中学受験算数 図形の求積の演習法

中学受験算数の図形の求積は演習の質で差がつく

この記事では、中学受験算数の図形の求積を演習で定着させるために、問題の選び方・解き方・家庭での復習法を順番に解説します。

問題数を増やすだけでは定着しにくい

中学受験算数の図形の求積は、演習量が大切な単元です。しかし、ただ問題数を増やすだけでは、思ったほど点数が伸びないことがあります。10問、20問と解いているのに、テストになると似た問題で止まってしまう子は少なくありません。

その原因は、演習が「答え合わせ」で終わっていることにあります。求積問題では、正しい答えを出すこと以上に、どのように図形を見たのかが重要です。三角形として見たのか、長方形に分けたのか、全体から引いたのか、同じ高さを使ったのか。ここを意識しないまま次の問題へ進むと、解き方が残りにくくなります。

たとえば、正方形の中に円がある問題を間違えたとき、答えを写すだけでは不十分です。「円の外側を求めるから、正方形の面積から円の面積を引く」と説明できて初めて、次の問題に使える知識になります。

家庭で演習する場合は、問題数よりも「1問から何を学んだか」を重視しましょう。特に苦手な子には、1日3問でも十分です。大切なのは、解き方を言葉にして残すことです。

演習では「型」を意識することが大切

図形の求積の演習では、「型」を意識することがとても大切です。中学受験の求積問題は見た目が違っても、よく使う考え方はある程度決まっています。

代表的なのは、「分ける」「引く」「比べる」の3つです。分けるとは、複雑な図形を三角形や長方形、台形などに分けて求めることです。引くとは、大きな図形全体から不要な部分を引いて求めることです。比べるとは、同じ高さや同じ底辺を使って、面積比で考えることです。

子どもが図形問題を苦手に感じるのは、毎回まったく新しい問題に見えてしまうからです。しかし、演習後に「これは分ける型だった」「これは引く型だった」と分類できるようになると、初見問題でも入口を見つけやすくなります。

家庭では、解いた後に「この問題は何の型だった？」と聞いてみましょう。すぐ答えられなくてもかまいません。親子で一緒に「これは全体から引いたね」「これは同じ高さを使ったね」と確認するだけでも、演習の質は上がります。

答えより解き方の再現を重視する

図形の求積演習で大切なのは、正解したかどうかだけではありません。次に似た問題が出たときに、同じ考え方を再現できるかが重要です。

解説を読んだ直後は「分かった」と感じても、数日後に同じ型の問題を出すと手が止まることがあります。これは、答えを理解しただけで、解き方の流れが身についていない状態です。

演習では、1問ごとに「なぜその解き方を選んだのか」を確認しましょう。分けて求めたなら、なぜそこに線を引いたのか。全体から引いたなら、何を全体と見たのか。面積比を使ったなら、どこが同じ高さだったのか。言葉にできるようになると、考え方が整理されます。

たとえば、「色の部分を直接求めるのは難しいから、長方形全体から白い部分を引いた」と説明できれば、その子は解き方を理解し始めています。

求積演習は、正解数を増やすためだけに行うものではありません。解き方を再現できる力を育てるために行うものです。

図形の求積演習で最初に確認したい基本

求める面積が全体か一部かを見る

図形の求積演習を始めるとき、最初に確認したいのは「求める面積が全体なのか、一部なのか」です。ここを見落とすと、正しい公式を使っていても、違う部分の面積を出してしまいます。

全体の面積を求める問題なら、図形を基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。一方で、色のついた部分、重なった部分、外側の部分などを求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の面積を求めるなら、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けている形なら、大きな長方形から欠けた部分を引いて求めます。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」と聞いてみてください。この確認だけで、足すのか、引くのか、分けるのかを考えやすくなります。演習の前に毎回この一言を入れると、問題文を読む姿勢が変わります。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

図形の求積では、底辺・高さ・半径を正しく図に書き込むことが欠かせません。公式を覚えていても、公式に入れる数を間違えると正解にはなりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。斜めの辺を何となく高さだと思い込むと、面積がずれてしまいます。台形では、上底・下底・高さを区別します。円では、中心から円周までが半径です。直径が書かれている場合は、その半分を使います。

演習中によくあるミスは、直径をそのまま半径として使うことです。直径10cmなら、半径は5cmです。また、三角形の高さを、底辺に垂直でない長さと間違えることもあります。

家庭では、式を書く前に「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」「直径をそのまま使っていない？」と確認しましょう。図に書き込む習慣がつくと、演習中の基本ミスが減り、正答率が安定しやすくなります。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積では、面積比を使う演習も重要です。特に小5以降では、すべての長さが分からなくても、同じ高さや同じ底辺を使って面積を求める問題が増えてきます。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方は、平行線がある図形で特によく使います。平行な2本の線の間にある三角形は高さが同じになるため、底辺の比がそのまま面積比につながります。

家庭では、いきなり「面積比を使って」と言うより、「同じ高さの三角形はある？」「底辺の比は分かる？」と聞いてみてください。面積比は暗記するものではなく、図の関係から見つけるものです。演習では、同じ高さを探す目を育てることが大切です。

中学受験算数 図形の求積の効果的な演習方法

分ける・引く・比べるの3型で練習する

図形の求積を効果的に演習するには、「分ける」「引く」「比べる」の3型で練習するのがおすすめです。この3つを意識すると、問題を見たときに方針を立てやすくなります。

「分ける」は、複雑な図形を長方形、三角形、台形、円、扇形などの基本図形に分ける方法です。L字型の図形や五角形のような図形でよく使います。

「引く」は、大きな図形全体から不要な部分を引く方法です。正方形の中の円の外側、長方形から欠けた部分、扇形から三角形を引く問題などで使います。

「比べる」は、同じ高さや同じ底辺を使って面積比を考える方法です。すべての長さが書かれていない問題でも、比で整理できることがあります。

家庭では、曜日ごとに型を決めると取り組みやすくなります。月曜日は分ける型、火曜日は引く型、水曜日は比べる型というように演習すると、問題の見方が整理されます。解いた後は必ず「今日はどの型を使ったか」を確認しましょう。

