中学受験算数 展開図の家庭学習法

中学受験算数の展開図は家庭学習で差がつく

この記事では、中学受験算数の展開図を家庭でどう学べば定着するのか、実物を使った練習から入試で得点する方法まで順を追って解説します。

塾で分かっても家庭で解けない理由

展開図とは、立体の表面を切り開き、平面に広げた図です。中学受験算数では、立方体や直方体を組み立てたとき、どの面が向かい合うか、どの辺や頂点が重なるかを考えます。

塾の授業では、先生が面を折る方向や、重なる辺を順番に示してくれます。そのため、子どもは説明を見ながら「分かった」と感じます。しかし家庭で一人になると、最初にどの面を見ればよいか分からず、手が止まることがあります。

これは、授業を理解していなかったからではありません。先生が示した手順を、自分で再現できる状態まで練習していないことが原因です。

たとえば、向かい合う面を求める問題では、一面を底面に決め、周囲の面を一枚ずつ起こします。この入口を自分で見つけられなければ、六面を同時に頭の中で動かそうとして混乱します。

家庭学習の役割は、授業内容をもう一度説明することではありません。子ども自身が、最初の一手から解き方を再現できるようにすることです。

空間認識力だけの問題ではない

展開図が苦手だと、「うちの子には空間認識力がないのでは」と心配になる保護者もいます。しかし、展開図は生まれつきの感覚だけで決まる単元ではありません。

苦手な子の多くは、一度に考える情報が多すぎて混乱しています。面の位置、辺の向き、頂点の対応をすべて頭の中に置こうとするため、途中で上下左右が入れ替わるのです。

そこで必要なのが、考えたことを図へ残す習慣です。動かさない面に丸をつける、面が起きる方向を矢印で示す、重なる辺に同じ文字を書くといった方法があります。

展開図は「頭の中で見えるか」ではなく、「情報を整理する手順を使えるか」が大切です。実物を折り、図へ書き込み、少しずつ頭の中で処理する範囲を増やせば、苦手な子でも改善できます。

