中学受験算数「場合の数」を基本から解説

中学受験算数の「場合の数」とは

この記事では、中学受験算数の「場合の数」について、基本的な考え方から代表的な解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

場合の数は、条件に合う選び方や並べ方が何通りあるかを求める単元です。計算そのものは難しくない問題でも、数え漏れや重複によって正解できないことがあります。

塾の解説を聞いた直後は解けても、数字や条件が変わると手が止まる子も少なくありません。それは公式を知らないからではなく、「何を基準に、どの順番で数えるか」が整理できていないためです。

場合の数では、頭の中だけで数えず、書き出し、樹形図、表、計算を使い分けることが大切です。

場合の数は条件に合う選び方を数える単元

場合の数とは、問題文で与えられた条件に合う並べ方や選び方が、全部で何通りあるかを調べる単元です。

例えば、赤・青・黄の3枚のカードから2枚を選んで順番に並べる問題を考えます。

赤の次に青を並べる「赤青」と、青の次に赤を並べる「青赤」は、順番が異なるため別の並べ方です。この場合は、赤青、赤黄、青赤、青黄、黄赤、黄青の6通りになります。

一方、3枚から2枚を選ぶだけで順番を考えないなら、赤と青、赤と黄、青と黄の3通りです。

同じカードを使う問題でも、順番を区別するかどうかによって答えが変わります。問題文の条件を正確に読むことが、計算より先に必要です。

苦手になる原因は数え方の基準が曖昧だから

場合の数が苦手な子は、思いついたものから書く傾向があります。

例えば、1・2・3・4の数字から異なる2つを使って2けたの整数を作る問題で、「12、13、21、34……」のように思いつく順で書くと、数え漏れが起こりやすくなります。

十の位を1に固定すれば、12、13、14の3通りです。次に十の位を2、3、4と変えれば、同じ数ずつ整理して数えられます。

このように、一つの条件を固定してから、もう一つの条件を順に変えることが基本です。

場合の数で必要なのは、たくさん思いつく力ではありません。基準を決めて、一定の順番で調べる力です。

「順番を区別するか」を最初に確認する

場合の数の問題を読んだら、最初に「順番が変わると別のものとして数えるか」を確認します。

Aさん、Bさん、Cさんから班長と副班長を1人ずつ選ぶ場合、Aさんが班長でBさんが副班長の組み合わせと、Bさんが班長でAさんが副班長の組み合わせは別です。役割が異なるため、順番を区別します。

