を求められることがあります。

たとえば、同じ高さの三角形で底辺の比が1：2なら、面積の比も1：2です。全体が3つ分で、そのうち1つ分を求めるという考え方ができます。台形や平行四辺形の中の三角形でも、この考え方はよく使われます。

比を使う問題では、最初に「何と何を比べるか」を決めることが大切です。図の中に三角形が多くある場合、どの三角形どうしが同じ高さなのか、どの底辺が対応しているのかを見つけます。

家庭では、「全部の面積を出さなくても、比で分からないかな？」と聞いてみましょう。比を使えるようになると、求積問題を速く、すっきり解ける場面が増えていきます。

家庭でできる図形の求積対策と復習法

式を書く前に図へ条件を書き込む

家庭で図形の求積対策をするときは、式を書く前に図へ条件を書き込む習慣をつけましょう。求積が苦手な子は、すぐに計算を始めようとして、どの数を使えばよいのか分からなくなることがあります。

まず、分かっている長さを図に書き込みます。底辺、高さ、半径、直径、上底、下底など、面積公式に必要な数を整理します。等しい長さには同じ印、直角には直角マーク、平行線には矢印をつけます。

次に、求めたい部分に印をつけます。全体を求めるのか、一部を求めるのかを目で見えるようにしておくと、足すのか引くのかを判断しやすくなります。

家庭では、子どもが式を書き始める前に「図には全部書き込んだ？」と確認しましょう。求積のミスは、式そのものより、図の読み取り不足から起こることが多いです。

1問ごとに「なぜその解き方か」を説明する

図形の求積対策で大切なのは、答えが合っているかだけでなく、「なぜその解き方を選んだのか」を説明できるようにすることです。求積問題は、解説を読むと分かった気になりやすい単元です。

たとえば、分けて求めたなら、「なぜその形に分けたのか」を確認します。全体から引いたなら、「何を全体として見て、何を引いたのか」を説明します。比を使ったなら、「同じ高さはどこだったのか」「底辺の比は何だったのか」を言葉にします。

親が長く解説する必要はありません。短く「どうして足したの？」「なぜ引いたの？」「どこが同じ高さ？」と聞くだけで十分です。

正解していても説明できない場合は、たまたま手順を覚えていただけかもしれません。逆に、答えが間違っていても、考え方を説明できるなら修正しやすくなります。家庭学習では、正解数よりも再現できる解き方を増やすことを意識しましょう。

間違いを原因別に分けて解き直す

図形の求積で点数を伸ばすには、間違えた問題を原因別に分けて解き直すことが大切です。すべてを「求積が苦手」でまとめてしまうと、何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、底辺と高さを取り違えた、半径と直径を間違えた、全体から引く発想が出なかった、不要な部分まで足してしまった、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、最後に求める部分を取り違えた、などです。

原因が分かれば、次に戻るべき学習がはっきりします。半径と直径を間違えたなら円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら面積比を練習します。全体から引く発想が出なかったなら、差し引きの求積問題を3問ほど解き直します。

復習ノートには、「半径と直径を間違えた」「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」など、一言で原因を書きましょう。間違いは、次に得点するためのヒントになります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積対策では、公式を覚えるだけでなく、図形を公式が使える形に整理する力を育てることが大切です。求積問題では、分ける・引く・比を使うという3つの見方を身につけると、複雑な図形にも対応しやすくなります。

まず、求める面積が全体なのか一部なのかを確認しましょう。次に、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。面積比を使う問題では、同じ高さ・同じ底辺に注目します。

よく使う対策は、分けて求める、全体から引く、比を使って求めるの3つです。どの方法を選ぶ場合でも、式を書く前に図へ条件を書き込み、「なぜその解き方を選んだのか」を説明できるようにすることが大切です。

家庭では、親が長く解説するより、「全部を求めるの？一部を求めるの？」「何を引くの？」「どこが同じ高さ？」と短く問いかけましょう。間違いは原因別に分けて復習すれば、図形の求積は少しずつ得点源に変えられます。