中学受験算数 図形の求積の頻出対策

中学受験算数で図形の求積が頻出になる理由

この記事では、中学受験算数で頻出の図形の求積について、出やすい型と家庭でできる具体的な対策を順番に解説します。

面積公式だけでなく図を見る力が問われる

中学受験算数で図形の求積が頻出になるのは、単に面積公式を知っているかを確認するためではありません。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」といった公式は、多くの受験生が覚えています。

しかし、入試や模試で出る求積問題は、公式にそのまま数字を入れれば解ける形ばかりではありません。三角形と四角形が組み合わさっていたり、円の一部だけを求めたり、色のついた部分だけを求めたりします。

そのため、図形の求積では「どの公式を使うか」よりも前に、「この図形を何として見るか」が大切になります。複雑な形を三角形や長方形に分ける、大きな図形から不要な部分を引く、同じ高さの三角形を比べるといった見方が必要です。

頻出単元である求積を得点源にするには、公式暗記だけでなく、図の中から使える形を見つける練習が欠かせません。

分ける・引く・比べる問題が出やすい

図形の求積でよく出る考え方は、大きく「分ける」「引く」「比べる」の3つです。この3つを意識しておくと、頻出問題に対応しやすくなります。

「分ける」は、複雑な図形を基本図形に分けて面積を求める方法です。L字型の図形を長方形2つに分ける、五角形を三角形と四角形に分ける、円を半円や扇形として見るといった考え方です。

「引く」は、大きな図形全体から不要な部分を引く方法です。正方形の中に円があり、円の外側を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。直接求めにくい部分ほど、全体から引く発想が役立ちます。

「比べる」は、同じ高さや同じ底辺を使って面積比を考える方法です。すべての長さが分からなくても、比を使うことで一部分の面積が求められることがあります。

頻出問題は、この3つのどれか、または組み合わせで解けることが多いです。家庭学習でも、解いた後に「これは分ける問題？引く問題？比べる問題？」と分類してみましょう。

頻出なのに差がつきやすい単元である

図形の求積は頻出である一方、得点差がつきやすい単元でもあります。理由は、計算だけでなく、図の読み取り、条件整理、解き方の選択が必要になるからです。

たとえば、同じ面積を求める問題でも、ある子はすぐに全体から引くことに気づきます。一方で、別の子は求めたい部分を直接出そうとして止まってしまいます。面積比を使えば短く解ける問題でも、すべての長さを求めようとして時間を使いすぎることがあります。

また、中学受験の図形問題では、図が正確な縮尺で描かれていないことがあります。見た目で「この辺は同じくらい」「ここは直角に見える」と判断すると、誤答につながります。使ってよいのは、問題文の条件と図形の性質から言えることだけです。

頻出だからこそ、なんとなく解くのではなく、型を意識して対策することが大切です。図形の求積は、正しい見方を身につけると得点源に変えやすい単元です。

図形の求積で頻出の基本パターン

三角形・四角形に分けて求める問題

図形の求積で最も基本的な頻出パターンが、複雑な図形を三角形や四角形に分けて求める問題です。見た目が難しそうでも、実は長方形、三角形、台形などの基本図形に分ければ解けることがよくあります。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて求められます。五角形のような形も、対角線を引いて三角形と四角形に分けると、面積公式が使える場合があります。斜めの線がある図形では、三角形を作ることで考えやすくなることもあります。

分けるときのポイントは、すでに分かっている長さを使えるように分けることです。むやみに細かく分けると、必要な長さが分からなくなり、かえって難しくなります。

家庭では、「この図形は何と何に分けられる？」と聞いてみましょう。子どもが「長方形と三角形」「台形と三角形」など、基本図形の名前で説明できれば、求積問題の入口が見えています。

全体から不要な部分を引く問題

図形の求積で頻出するもう一つの型が、全体から不要な部分を引く問題です。求めたい部分が複雑な形をしているときは、直接求めようとするより、大きな図形から引いた方が簡単なことがあります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の部分を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けている形なら、大きな長方形の面積から欠けた部分の面積を引けば求められます。

また、扇形と三角形が組み合わさった問題でも、扇形から三角形を引く、または大きな図形から一部を引く発想が使われます。円や扇形を含む問題では、この「引く」考え方が特に重要です。

家庭では、「直接求めにくいなら、大きな形から引けないかな？」と声をかけるとよいでしょう。求めたい部分に印をつけ、引く部分にも別の印をつけると、式の意味が見えやすくなります。

同じ高さ・同じ底辺を使う面積比の問題

中学受験算数の図形の求積では、面積比を使う問題も頻出です。特に、三角形が複数ある図形では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つけることが大切です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使うと、すべての長さが分からなくても、一部分の面積を求められることがあります。平行線がある図形では、同じ高さの三角形が隠れていることが多くあります。台形の中にできる三角形、平行四辺形の中に引かれた線、三角形の中にある小さな三角形などでよく使われます。

家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」「底辺の比は分かるかな？」と確認しましょう。面積比が使えるようになると、求積問題を速く解ける場面が増えていきます。

中学受験算数 図形の求積の頻出問題を解くコツ

式を書く前に求める部分を確認する

図形の求積で大切なのは、式を書く前に「どこの面積を求めるのか」を確認することです。ここをあいまいにしたまま計算を始めると、違う部分の面積を出してしまうことがあります。

