中学受験算数｜展開図の基本をやさしく解説

中学受験算数の展開図は何を理解する単元か

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の展開図を理解するための基本と、家庭でできる具体的な教え方を順に解説します。

展開図は立体の表面を平面に開いた図

展開図とは、立体の表面を辺に沿って切り開き、重ならないように平面へ広げた図です。立方体なら6枚の正方形、直方体なら向かい合う面が同じ大きさになる6枚の長方形で構成されます。

子どもが展開図を苦手にする理由は、平面に並んだ面を頭の中で立ち上げ、立体へ戻さなければならないからです。大人には簡単に見えても、6枚の面を同時に動かす作業は、小学生にとって負担が大きくなります。

最初から頭の中だけで組み立てる必要はありません。紙を実際に切って折り、どの面がどこへ移るかを確認することが、展開図を理解する第一歩です。

展開図の学習では、形を暗記することより、「この面を底にすると、周りの面がどう立ち上がるか」を順番に考えることが大切です。

面の形だけでなく位置関係を見る

展開図では、正方形や長方形が何枚あるかだけでなく、組み立てた後の位置関係を読み取ります。

立方体には、上・下・前・後ろ・右・左の6面があります。ある面を上面と決めたとき、その反対側が下面です。前面と後面、右面と左面もそれぞれ向かい合います。

展開図の紙面上で隣にある面が、立体でも必ず隣り合うとは限りません。反対に、紙面上では離れている面が、折り上げると隣り合うこともあります。

そのため、展開図を平面の配置だけで判断するのは危険です。基準となる面を決め、ほかの面が立体のどこへ来るかを一つずつ確かめます。

家庭では、「この面を下にしたら、上に来るのはどれ？」と聞いてみてください。面の位置を言葉にできると、頭の中でも組み立てやすくなります。

展開図は立体図形全体の土台になる

展開図は、単独の問題として出るだけではありません。表面積、サイコロ、容器、回転体、立体の切断など、さまざまな立体図形の土台になります。

たとえば、表面積を求めるには、立体を構成する面の形と大きさを理解しなければなりません。直方体なら、同じ大きさの面が2枚ずつ3組あります。展開図を見れば、その関係を平面上で確認できます。

また、立体に数字や模様が書かれた問題では、どの面が向かい合うか、どの辺同士が重なるかを考えます。これは展開図の基本そのものです。

展開図を丁寧に学ぶことは、入試の立体図形全体を理解しやすくする準備になります。早く難問へ進むより、面と辺のつながりを正確に見る力を育てることが重要です。

展開図の解説で押さえたい3つの基本

基準の面を決めて1枚ずつ折り上げる

展開図を組み立てるときは、最初に基準となる面を1枚決めます。6枚すべてを同時に動かそうとすると混乱するためです。

立方体なら、中央付近にある面を底面と考えると分かりやすくなります。底面に接している面を前・後ろ・右・左の側面として1枚ずつ立ち上げます。最後に残った面を上面として閉じます。

たとえば、正方形が縦に4枚並び、2枚目の左右に1枚ずつ付いている展開図を考えます。縦の2枚目を底面とすれば、その上下左右にある4枚が側面となり、縦の一番端の面が上面になります。

折る順番が決まると、どの面がどこへ行くかを追いやすくなります。家庭では、子どもに「最初にどの面を床へ置く？」と聞き、基準を自分で決めさせましょう。

向かい合う面と隣り合う面を区別する

展開図の頻出ポイントが、向かい合う面と隣り合う面の判定です。

立方体では、1つの面に対して、辺を共有する隣の面が4枚、向かい合う面が1枚あります。向かい合う2面は、組み立てたときに同じ辺を共有しません。

向かい合う面を探すときは、基準面の周囲にある面を側面として立ち上げ、最後にふたをする面を確認します。基準面と最後に閉じる面が向かい合います。

サイコロの問題では、向かい合う面の数字や記号を問われることがあります。展開図の配置を丸暗記するのではなく、どの面を基準にしても位置関係を説明できることが大切です。

「Aと辺を共有する面はどれ？」「Aの反対側はどれ？」と問いかけ、隣と反対を分けて答えさせると理解が安定します。

重なる辺と頂点を対応させる

中学受験の展開図では、面だけでなく、組み立てたときに重なる辺や頂点を問う問題も出ます。

考え方の基本は、面を折り上げたときに、どの辺が同じ場所へ来るかを追うことです。特に、離れて描かれた2本の辺が、立体になると重なる場合があります。

辺の対応が難しいときは、各頂点に番号をつける方法が有効です。たとえば、基準面の4つの頂点を①②③④とし、隣接する面にも共有する頂点の番号を書き込みます。折り上げたときに同じ位置へ集まる頂点を追えば、重なる辺も見つけやすくなります。

立方体の1つの頂点には、3枚の面と3本の辺が集まります。この性質を使うと、立体になったときのつながりを確認できます。

家庭では、色鉛筆が使えるなら、重なりそうな辺を同じ色で塗る方法も効果的です。目で確認した後、色を使わずに再現できる状態へ進めましょう。

中学受験算数でよく出る展開図の問題

立方体になる展開図を選ぶ問題

基本的な出題は、複数の図から立方体になる展開図を選ぶ問題です。正方形が6枚つながっていても、すべてが立方体になるわけではありません。

組み立てたときに面同士が重なったり、上面が空いたりする配置は展開図になりません。特に、正方形が4枚で大きな2×2の正方形を作る配置は、折り上げると面が重なりやすいため注意が必要です。