一方、3人から清掃係を2人選ぶだけなら、AさんとBさんを選ぶことと、BさんとAさんを選ぶことは同じです。

子どもには、「入れ替えたときに同じ結果になる？」と聞くと理解しやすくなります。

同じなら組み合わせとして1通り、違う結果になるなら別々に数えます。この確認を習慣にすると、重複による間違いを減らせます。

場合の数の基本的な解き方を解説

書き出しは条件の少ない問題に向いている

書き出しは、考えられる場合を一つずつ文字や数字で記録する方法です。

選択肢が少ない問題では、最も確実で分かりやすい解き方です。ただし、思いつく順ではなく、一定の規則に従って書く必要があります。

1・2・3・4から異なる2つを選んで2けたの整数を作るなら、十の位を小さい順に固定します。

十の位が1なら、12、13、14。
十の位が2なら、21、23、24。
同じように3、4まで書けば、全部で12通りです。

書き終わった後は、それぞれのまとまりに同じ数があるか確認します。まとまりごとの個数が不揃いなら、書き漏らしている可能性があります。

樹形図は順番のある問題を整理しやすい

樹形図は、最初の選択から次の選択へ枝を伸ばすように整理する方法です。

例えば、上着が白と黒の2種類、ズボンが青・灰・茶の3種類あるとします。

最初に白と黒の枝を作り、白から青・灰・茶、黒からも青・灰・茶へ枝を伸ばします。すると、2×3＝6通りあることが見て分かります。

樹形図の利点は、選択の順序と残りの選択肢を確認しやすいことです。数字を並べる問題や、複数回じゃんけんをする問題にも使えます。

ただし、枝の伸ばし方が途中で変わると数え漏れが起こります。左から小さい順、名前の五十音順など、枝を書く順番を最初に決めましょう。

表は2つの条件を組み合わせる問題に使う

2つのものを組み合わせる問題では、表を使うと重複を防ぎやすくなります。

例えば、4種類のケーキと3種類の飲み物から1つずつ選ぶなら、縦にケーキ、横に飲み物を書きます。交わるマスを数えると、4×3＝12通りです。

また、2個のさいころを投げて目の和を調べる問題でも表が役立ちます。縦横に1から6までを書き、それぞれの和を記入すれば、「和が7になる場合」などを漏れなく探せます。

表は、同じ組み合わせを2回数えていないかも確認しやすい方法です。

条件が2方向に分かれている問題を見たら、樹形図だけでなく表を使えないか考えましょう。

積の法則と和の法則を使い分ける

場合の数では、「かけ算」と「たし算」の使い分けが重要です。

上着を2種類から1つ選び、さらにズボンを3種類から1つ選ぶなら、2×3＝6通りです。「上着を選んで、その後にズボンを選ぶ」という連続した選択なので、かけ算を使います。これが積の法則です。

一方、電車で行く方法が3通り、バスで行く方法が2通りあり、どちらか一方を使うなら、3＋2＝5通りです。異なる方法をまとめるため、たし算を使います。これが和の法則です。

子どもには、「両方するならかけ算、どちらかならたし算」と説明すると理解しやすくなります。

ただし、条件によって選べる数が変化する問題では、単純なかけ算が使えません。その場合は樹形図や場合分けで確認します。

中学受験でよく出る場合の数の問題

数字を並べて整数を作る問題

数字カードから整数を作る問題は、中学受験でよく扱われます。

注意したいのは、0を含む場合です。0は最高位には置けないため、単純に選択肢の数をかけると多く数えてしまいます。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作る場合、百の位は0以外の3通りです。十の位は残り3通り、一の位は残り2通りなので、3×3×2＝18通りです。