求めるのが図形全体なのか、色のついた部分なのか、重なった部分なのか、外側の部分なのかを最初に見ます。色や印がある場合は、その部分に丸をつけると分かりやすくなります。

たとえば、円の面積を求める問題だと思って計算したら、実際には円の外側を求める問題だったというミスはよくあります。正方形の中の円、扇形の中の三角形、重なりのある図形では、求める部分の確認が特に重要です。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」「どこの面積を聞かれている？」と短く聞いてみましょう。求積の頻出問題では、最初の確認が正答率を大きく左右します。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

頻出の求積問題では、底辺・高さ・半径を正しく図に書き込むことが欠かせません。公式を知っていても、使う数を間違えると正解にはなりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。底辺に対して垂直な長さが高さです。台形では、上底・下底・高さを区別します。円では、中心から円周までが半径であり、直径が分かっている場合は半分にしてから使います。

特に、半径と直径の取り違えはよくあるミスです。直径が10cmなら半径は5cmです。三角形でも、斜めの辺を高さと見間違えることがあります。

家庭では、式を書く前に「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」「直径をそのまま使っていない？」と確認しましょう。図へ書き込む習慣がつくと、頻出問題での失点を減らしやすくなります。

補助線は目的を決めて引く

図形の求積では、補助線を引くことで解きやすくなる問題も頻出です。ただし、補助線は思いつきで引くものではありません。目的を決めて引くことが大切です。

補助線の目的には、図形を基本図形に分ける、同じ高さを作る、全体から引く形にする、円の半径を見えるようにする、相似や合同を見つけるなどがあります。

たとえば、円の問題では中心から円周上の点へ線を引くことで、半径が等しいことを使えるようになります。面積比の問題では、同じ高さの三角形を見つけるために補助線を引くことがあります。複雑な図形では、三角形や長方形に分けるために線を引くこともあります。

家庭では、子どもが補助線を引いたあとに「何を見つけるために引いたの？」と聞いてみましょう。「同じ高さを作るため」「半径を使うため」「図形を分けるため」と言えれば、補助線を道具として使えています。

家庭でできる頻出求積問題の練習法

1日3問を型別に解く

図形の求積を家庭で練習するときは、最初から大量に解かせる必要はありません。頻出問題こそ、1日3問を型別に丁寧に解く方が効果的です。

たとえば、月曜日は「分けて求める問題」、火曜日は「全体から引く問題」、水曜日は「面積比を使う問題」というように、テーマを決めて取り組みます。型を意識して解くことで、子どもは問題を見たときに「これは引く問題かもしれない」「これは同じ高さを探す問題だ」と考えやすくなります。

1問ごとに、求める部分、使った公式、図の分け方、引いた部分、比べた三角形を確認しましょう。正解していても説明できない場合は、理解が不安定な可能性があります。

家庭学習では、10問を急いで解くより、3問を丁寧に説明できる方が力になります。頻出問題は、型を意識して反復することで得点源になります。

間違いを原因別に分ける

頻出の求積問題で点数を伸ばすには、間違いを原因別に分けることが大切です。すべてを「求積が苦手」でまとめてしまうと、次に何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、求める部分を取り違えた、底辺と高さを間違えた、半径と直径を取り違えた、全体から引く発想が出なかった、不要な部分まで足してしまった、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、などです。

原因が分かれば、戻るべき学習が決まります。半径と直径を間違えたなら、円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら、面積比の基本を練習します。全体から引く発想が出なかったなら、差し引きの求積問題を集めて解き直します。

復習ノートには、「半径と直径を間違えた」「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」など、一言で原因を書きましょう。間違いは、次に取れる問題を増やすための材料です。

同じ型をくり返して得点源にする

図形の求積は、同じ型をくり返すことで得点源にしやすい単元です。頻出問題には、よく出る考え方があります。分ける、引く、面積比を使う、半径を確認する、補助線で基本図形を作る、といった型です。

間違えた問題は、その1問だけを直して終わらせず、同じ型を3問ほど解き直しましょう。たとえば、全体から引く問題で間違えたなら、似た差し引きの問題を3問解きます。同じ高さを使う問題で間違えたなら、面積比の問題を3問解きます。円の求積で間違えたなら、半径・直径・扇形の基本に戻ります。

同じ型を続けて解くと、「この問題では何に注目するのか」が見えやすくなります。次に似た問題が出たとき、自力で入口を見つけやすくなります。

家庭では、「今日は引く型」「今日は面積比の型」とテーマを決めると、短時間でも効果的です。頻出問題は、型を見抜けるようになるほど安定して得点できます。

まとめ

中学受験算数の図形の求積は、入試や模試で頻出の重要単元です。公式を覚えるだけでなく、複雑な図形を分ける、全体から引く、同じ高さや同じ底辺から面積比を考える力が必要です。

頻出パターンは、三角形・四角形に分けて求める問題、全体から不要な部分を引く問題、同じ高さ・同じ底辺を使う面積比の問題です。まずはこの3つの型を意識して練習しましょう。

解くときは、式を書く前に求める部分を確認し、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。補助線は、分けるため、引くため、同じ高さを作るため、半径を見えるようにするためなど、目的を決めて引きます。

家庭では、1日3問を型別に丁寧に解き、間違いを原因別に分け、同じ型をくり返して復習しましょう。図形の求積は頻出だからこそ、正しい型と復習法を身につければ、安定した得点源に変えられる単元です。