補助線は目的を決めて引く

図形の求積演習では、補助線を引くことで解きやすくなる問題があります。ただし、補助線は思いつきで引くものではありません。目的を決めて引くことが大切です。

補助線の目的には、基本図形に分ける、同じ高さを作る、全体から引く形にする、円の半径を見えるようにする、相似や合同を見つける、などがあります。

たとえば、円の問題で中心から円周上の点へ線を引くのは、半径が等しいことを使うためです。面積比の問題で線を引くのは、同じ高さの三角形を見つけるためです。複雑な図形では、三角形や長方形に分けるために線を引くこともあります。

家庭では、子どもが補助線を引いたあとに「何を見つけるために引いたの？」と聞いてみましょう。「同じ高さを作るため」「半径を使うため」「図形を分けるため」と説明できれば、補助線を道具として使えています。

補助線はセンスではなく、目的を持った練習で身につきます。演習では、線を引いた理由まで確認しましょう。

時間を測って処理力も鍛える

図形の求積は、考え方だけでなく処理力も大切です。特に小6や入試直前期になると、正解できるかだけでなく、時間内に解けるかが得点に直結します。

ただし、最初から時間を厳しく測る必要はありません。基本が不安定な段階では、まず図を整理して正しく解くことを優先します。分ける・引く・比べるの型が分かってきたら、少しずつ時間を意識した演習へ進みましょう。

たとえば、基本問題なら1問3分、標準問題なら5分など、目安を決めて取り組みます。時間がかかった場合は、単に「遅い」と判断するのではなく、どこに時間を使ったのかを見ます。方針を決めるのに時間がかかったのか、計算に時間がかかったのか、図への書き込みが足りなかったのかで、対策は変わります。

家庭では、正解・不正解だけでなく、解いた時間も軽く記録してみましょう。演習を重ねるうちに、よく出る型を速く処理できるようになります。

家庭でできる図形の求積演習の復習法

1日3問を丁寧に説明させる

家庭で図形の求積演習を行うなら、最初から大量に解かせる必要はありません。特に苦手意識がある場合は、1日3問を丁寧に扱う方が効果的です。

1問ごとに、求めるのは全体か一部か、どの図形に分けたのか、何を引いたのか、どこが同じ高さだったのかを確認しましょう。答えが合っていても説明できない場合は、理解が不安定な可能性があります。

たとえば、全体から引く問題なら「何を全体として見たの？」と聞きます。分けて足す問題なら「なぜその2つに分けたの？」と確認します。面積比の問題なら「どこが同じ高さだった？」と聞きます。

1日3問でも、考え方まで説明できれば十分な演習になります。逆に、10問を急いで解いて答え合わせだけで終わると、次のテストで再現しにくくなります。家庭学習では、量よりも説明できる質を重視しましょう。

間違いを原因別に分ける

図形の求積演習で点数を伸ばすには、間違いを原因別に分けることが大切です。すべてを「図形が苦手」「面積が苦手」でまとめてしまうと、次に何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、求める部分を取り違えた、底辺と高さを間違えた、半径と直径を取り違えた、全体から引く発想が出なかった、不要な部分まで足してしまった、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、補助線の目的が分からなかった、などです。

原因が分かれば、戻るべき学習がはっきりします。半径と直径を間違えたなら、円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら、面積比の基本を練習します。全体から引く発想が出なかったなら、差し引きの求積問題を解き直します。

復習ノートには、「半径と直径を間違えた」「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」など、一言で原因を書きましょう。演習の目的は、間違いを減らすことではなく、間違いから次の得点につなげることです。

同じ型を3問ずつ解き直す

図形の求積を演習で定着させるには、間違えた1問だけを直して終わらせないことが大切です。同じ型を3問ほど解き直すと、考え方が安定しやすくなります。

たとえば、全体から引く問題で間違えたなら、同じように「大きな図形から小さな図形を引く」問題を3問解きます。面積比で間違えたなら、同じ高さを使う三角形の問題を3問解きます。円の求積で半径と直径を間違えたなら、円や半円、扇形の基本問題に戻ります。

同じ型を続けて解くと、「この問題では何に注目するのか」が見えやすくなります。1問だけ直すより、似た問題で確認した方が、次のテストで使える力になります。

家庭では、「今日は全体から引く型」「今日は同じ高さを探す型」とテーマを決めると、短い時間でも効果的です。図形の求積演習は、やみくもに量を増やすより、型をそろえて反復する方が定着しやすくなります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積は、演習の質で大きく差がつく単元です。問題数を増やすだけではなく、どの型で解いたのか、なぜその解き方を選んだのかを確認することが大切です。

演習で最初に確認したいのは、求める面積が全体か一部か、底辺・高さ・半径を正しく図に書き込めているか、同じ高さ・同じ底辺を見つけられるかです。

効果的な演習方法は、分ける・引く・比べるの3型で練習することです。補助線は目的を決めて引き、慣れてきたら時間を測って処理力も鍛えましょう。

家庭では、1日3問を丁寧に扱い、子ども自身に解き方を説明させます。間違いは原因別に分け、同じ型を3問ずつ解き直すことが効果的です。図形の求積は、正しい演習法に変えるだけで、苦手単元から得点源へ育てられます。