判断するときは、基準面を1枚決め、周囲の面を順番に折ります。頭の中で難しければ、問題の図を写して切り取っても構いません。

ただし、最終的には「この2面が同じ場所へ重なるからできない」と理由を説明できることが大切です。形の丸暗記だけでは、向きを変えた問題に対応しにくくなります。

数字や記号が入る面を求める問題

サイコロや立方体の各面に数字、文字、模様が入った問題も頻出です。問われるのは、向かい合う面、隣り合う面、特定の向きから見える模様などです。

たとえば、Aの面を下にしたとき上に来る面を求める問題では、Aと向かい合う面を探します。Aを前にし、Bを上にしたとき右側へ来る面を求める問題では、立体全体の向きを整理しなければなりません。

このタイプでは、最初に向かい合う面を3組決めると考えやすくなります。その後、基準となる面を正面や上面へ置き、残りの側面の並びを確認します。

家庭では、実際の箱に付箋を貼り、A・B・Cなどの記号を書いて回してみると理解しやすくなります。操作後に展開図へ戻り、同じ位置関係を説明させましょう。

直方体・柱体の表面積と組み合わせる問題

展開図は、直方体や三角柱などの表面積とも組み合わされます。展開図にしたときの各面の形と大きさを求め、面積を合計する問題です。

直方体には、同じ大きさの長方形が2枚ずつ3組あります。たて4cm、横5cm、高さ3cmなら、面の大きさは「4×5」「5×3」「4×3」の3種類です。それぞれ2枚ずつあるため、表面積は94平方cmになります。

三角柱なら、合同な三角形が2枚と、側面となる長方形が3枚あります。側面の横の長さは、底面の三角形の各辺に対応します。

展開図で各面の位置と大きさを確認できれば、表面積の数え漏れを防ぎやすくなります。公式だけで処理するより、「どの面を何枚足したか」を説明できることが重要です。

家庭でできる展開図の理解を深める方法

紙を切って実際に組み立てる

展開図が苦手な子には、紙を切って組み立てる練習が最も分かりやすい方法です。

問題集の展開図をコピーするか、方眼紙に写し、切り取って辺に沿って折ります。どの面が上面、底面、側面になるかを確認しましょう。

正しい展開図だけでなく、立方体にならない配置も折ってみると効果的です。「面が重なった」「ふたが閉じなかった」という失敗を実際に見ることで、成立しない理由を理解できます。

毎回工作をする必要はありません。最初に数回実物で確かめ、その後は図を見ながら頭の中で折る練習へ移ります。分からなくなったときだけ、再び紙へ戻れば十分です。

面に名前をつけて言葉で説明する

展開図を理解するには、面に名前をつけて説明する練習が有効です。

6枚の面にA・B・C・D・E・Fと記号を書きます。次に、「Aを底面にすると、Bは前面、Cは右面」のように、組み立て後の位置を言葉にします。

言葉で説明できると、子どもがどこで混乱しているかを保護者も把握できます。「Aの反対が分からない」のか、「右と左が入れ替わる」のかによって、必要な練習は異なります。

保護者が答えを先に教えず、「最初にどの面を固定する？」「その面の反対側はどれ？」と順番に尋ねることが大切です。考える手順が身につけば、初めて見る展開図にも対応しやすくなります。

解き直しでは図を白紙から再現する

展開図は、解説を見ると分かった気になりやすい単元です。完成した立体や対応する面が示されているため、その場では理解できます。

しかし、翌日に同じ問題を見ると、向かい合う面を判断できないことがあります。そこで、解き直しでは答えを写さず、展開図を白紙から描き直します。

翌日は展開図と面の記号だけ、3日後は向かい合う面まで、1週間後は問題全体というように、復習を分けても構いません。

大切なのは、正解の記号を覚えることではなく、「基準面を決めて折る」という手順を再現することです。短時間でも間隔を空けて繰り返すと、立体の位置関係が定着しやすくなります。

まとめ

中学受験算数の展開図は、立体の表面を平面に開き、再び組み立てたときの面・辺・頂点の位置関係を考える単元です。

理解の基本は、基準となる面を1枚決め、周囲の面を1枚ずつ折り上げることです。6枚すべてを同時に動かそうとせず、底面、側面、上面の順に考えましょう。

入試では、立方体になる展開図の判定、向かい合う面、重なる辺や頂点、数字・記号の位置、表面積などが問われます。配置を丸暗記するのではなく、なぜその位置になるのかを説明できることが重要です。

家庭では、紙を実際に切って組み立て、面に記号をつけて位置を言葉にします。その後、同じ展開図を白紙から再現することで、実物の理解を入試で使える力へ変えられます。

展開図は、空間認識のセンスだけで決まる単元ではありません。保護者は「答えはどれ？」と急がせず、「どの面を最初に固定する？」「反対側へ来る面はどれ？」「この辺はどこと重なる？」と問いかけながら、組み立てる順番を支えてあげてください。