中学受験算数 展開図偏差値70の攻略法

中学受験算数の展開図で偏差値70を狙う難しさ

この記事では、中学受験算数の展開図で偏差値70を目指すために必要な力と、難問の解き方、家庭での仕上げ方を順を追って解説します。

基本問題の正解だけでは差がつかない

偏差値70を目指す子であれば、立方体になる展開図の判定や、向かい合う面を求める基本問題は正解できることが多いでしょう。

しかし、上位層のテストでは、基本問題の正解だけでは大きな差がつきません。重なる辺と頂点、サイコロを何度も転がした後の位置、立体表面上の最短距離など、複数の条件を処理する問題で差が生まれます。

たとえば、向かい合う面を答えるだけなら、一面を底面にして周囲の面を起こせば判断できます。一方、「辺アと重なる辺を答え、さらに同じ頂点になる点を選ぶ」という問題では、面の位置に加えて辺の向きまで追わなければなりません。

偏差値70に必要なのは、展開図を頭の中で速く組み立てる才能だけではありません。問われている情報を絞り、必要な部分を図へ記録し、基本手順を崩さず処理する力です。

面・辺・頂点を同時に整理する必要がある

展開図の難問では、面・辺・頂点が別々に問われるとは限りません。面の位置を決め、その結果を使って辺や頂点を特定する問題が出ます。

立方体には6つの面、12本の辺、8つの頂点があります。展開図上では離れている辺が、組み立てると重なります。また、三つの異なる面にある点が、完成後には一つの頂点へ集まります。

ここで起こりやすいのが、重なる辺は合っているのに、両端の頂点を逆にするミスです。紙面上で同じ方向を向いているように見えても、折り上げたときには向きが反転することがあります。

偏差値70を狙う段階では、「この辺とこの辺が重なる」で終わらず、「一方の①の端は、もう一方のどちらの端へ来るか」まで正確に追う必要があります。

情報量が増えたときほど、頭の中だけで処理せず、文字や番号を図へ残すことが大切です。

正解しても解法が遅いと得点につながらない

難しい展開図を時間無制限で解けても、入試や模試で得点できるとは限りません。算数の試験では、展開図以外の問題にも時間を残す必要があるからです。

たとえば、最短距離の問題で考えられる展開方法をすべて描き、10分以上かけて正解しても、本番では効率的とはいえません。どの面を通る経路を優先して調べるか、同じ形になる候補を省けるかが重要です。

また、簡単な向かい合う面の問題に時間を使うと、後半の思考問題へ進めなくなります。上位層では、基本・標準問題を短時間で処理し、難問に使える時間を確保する力が必要です。

家庭学習では、正解したかだけでなく、「何分かかったか」「書き込みが多すぎなかったか」「不要な面まで追っていなかったか」を確認しましょう。

展開図で偏差値70に必要な3つの力

基準面を固定して必要な部分だけ追う力

展開図の基本は、動かさない基準面を一つ決めることです。これは偏差値70レベルの難問でも変わりません。

文字や模様が指定されている場合は、その面を底面または正面として固定します。基準面には丸をつけ、問題を解き終えるまで変更しません。

その後、問われている内容に必要な面だけを追います。辺アとの対応を求める問題なら、辺アを含む面と、その周囲の面を優先します。すべての面の完成後の位置を書き出す必要はありません。

難問になるほど、図に多くの情報が書かれています。しかし、すべてが解答に必要とは限りません。問題文の最後に線を引き、「面・辺・頂点・距離のどれを求めるのか」を確認しましょう。

必要な範囲だけを正確に処理することが、速さと正確さを両立させます。

辺の向きと頂点の対応を正確に追う力

重なる辺を考えるときは、辺の名前だけでなく、両端の頂点までセットで追います。

一方の辺をアとしたら、その両端を①・②とします。重なる候補の辺にもアと書き、どちらの端が①と一致するかを確認します。

頂点を特定するときは、「一つの頂点には三つの面が集まる」という性質も使えます。たとえば、基準面の右上の頂点には、基準面・右側面・奥側面の三面が集まります。この三面を展開図上で探せば、同じ頂点になる点を絞れます。

偏差値70を目指す子ほど、頭の中で処理できるため、書き込みを省略しがちです。しかし、難問での一点差は、こうした辺の向きの取り違えから生まれます。

分かっているから書かないのではなく、ミスを防ぐために最低限の記号を残す習慣をつけましょう。

複数の展開方法を比較する力

立体表面上の最短距離では、一つの展開図を描いて終わりとは限りません。始点と終点を結ぶ経路によって、通る面の組み合わせが変わるからです。

たとえば、直方体の向かい合う頂点を表面上で結ぶ場合、上面と側面を通る方法、二つの側面を通る方法など、複数の候補が考えられます。それぞれを平面に開くと、異なる縦横の長方形ができます。

