中学受験算数 立体図形の解説と対策

中学受験算数の立体図形はなぜ難しいのか

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の立体図形をどう理解すればよいのか、家庭でできる教え方まで順に解説します。

立体図形は「見えない部分」を考える単元

中学受験算数の立体図形が難しく感じられる理由は、目に見える図だけで答えが出ないことが多いからです。平面図形なら、線や角度が紙の上に描かれています。しかし立体図形では、奥にある辺、裏側の面、内部の切り口など、見えない部分を想像しなければなりません。

たとえば、直方体の見取り図では、手前の面は見えやすくても、奥の面や下の面は図の中でつかみにくくなります。さらに入試問題では、そこに「切る」「水を入れる」「積み上げる」「くり抜く」といった操作が加わります。

立体図形が苦手な子は、能力がないのではありません。見えている図と、頭の中で補うべき部分を分けて考える経験が足りないことが多いのです。まずは「見えない部分も図に書き込んでよい」と伝えるだけでも、取り組みやすくなります。

公式暗記だけでは入試問題に対応しにくい

立体図形では、体積は「底面積×高さ」、直方体の体積は「たて×横×高さ」、表面積は「外から見える面の合計」といった公式を学びます。もちろん公式は必要です。しかし、中学受験算数では、公式を知っているだけでは解けない問題が多く出ます。

たとえば、直方体をいくつか積んだ立体の表面積を求める問題では、すべての面を足せばよいわけではありません。くっついて見えなくなった面は表面積に入りません。また、立体を切断する問題では、体積の公式を使う前に、切り口や分けられた立体の形を考える必要があります。

つまり、立体図形では「どの公式を使うか」より先に、「何を求める問題なのか」「どの部分が見えているのか」「どの部分が隠れているのか」を整理することが大切です。

苦手な子ほど図を平面のまま見ている

立体図形が苦手な子の多くは、見取り図を平面の絵として見ています。紙に描かれた図をそのまま眺めているため、奥行きや高さ、裏側の面を意識できません。

たとえば、立方体の展開図を見たとき、どの面とどの面が向かい合うのかを考えられない子がいます。これは、展開図を折りたたんだ後の立体としてイメージできていない状態です。また、切断問題で切り口を見つけられない子は、立体の中を通る平面を想像する経験が不足しています。

家庭で教えるときは、「この面はどこに来るかな」「この辺は奥に続いているね」と、図の中に奥行きを持たせる声かけが有効です。立体図形は、紙の上の図を頭の中で立ち上げる単元だと考えましょう。

立体図形の解説でまず押さえたい基本

見取り図は奥行きと高さを確認する

立体図形の解説で最初に押さえたいのは、見取り図の読み方です。見取り図とは、立体を斜めから見たように描いた図です。入試問題でもよく使われますが、実際の長さや角度がそのまま正確に描かれているとは限りません。

見取り図を見るときは、まず「たて・横・高さ」を確認します。次に、どの面が手前で、どの面が奥にあるのかを見ます。奥にある辺は点線で描かれることもありますが、入試問題では省略されていることもあります。

家庭では、見取り図を見たら「上の面はどこ？」「手前の面はどこ？」「奥に隠れている辺はどこ？」と確認してみてください。これだけで、子どもは図をただ眺める状態から、立体として読む状態へ変わります。

展開図は向かい合う面を意識する

展開図は、立体図形で多くの子がつまずくポイントです。展開図は平面に描かれていますが、実際には折りたたんで立体にする必要があります。そのため、どの面とどの面が隣り合うのか、どの面が向かい合うのかを考える力が必要です。

立方体の展開図では、向かい合う面が隣同士になることはありません。ある面を基準にして、折り上げたときに反対側へ来る面を探します。最初は頭の中だけで考えず、紙に描いて切り取り、実際に折ってみると理解しやすくなります。

家庭学習では、展開図に面の名前を書き込む方法がおすすめです。上の面、下の面、前の面、後ろの面、右の面、左の面というように名前をつけると、立体になったときの位置関係が見えやすくなります。

体積と表面積は求める場所を分ける

立体図形で混乱しやすいのが、体積と表面積の違いです。体積は立体の中身の大きさ、表面積は外から見える面の広さです。この違いをあいまいにしたまま問題を解くと、計算式を立てる段階で迷いやすくなります。

たとえば、立方体をいくつか積んだ問題では、体積なら立方体の個数を数えることで求められる場合があります。一方、表面積では、外から見える面だけを数える必要があります。くっついている面や下に隠れている面は、外から見えなければ表面積に入りません。

家庭では、問題を読む前に「これは中身を求める問題？外側を求める問題？」と聞いてみましょう。体積と表面積を分けて考えるだけで、解説の理解がかなり進みます。

中学受験算数でよく出る立体図形の問題

直方体・立方体は切る、積む、くり抜く問題が多い

中学受験算数の立体図形では、直方体や立方体がよく使われます。理由は、形が単純に見える一方で、操作を加えると考えることが一気に増えるからです。

たとえば、立方体を何個か積み上げた立体の体積や表面積を求める問題があります。体積は個数で考えやすいですが、表面積は外から見える面を数えなければなりません。また、直方体から一部をくり抜く問題では、取り除いた部分の体積だけでなく、新しく現れた面まで考える必要があります。

