中学受験算数｜展開図の基本と教え方

中学受験算数の展開図で押さえたい基本

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の展開図で最初に身につけたい基本と、家庭で無理なく教える方法を順に解説します。

展開図は立体の表面を開いた図

展開図とは、立体の表面を辺に沿って切り、重ならないように平面へ広げた図です。立方体の展開図は6枚の正方形、直方体の展開図は6枚の長方形でできています。

子どもが最初に理解したいのは、展開図が立体とは別の形ではなく、立体の表面を開いたものだということです。平面に並んだ面を折り上げれば立体になり、立体を切り開けば展開図へ戻ります。

この関係があいまいなまま問題演習へ進むと、展開図を単なる「正方形の並び」として見てしまいます。そのため、どの面が上や下になるか、どの辺同士がつながるかを考えられません。

家庭では、ティッシュ箱やお菓子の箱を一つ用意し、面に沿って開いてみましょう。立体だった箱が平面へ変わる様子を見ると、展開図の意味を実感しやすくなります。

面・辺・頂点のつながりを理解する

展開図では、面だけでなく、辺と頂点のつながりも重要です。立方体には面が6枚、辺が12本、頂点が8個あります。

ただし、個数を暗記するだけでは十分ではありません。立方体の1つの頂点には3本の辺と3枚の面が集まり、1本の辺は2枚の面に共有されています。この関係を理解すると、展開図を組み立てたときのつながりを追いやすくなります。

たとえば、展開図では離れて描かれている2本の辺が、組み立てると同じ場所で重なることがあります。また、別々に見える3つの頂点が、立方体になると1つの頂点へ集まる場合もあります。

箱の角を指で触りながら、「ここには面が何枚集まっている？」「この辺に接する面は何枚？」と確認しましょう。実物で分かった関係を展開図へ移すことが、基本理解につながります。

形の暗記より組み立てる手順が大切

立方体の展開図には複数の形があります。そのため、正しい配置をすべて暗記しようとする子もいます。しかし、中学受験では形の向きが変わったり、数字や記号が入ったりするため、丸暗記だけでは対応しにくくなります。

展開図で覚えたいのは、正解の形ではなく、組み立てる手順です。最初に基準となる面を決め、その周りの面を1枚ずつ立て、最後に立体が閉じるかを確認します。

この手順が身についていれば、初めて見る配置でも判断できます。反対に、形だけを覚えていると、展開図が回転しただけで別のものに見えてしまいます。

家庭では「この展開図を覚えている？」ではなく、「最初にどの面を床に置く？」と聞きましょう。考え始める場所が決まると、展開図を順序立てて見られるようになります。

展開図の基本となる立方体の考え方

基準となる面を1枚決める

展開図を組み立てるときは、最初に基準となる面を1枚決めます。6枚の面を同時に動かそうとすると、上下や左右が分からなくなるからです。

中央付近にあり、多くの面とつながっている正方形を底面にすると考えやすいでしょう。底面は動かさず、そこに接する面を前・後ろ・右・左へ1枚ずつ立てます。最後に残った面で上を閉じます。

たとえば、正方形が縦に4枚並び、2枚目の左右に1枚ずつ付いた展開図を考えます。縦の2枚目を底面にすると、上下左右の4枚が側面として立ち上がり、縦の端にある1枚が上面になります。

面にA・B・Cなどの記号をつけ、「Aを底面にする」「Bを前へ立てる」と言葉にすると、面の動きを整理しやすくなります。

向かい合う面と隣り合う面を分ける

立方体には、向かい合う面が3組あります。上面と底面、前面と後面、右面と左面です。

向かい合う2面は、立体になったときに辺を共有しません。一方、隣り合う面は1本の辺を共有します。ある1面に対して、隣り合う面は4枚、向かい合う面は1枚です。

向かい合う面を探すときは、基準面を底に置きます。周りの4枚を側面として立てたあと、最後に上から閉じる面が、基準面と向かい合う面です。

注意したいのは、展開図の紙面上で離れている面が、組み立てると隣り合う場合があることです。平面上の距離だけで判断せず、実際にどちらへ折れるかを考えます。

家庭では、「Aと隣り合う面はどれ？」「Aの反対側はどれ？」と分けて聞きましょう。隣と反対の違いを説明できれば、基本が身についています。

重なる辺と頂点には記号をつける

展開図の基本問題では、組み立てたときに重なる辺や頂点を問われることがあります。目だけで追うのが難しい場合は、記号を書き込んで整理しましょう。

まず、基準面の4つの頂点へ①②③④と番号をつけます。隣の面には、共有している頂点と辺の番号を書き写します。その面を折ったときに、どの番号が同じ場所へ来るかを追います。

辺についても「あ・い・う」などの記号をつけると、組み立て後の対応を確認しやすくなります。最初は同じ場所へ重なる辺を同じ色で塗っても構いません。

立方体の1つの頂点には、3枚の面が集まります。2枚の面の位置が分かれば、そこへ集まる3枚目の面も探しやすくなります。

記号を書く目的は、答えを複雑にすることではありません。頭の中だけで考える情報を減らし、位置関係を見えるようにするためです。

中学受験算数でよく出る展開図の基本問題

立方体になる展開図を選ぶ問題

中学受験でよく出るのが、複数の図から立方体になる展開図を選ぶ問題です。正方形が6枚つながっていても、必ず立方体になるとは限りません。

立方体にならない主な理由は、組み立てたときに2枚の面が同じ場所へ重なることや、立体を閉じる面が足りないことです。

判定するときは、基準面を1枚決め、周囲の面を順番に立てます。途中で2枚が同じ位置へ来たら、その配置では立方体を作れません。最後まで折ったときに、6面が重ならずに閉じれば正しい展開図です。