偏差値70レベルでは、候補を機械的にすべて描くのではなく、対称性を使って同じ長さになるものをまとめる力も必要です。

また、「最短」と書かれているからすぐ対角線を使うのではありません。どの面を一続きに開いた対角線なのかを確認します。

複数の方法を比べる問題では、計算前に候補を整理することが、時間短縮と見落とし防止につながります。

偏差値70レベルの展開図問題の解き方

複雑な辺・頂点問題は面から順に絞る

記号の多い展開図では、いきなり辺や頂点を追うと混乱します。まず面の完成後の位置を決め、次に辺、最後に頂点という順で絞り込みます。

最初に、問われている辺を含む面を基準面にします。その面と直接つながる面を一枚ずつ起こし、完成後にどの面同士が隣り合うかを確認します。

次に、重なる可能性のある辺へ同じ記号をつけます。最後に辺の両端へ番号を書き、一つの頂点へ集まる三面を確認します。

この順番なら、六面すべてを完全に組み立てなくても答えにたどり着けます。

図への書き込みが多くなった場合は、問われている面の周辺だけを別に描き直しましょう。難しい問題ほど、元の小さな図に情報を詰め込まないことが重要です。

サイコロ問題は向かい合う面を先に決める

サイコロ問題では、最初に向かい合う面を3組決めます。この関係は、サイコロをどの向きに回しても変わりません。

次に、上面を一つ固定し、その周囲にある前・後・左・右の面を整理します。複数回転がす問題では、一度に最終状態を考えず、1回ごとに位置を書き換えます。

たとえば、右へ転がすと、右側面が新しい底面になり、元の底面が左側面へ、元の上面が右側面へ移ります。各回の上面と正面だけでも表にすると、記憶の負担を減らせます。

マス目の上を何度も移動する問題では、同じ移動が4回続くと元の向きへ戻ることもあります。この周期に気づけば、一回ずつ追う回数を減らせます。

ただし、周期を暗記するのではなく、最初の数回を正しく記録したうえで規則を見つけましょう。

最短距離は候補となる展開図を比較する

立体表面上の最短距離は、通る面を平面に開き、始点と終点を直線で結んで求めます。

隣り合う二面を通る場合は、その二面を一つの長方形としてつなげます。三面を通る場合は、どの順番で面を通るかによって、できる長方形の縦と横が変わります。

たとえば、たて3cm、横4cm、高さ5cmの直方体であれば、面の開き方によって、長方形の縦横が「3＋4と5」「3＋5と4」などに変わります。候補となる対角線を比較し、最も短いものを選びます。

難関問題では、始点や終点が頂点ではなく辺上にある場合もあります。その場合も、展開後の同じ辺上へ点を正しく移し、直線で結ぶ基本は同じです。

一つの展開方法だけで答えを決めず、対称なものを除いた候補を漏れなく比べましょう。

家庭で展開図を偏差値70まで伸ばす方法

一つの良問を別解まで使い切る

偏差値70を目指す段階では、難問を大量に解くより、一つの良問を深く扱う方が効果的です。

最初は時間を気にせず自力で解きます。次に解説と比べ、「基準面の選び方は適切だったか」「不要な面まで追っていなかったか」を確認します。

さらに、別の基準面からも解けるか、ほかの展開方法はないかを考えます。最短距離なら、候補をすべて整理し、なぜ一部を省けるのかも説明します。

数日後には、実物を使わず、時間を測って同じ問題を解き直します。

一問を「初見で考える」「解法を比較する」「制限時間内に再現する」の三段階で使うことで、理解・柔軟性・処理速度を同時に伸ばせます。

解法ノートには最初の一手を残す

難問の解説を長く写しても、次の問題の入口で使えるとは限りません。解法ノートには、最初に何へ気づくべきだったかを短く残します。

たとえば、「辺を追う前に面の位置を決める」「サイコロは向かい合う面を3組書く」「最短距離は通る面の候補を列挙する」といった内容です。

失点原因も具体的に書きましょう。「辺は合ったが頂点を逆にした」「展開方法を一つしか調べなかった」「全六面を追って時間を使った」などです。

テスト前には、問題全文や模範解答ではなく、この入口メモを見直します。自分が陥りやすいミスと、最初に行う動作を短時間で確認できます。

過去問では時間配分と捨て問を確認する

偏差値70を目指すからといって、展開図の難問をすべて完答する必要はありません。学校によっては、正答者が限られる最短距離やサイコロの難問が出ることもあります。

過去問では、向かい合う面や基本的な辺の対応など、大問前半を短時間で確保します。その後、後半へ進む価値があるかを判断します。

1〜2分考えても基準面や通る面の候補を決められない場合は、いったん後回しにする選択も必要です。解ける問題でも8分、10分とかかるなら、試験全体では後回しが適切な場合があります。

復習時には、「解けたか」だけでなく、「本番で取るべき問題だったか」「何分まで使うべきだったか」を確認してください。

偏差値70に必要なのは、難問を解く力と、合格点を守るために問題を選ぶ力の両方です。

まとめ

中学受験算数の展開図で偏差値70を目指すには、基本問題を正解するだけでなく、面・辺・頂点を正確かつ短時間で整理する力が必要です。

まず動かさない基準面を固定し、問われている部分に必要な面だけを追いましょう。辺には文字、両端の頂点には番号をつけ、向きの取り違えを防ぎます。

サイコロ問題では向かい合う面を先に整理し、一回転がすごとに位置を記録します。最短距離では、通る面を平面へ開き、考えられる候補を比較してください。

家庭学習では、一つの良問を初見演習・別解研究・時間演習の三段階で使います。解法ノートには長い答えではなく、「最初に何をするか」と失点原因を短く残しましょう。

過去問では難問の完答にこだわらず、大問前半を確実に取り、後半へ使う時間を判断することも重要です。正確な処理と冷静な取捨選択がそろえば、展開図は偏差値70を支える得点源になります。