さらに、「偶数になるもの」「300より小さいもの」といった条件が加わることもあります。

条件の強い位から固定すると整理しやすくなります。偶数なら一の位、数の大きさなら百の位から考えましょう。

人や物を並べる順列の問題

人を一列に並べる問題では、順番が変わると別の並び方になります。

A、B、Cの3人を一列に並べるなら、最初の場所は3人から選べます。次は残り2人、最後は残り1人なので、3×2×1＝6通りです。

中学受験では、「AとBが隣り合う」「Cを端に置く」「男子と女子が交互に並ぶ」といった条件が加わります。

AとBが隣り合う場合は、2人を一つのまとまりとして考える方法があります。ただし、まとまりの中にはABとBAの2通りがあることを忘れてはいけません。

条件つきの並べ方では、先に条件を満たす部分を固定し、その後で残りを並べるのが基本です。

グループや代表を選ぶ組み合わせの問題

人や物を選ぶだけで順番を区別しない問題は、組み合わせとして考えます。

4人から2人を選ぶ場合、A・BとB・Aは同じ組み合わせです。順番のある並べ方として数えると2回ずつ数えるため、重複を除かなければなりません。

小学生には公式だけを覚えさせるより、まず表や書き出しで確認させる方が理解しやすいでしょう。

Aと組む相手はB、C、D。次にBを見ると、Aとの組み合わせはすでに数えているため、C、Dだけを調べます。このように順に整理すると、全部で6通りと分かります。

代表を2人選ぶだけなのか、委員長と副委員長を選ぶのかによって、順番を区別するかが変わる点にも注意が必要です。

道順や図形と組み合わせた問題

場合の数は、道順や図形と組み合わせて出題されることもあります。

格子状の道を、右と上にだけ進んで目的地へ行く問題では、「右へ何回、上へ何回進むか」を並べる問題として考えられます。

途中に通れない道がある場合は、その場所を避ける道順を数えます。各交差点までの行き方の数を順に書き込み、左と下から来る数を足す方法も有効です。

図形では、何本かの直線から三角形を作る選び方や、多角形の頂点を結んで対角線を選ぶ問題があります。

見た目は図形問題でも、「何を選ぶと一つの形が決まるか」を考えると、場合の数として整理できます。

場合の数を家庭で定着させる教え方

答えより数え方の基準を説明させる

家庭で答え合わせをするときは、正解したかだけでなく、何を固定して数えたかを説明させましょう。

「十の位を1から順に固定した」
「最初に選ぶ人ごとに樹形図を分けた」
「同じ組み合わせを2回数えないようにした」

このように基準を言葉にできれば、数字や登場人物が変わっても同じ方法を使えます。

反対に、答えは合っていても「何となく書いた」という場合は、数え漏れが偶然なかっただけかもしれません。

保護者は「どうしてその式になるの？」と広く聞くより、「最初に何を固定したの？」と尋ねると、子どもも答えやすくなります。

数え漏れと重複を別々に確認する

場合の数の代表的なミスは、数え漏れと重複です。

数え漏れを防ぐには、数字の小さい順、名前の順など、一定の規則で書きます。重複を防ぐには、順番を入れ替えたときに同じものになるかを確認します。

間違えた問題には、「漏れ」または「重複」と書いておくと、子どもの傾向が見えてきます。

いつも数が少なくなるなら数え漏れ、いつも多くなるなら重複を疑います。

単に「場合の数が苦手」と捉えず、どちらのミスが多いかを見分けることで、復習内容を絞れます。

1回15分で同じ型を繰り返す

場合の数は、一度に大量の問題を解くより、同じ型を少量ずつ繰り返す方が定着しやすい単元です。

家庭学習では、1回15分程度で2～3問を目安にします。

1日目は書き出し、2日目は樹形図、3日目は表というように方法を次々変えるより、同じ整理方法を数日続けましょう。

例えば数字を並べる問題を3日間続け、最初の位を固定する考え方を安定させます。その後、人の並べ方へ移ると、同じ積の法則を使えることに気づきやすくなります。

速く進むことより、何も見ずに整理方法を選べることを優先してください。

間違えた問題は整理方法を変えて解き直す

解説を写すだけでは、場合の数の考え方は定着しにくいものです。

樹形図で間違えたなら、書き出しや表で同じ問題を確かめてみましょう。異なる方法で同じ答えになれば、数え方への理解が深まります。

例えば、上着2種類とズボン3種類の組み合わせは、樹形図でも表でも6通りになります。

複雑な問題では、最初に書き出して規則を見つけ、その後に計算でまとめる方法も有効です。

解き直しは当日だけで終わらせず、翌日と1週間後にも行います。そのときに自分で整理方法を選べれば、理解が定着したと判断できます。

まとめ

中学受験算数の「場合の数」は、条件に合う並べ方や選び方を、漏れなく重複なく数える単元です。

最初に確認したいのは、順番を区別するかどうかです。その後、一つの条件を固定し、残りを一定の順序で変えていきます。

選択肢が少ない問題には書き出し、順番のある問題には樹形図、2つの条件を組み合わせる問題には表が有効です。連続して両方を選ぶ場合はかけ算、どちらか一方を選ぶ場合はたし算を使います。

家庭学習では、答えだけでなく「何を固定したか」「なぜ重複しないか」を説明させてください。

また、間違いを数え漏れと重複に分けると、直すべきポイントが明確になります。1回15分程度で同じ型を繰り返し、翌日や1週間後にも解き直しましょう。

場合の数は、ひらめきだけで解く単元ではありません。書く順番と整理方法を身につければ、算数が苦手な子でも安定して正解できるようになります。