正解した後は、「何となく作れそうだった」で終わらせないことが大切です。「この面が上になり、ほかの面と重ならないから」と理由を説明させましょう。根拠を言えるようになると、勘に頼るミスが減ります。

数字や模様の位置を考える問題

立方体の各面に数字、文字、模様が描かれた問題も頻出です。向かい合う面や、ある向きから見える面を答えます。

最初に、向かい合う面を3組に分けると整理しやすくなります。その後、問題文で指定された面を正面や上面に固定し、残りの面がどこへ来るかを考えます。

たとえば、「Aを正面、Bを上面にしたとき、右側に来る面」を求める場合は、AとBを動かさずに置きます。AやBと向かい合う面は右側には来ないため、候補を絞れます。

右と左を取り違える子には、箱へ付箋を貼り、A・B・Cなどを書いて実際に回す方法が効果的です。操作後に同じ位置関係を展開図で確認すると、実物と図が結びつきます。

直方体の辺の長さと表面積の問題

直方体の展開図では、面の位置だけでなく、接する辺の長さも確認する必要があります。

たて4cm、横6cm、高さ3cmの直方体なら、「4cm×6cm」「6cm×3cm」「4cm×3cm」の長方形が、それぞれ2枚ずつあります。

展開図を組み立てたときに接する辺は、同じ長さでなければなりません。4cmの辺と6cmの辺を重ねて直方体を作ることはできません。

表面積を求める場合は、6枚すべての面積を足します。この例なら、4×6、6×3、4×3の面積をそれぞれ2倍するため、表面積は108平方cmです。

展開図を使えば、どの大きさの面が何枚あるかを目で確認できます。公式だけでなく、「何cmと何cmの面を何枚足したか」を説明できるようにしましょう。

家庭で身につける展開図の基本学習

紙を切って組み立ててから図へ戻る

展開図の基本を理解するには、紙を実際に切って組み立てる方法が効果的です。方眼紙へ立方体の展開図を描き、切り取って辺に沿って折ります。

各面にA～Fの記号を書き、完成した立方体の上・下・前・後ろ・右・左を確認します。立方体にならない配置も折ると、面が重なる様子を実感できます。

重要なのは、組み立てて終わらないことです。もう一度開き、「上だった面は展開図のどこ？」「この2本の辺が重なったね」と平面の図へ戻します。

実物と展開図を往復すると、面がどの方向へ動いたかを理解しやすくなります。紙を使うことは遠回りではなく、頭の中で組み立てるための土台作りです。

1日10分で折る・描く・説明する

展開図は、長時間まとめて学ぶより、短時間でも繰り返し触れる方が定着しやすい単元です。

家庭では、1日10分程度で「折る・描く・説明する」を行いましょう。初日は紙を折り、翌日は同じ展開図を描き、3日目は向かい合う面を説明するという進め方でも構いません。

一度に扱う問題は2～3問で十分です。月曜日は立方体になる展開図、火曜日は向かい合う面、水曜日は重なる辺というようにテーマを分けると、負担を抑えられます。

最後に、「最初にどの面を固定した？」「なぜこの2面が向かい合うの？」と聞いてみてください。答えだけでなく、考え方を言葉にすることが基本の定着につながります。

間違い直しは答えより手順を確認する

展開図の間違い直しで、正解の記号や選択肢を書き写すだけでは力がつきません。配置が少し変われば、再び迷ってしまうからです。

間違えた問題は、基準面を決めるところからやり直します。次に、周囲の面を1枚ずつ立て、向かい合う面や重なる辺を確認します。

翌日は面の位置、3日後は辺と頂点、1週間後は問題全体というように、復習を分けてもよいでしょう。毎回すべてを解かなくても、手順を再現できれば学習効果があります。

展開図で残したいのは、答えの記憶ではありません。「基準面を決める→1枚ずつ折る→重なりを確認する」という考え方です。この流れが使えれば、初めて見る問題にも対応できます。

まとめ

中学受験算数の展開図では、立体の表面を平面へ開いたものだと理解することが基本です。面だけでなく、辺や頂点が組み立て後にどのようにつながるかも確認します。

問題を解くときは、6枚の面を同時に動かさず、基準となる面を1枚決めましょう。その面を底面として、周囲の面を1枚ずつ立て、最後に上面を閉じます。

向かい合う面と隣り合う面を区別し、重なる辺や頂点には記号をつけます。直方体では、面の形だけでなく、接する辺の長さが等しいかも確認してください。

家庭では、最初に紙を切って実際に組み立て、その後に元の展開図へ戻ります。1日10分でも、折る・描く・説明する学習を続ければ、図だけで位置関係を考える力が育ちます。

保護者は答えを先に教えるのではなく、「どの面を最初に固定する？」「この面の反対側はどれ？」「この辺はどこと重なる？」と順番に問いかけてください。基本の見方と手順が身につけば、展開図は暗記ではなく、根拠を持って解ける単元になります。