切る問題では、切断後にどんな立体ができるのかを考えます。最初は難しく見えますが、頂点や辺に印をつけ、切る平面がどこを通るのかを確認すると整理しやすくなります。

水量変化は底面積と高さの関係で考える

立体図形の中でも、水量変化の問題は入試でよく出ます。容器に水を入れる、物体を沈める、水面の高さが変わるといった問題です。

このタイプで大切なのは、底面積と高さの関係です。同じ体積の水でも、底面積が大きい容器では水の高さは低くなり、底面積が小さい容器では高くなります。つまり、水量変化では「体積＝底面積×高さ」の考え方を使います。

たとえば、底面積が50平方cmの容器に300立方cmの水を入れると、水の高さは6cmになります。物体を沈めた場合は、その物体が押しのけた水の体積だけ水面が上がります。難しい公式を増やすより、まず「増えた体積はどこへ行ったのか」を考えることが大切です。

切断問題は切り口の形を先に見る

立体図形の切断問題は、苦手な子が多い分野です。理由は、立体の内部を通る平面を頭の中でイメージしなければならないからです。

切断問題では、いきなり体積を求めようとせず、まず切り口の形を考えます。切る平面がどの辺や頂点を通るのかを確認し、同じ面の中にある点同士を結びます。これを繰り返すことで、切り口の形が見えてきます。

家庭で扱う場合は、最初から難しい立方体の切断に入る必要はありません。豆腐や消しゴム、紙の箱などを使って、実際に斜めに切るイメージを持たせると理解しやすくなります。手を動かして確かめることが、切断問題の解説を理解する近道です。

家庭でできる立体図形の理解を深める勉強法

身近な箱を使って立体を触ってみる

立体図形の理解を深めるには、身近な箱を使うのが効果的です。ティッシュ箱、お菓子の箱、牛乳パックなどを使えば、直方体や立方体に近い形を実際に触ることができます。

箱を見ながら、上の面、下の面、前の面、後ろの面を確認します。次に、展開図のように開いたらどの面がどこへ行くかを考えます。実際に箱を開いてみると、展開図が立体につながっていることを実感できます。

立体図形が苦手な子ほど、紙の上だけで学ぶより、実物を触る経験が必要です。手で触って理解したことは、見取り図や展開図を読むときの支えになります。

解説を読む前に図へ印を入れる

立体図形の問題では、解説を読む前に自分で図へ印を入れる習慣をつけましょう。長さ、高さ、切る場所、見えている面、隠れている面などを図に書き込むことで、問題の条件が整理されます。

たとえば、体積を求める問題なら、底面積と高さに印をつけます。表面積を求める問題なら、外から見える面に丸をつけます。切断問題なら、切る平面が通る点に印をつけます。

この作業をせずに解説を読むと、きれいな図を見て分かった気になりやすくなります。家庭では、「解説を見る前に、分かっている場所に印をつけよう」と声をかけるとよいでしょう。

間違い直しは「見えなかった部分」を確認する

立体図形の間違い直しでは、答えや式を写すだけでは不十分です。どの部分が見えていなかったのかを確認することが大切です。

たとえば、表面積の問題で間違えたなら、外から見えない面を数えていなかったか、反対に隠れている面まで足していなかったかを見ます。切断問題で間違えたなら、切り口がどの面を通るのかを見落としていなかったか確認します。

間違い直しノートには、「体積と表面積を混同した」「隠れている面を数えた」「切り口の辺を結べなかった」など、原因を短く書くと効果的です。原因が分かれば、次に同じタイプの問題を解くときに注意できます。

まとめ

中学受験算数の立体図形は、見えている図だけでなく、奥にある辺、裏側の面、内部の切り口など、見えない部分を考える単元です。公式を覚えることも大切ですが、それだけでは入試問題に対応しにくくなります。

まずは、見取り図で奥行きと高さを確認し、展開図では向かい合う面を意識し、体積と表面積を分けて考えましょう。直方体や立方体の積み上げ、くり抜き、水量変化、切断問題では、求める場所を図の中で明確にすることが大切です。

家庭では、身近な箱を使って立体を触る、解説を読む前に図へ印を入れる、間違えたときに「見えなかった部分」を確認する方法が効果的です。立体図形は、頭の中だけで考えようとすると難しく感じますが、実物や図を使って整理すれば、少しずつ理解できるようになります。

保護者は、答えを急がせるより、「どの面が見えている？」「どこが隠れている？」「中身を求めるのか、外側を求めるのか」と声をかけてあげてください。立体図形は、正しい見方を身につければ、苦手な子でも得点につなげられる単元です。