親がすべて教える必要はない

家庭で展開図を見るとき、親が正しい折り方を詳しく説明しなければならないと思う必要はありません。

親が答えまで教えると、その問題は解けても、次の展開図でまた止まることがあります。大切なのは、子どもが見る順番を整理できるように質問することです。

「どの面を動かさずに考える？」「最初に起こす面はどれ？」「この辺はどこと重なりそう？」と、一つずつ聞いてみましょう。

分からないときは、すぐ答えを伝えず、紙で作って確かめます。予想が外れても、「どこで向きを逆にしたかな」と一緒に見直せば、間違いが学びになります。

家庭では、親が先生になるより、子どもの考えを整理する案内役になることが効果的です。

展開図の家庭学習で固めたい基本

基準となる面を一つ決める

展開図の問題では、最初に動かさない基準面を一つ決めます。途中で基準面を変えると、上・下・右・左の関係が入れ替わり、混乱しやすくなります。

文字や模様がある面を問われているなら、その面を底面や正面として考えると分かりやすいでしょう。特に指定がなければ、多くの面とつながっている中央付近の面を選びます。

基準面には丸をつけます。そして、問題を解き終えるまで、その面を動かさずに考えます。

家庭では、子どもが止まったら「今、どの面を底にしている？」と聞いてください。答えられない場合は、基準面が決まっていない可能性があります。

一つの面を固定すると、一度に六面すべてを考える必要がなくなります。まず基準面と隣り合う面だけを見ればよいため、展開図の負担が軽くなります。

面を一枚ずつ起こして考える

基準面を決めたら、直接つながっている面から一枚ずつ起こします。立方体全体を一気に完成させようとしないことがポイントです。

基準面の右側にある面なら右側面、上側にある面なら奥側面というように、完成後の位置を言葉にします。面の中へ「右」「奥」などと書いても構いません。

基準面の周りに四つの面がある場合、それらは立方体の側面として立ち上がります。そして、残った面がふたのように折れ、基準面の反対側へ来ます。

向かい合う面を求める問題では、この「最後にふたをする面」を探す方法が有効です。

家庭学習では、一面を起こすたびに「この面はどこへ来た？」と確認しましょう。一枚ずつ処理する習慣がつくと、初めて見る配置にも対応しやすくなります。

辺と頂点には同じ記号をつける

展開図では、面だけでなく、組み立てた後に重なる辺や頂点も問われます。

辺アと重なる辺を探すなら、候補となる辺にも「ア」と書きます。さらに、それぞれの辺の両端へ1・2などの番号をつけ、頂点の向きまで確認します。

辺同士が重なっていても、一方の上端が、もう一方の下端と一致する場合があります。辺全体だけを見ていると、頂点の問題で取り違えます。

立方体の一つの頂点には三つの面が集まります。「この点にはどの三面が集まるか」を考えると、同じ頂点になる点を見つけやすくなります。

練習段階では色鉛筆を使ってもよいでしょう。慣れてきたら、入試本番を想定して、鉛筆の記号だけで整理する練習へ移します。

家庭でできる展開図の練習方法

紙で作る前に答えを予想する

家庭学習では、展開図を実際に紙で作る練習が効果的です。ただし、何も考えずに組み立てるだけでは、工作で終わってしまいます。

方眼紙に展開図を書いたら、切り取る前に答えを予想します。「Aと向かい合う面はどれ？」「辺アと重なる辺はどれ？」と問いかけ、図へ印をつけさせましょう。

その後で紙を切り、実際に組み立てて確認します。予想と違っていたら、答えを書き直すだけでなく、どこで考え方がずれたかを探します。

たとえば、「右へ起こす面を左へ折った」「重なる辺の両端を逆にした」などです。

一つの展開図を、面・辺・頂点という三つの視点で使えば、何枚も作らなくても十分な練習になります。問題数より、予想と確認の往復を重視しましょう。

実物・書き込み・図だけの順に進める

展開図の家庭学習は、「実物」「書き込み」「図だけ」の三段階で進めると無理がありません。

最初は紙を実際に折り、面の移動を目で確認します。次に、紙は切らず、基準面への丸、面の動きを示す矢印、重なる辺の記号を書いて考えます。最後に、必要最低限の印だけで問題を解きます。

いきなり「頭の中で考えて」と言われても、苦手な子には何をすればよいか分かりません。一方、いつまでも実物を折るだけでは、制限時間のあるテストで使える力になりません。

前日に実物で確認した問題を、翌日に図だけで解けるか試しましょう。説明できなければ、書き込みや実物の段階へ戻って構いません。

この往復を繰り返すことで、実物に頼らず考えられる範囲が少しずつ広がります。

身近な箱やサイコロを教材にする

展開図の家庭学習には、特別な教材がなくても大丈夫です。お菓子の箱、ティッシュ箱、サイコロなどが使えます。

箱を開いて平らにすると、立体の表面がどのようにつながっていたかを確認できます。箱の各面に「上」「下」「右」「左」と付箋を貼り、開いたときの位置を比べるのもよい練習です。

サイコロでは、向かい合う面や、ある面を上にしたときの正面を考えられます。実物を回す前に答えを予想し、その後で確かめましょう。

身近な物を使う利点は、面の位置関係を何度でも確認できることです。ただ眺めるだけでなく、「この面を底にしたら、反対側はどれ？」と問いを作ることが大切です。

日常の中で立体と平面を行き来する経験が、問題集の展開図を理解する土台になります。

展開図を得点につなげる家庭学習の進め方

学年に合わせて学習内容を変える

展開図の家庭学習は、学年に応じて目標を変えましょう。

小4では、紙を折る、箱を開く、面・辺・頂点を数えるなど、実物に触れることを優先します。週1〜2回、10分程度でも十分です。

小5では、向かい合う面、重なる辺、同じ頂点になる点を、書き込みを使って判断する練習をします。立方体になる展開図を選ぶ問題にも取り組みましょう。

小6では、サイコロの位置関係や、立体表面上の最短距離、志望校の過去問へ進みます。ただし、応用問題で止まる場合は、基準面を固定して一枚ずつ折る基本へ戻ります。

早く難問へ進むより、実物を使わず理由まで説明できることを、次の段階へ進む目安にしてください。

間違えた問題は時間を空けて復習する

展開図は、答えを見た直後には解けても、数日後に同じような問題で止まることがあります。面の配置を一時的に覚えているだけだからです。

間違えた当日は、実物や矢印を使って原因を確認します。翌日は、実物なしで同じ問題を解きます。3日後から1週間後には、配置を変えた類題を解きましょう。

同じ問題では、折る手順を再現できるかを確認します。類題では、展開図の向きや記号が変わっても、同じ考え方を使えるかを見ます。

復習ノートには、「基準面を途中で変えた」「辺の向きを逆にした」など、間違いの原因を一言で残します。その横に、「最初に丸をつける」「辺の両端にも番号を書く」と次の対策を書きましょう。

親は正解より考えた順番を確認する

家庭学習では、正解したかだけでなく、どの順番で考えたかを確認してください。

「最初にどの面を基準にした？」「次にどの面を起こした？」「なぜこの辺と重なると思った？」と聞くと、理解の状態が分かります。

正解していても説明できなければ、形を覚えているだけかもしれません。反対に、答えが違っていても、基準面と面の動きが正しければ、辺の向きだけを直せばよい場合があります。

「よく見れば分かるでしょう」と言うより、「まず動かさない面を決めよう」と、見る順番を示す方が効果的です。

親の役割は、展開図を代わりに組み立てることではありません。子どもが自分の考え方を言葉にし、どこで迷ったかを見つけられるように支えることです。

まとめ

中学受験算数の展開図は、家庭学習で伸ばしやすい単元です。塾で聞いた解き方を、実物・書き込み・図だけという順番で再現することで、理解を定着させられます。

まず、動かさない基準面を一つ決め、周囲の面を一枚ずつ起こしましょう。重なる辺と頂点には同じ記号をつけ、辺の両端の向きまで確認します。

家庭では、紙を作る前に答えを予想し、組み立てた後に考え方のずれを振り返ります。箱やサイコロなどの身近な物も、立体と展開図の関係を理解する教材になります。

小4では実物、小5では書き込み、小6では最短距離や過去問へと段階的に進めてください。間違えた問題は、翌日と数日後に解き直し、形が変わっても同じ手順を使えるか確認します。

展開図は、頭の中で立体を自由に動かす力だけで解くものではありません。見る順番と印の付け方を家庭学習で身につければ、苦手な子でも入試で安定して得点できる単元へ変えられます。