中学受験算数「場合の数」の対策と克服法

中学受験算数の「場合の数」で対策が必要な理由

この記事では、中学受験算数の「場合の数」で失点する原因を整理し、家庭で実践できる具体的な対策を基礎から順番に解説します。

場合の数は、足し算や掛け算ができるだけでは安定して得点できません。問題ごとに条件を読み取り、数え方を自分で決める必要があるからです。

苦手な子へ問題数だけを増やしても、同じ間違いを繰り返す可能性があります。まずは、場合の数が伸びにくい理由を確認しましょう。

同じ公式を当てはめても解けない

場合の数には、掛け算で求める問題もあれば、場合を分けて足し算する問題もあります。中には、全体から条件に合わない場合を引いた方が簡単な問題もあります。

たとえば、1・2・3の3枚のカードから2枚を並べる場合は、十の位が3通り、そのそれぞれについて一の位が2通りあるため、3×2＝6通りです。

ところが、0・1・2・3から2枚を並べて2桁の整数を作る場合、十の位に0は使えません。単純に4×3とすると、0から始まる並びまで数えてしまいます。

公式を覚えるより、「最初に何を選べるか」「その後の選択肢は毎回同じ数か」を確認する対策が必要です。

漏れと重なりに自分で気づきにくい

場合の数の代表的な失点原因は、数え漏れと重複です。

思いついた順に答えを書いていると、数えるべき場合を一つ落としたり、同じ組み合わせを表す順番を二度数えたりします。しかも計算ミスと違い、見直しても間違いに気づきにくい点が厄介です。

たとえば、A・B・Cから2人を選ぶ問題で、「AB、AC、BA、BC、CA、CB」と数えると6通りになります。しかし、単に2人組を選ぶならABとBAは同じ組なので、答えは3通りです。

数え方に基準を設け、決めた順番を最後まで守ることが対策の中心になります。

問題文の条件によって数え方が変わる

場合の数は、条件が一つ変わるだけで解き方も変わります。

「異なる数字を使う」「同じ数字を何度使ってもよい」「偶数を作る」「少なくとも一つ含む」などの言葉を読み落とすと、樹形図や計算が正しくても答えは合いません。

特に「少なくとも」は、小学生が混乱しやすい表現です。「赤玉を少なくとも1個選ぶ」とは、赤玉が1個の場合だけではなく、2個以上の場合も含みます。

対策として、問題文を読んだ段階で、使えるもの、使えないもの、順番の有無、最低・最大の条件へ印をつけましょう。

正解しても考え方が定着していないことがある

場合の数では、偶然正解することがあります。思いつくまま書いた結果、たまたま漏れがなかったケースです。

答えが合っていても、「何を基準に並べたの？」と聞いたときに説明できなければ、次の問題でも正解できるとは限りません。

逆に答えは間違っていても、整理の方針が正しく、最後の一つだけを落としている場合があります。この場合は、考え方を最初から教え直す必要はありません。

対策では正誤だけを見るのではなく、どこまで正しく整理できたかを確認することが大切です。

場合の数の対策で最初に確認したい4つの基本

難しい入試問題へ進む前に、場合の数を解くときの共通手順を身につけましょう。次の4つを毎回確認するだけでも、失点を減らせます。

何を1通りとするのか決める

最初に、「何が決まったら1通りになるのか」を確認します。

2桁の整数を作る問題なら、十の位と一の位が決まって1通りです。道順なら、出発地点から目的地までの経路がすべて決まって1通りです。色の塗り分けなら、指定された場所の色がすべて決まって1通りになります。

ここが曖昧だと、途中の選択を一つとして数えたり、同じ完成形を別のものとして扱ったりします。

家庭では、解き始める前に「この問題では、何が完成したら1通り？」と尋ねてください。

順番を区別するか判断する

次に、選ぶ順番を入れ替えたとき、別の結果になるかを調べます。

委員長と副委員長を選ぶ場合、役割が異なるため、Aが委員長でBが副委員長の場合と、その逆は別です。一方、掃除係を2人選ぶだけなら、AとBを選ぶ順番が違っても同じ組です。

迷ったときは、実際に順番を入れ替えてみましょう。入れ替えることで役割や位置が変わるなら区別し、完成した集まりが同じなら区別しません。

この確認を問題文の余白へ「順番あり」「順番なし」と書くだけでも、重複を防ぎやすくなります。

一つの条件を固定して数える

漏れを防ぐには、何か一つを固定して順番に調べます。

数字カードを並べるなら、先頭の数字を1、2、3と変えます。硬貨の組み合わせなら、100円玉を0枚、1枚、2枚と変えます。色の塗り分けなら、最初の場所の色を赤、青、黄と変えます。

重要なのは、途中で基準を変えないことです。

最初は十の位を固定していたのに、途中から一の位を固定すると、漏れや重なりが生まれます。「何を固定するか」を最初に書く習慣をつけましょう。

すべて書き出して漏れと重なりを確認する

基本段階では、計算だけで求めず、少ない場合をすべて書き出します。

1・2・3から異なる2枚を並べるなら、12、13、21、23、31、32と最後まで書きます。すると、最初の数字が3通りあり、それぞれについて次が2通りあると分かります。

この経験が、3×2という式の意味につながります。

書き出すことは遠回りではありません。規則を発見し、計算を正しく使うための準備です。基本問題で漏れなく書けるまでは、無理に省略させなくて構いません。

問題の種類に合わせた場合の数の対策

場合の数では、問題に合った整理方法を選ぶ必要があります。すべてを樹形図や公式だけで解こうとせず、目的に応じて使い分けましょう。

並べ方は樹形図と積の法則で整理する

数字や人を順番に並べる問題では、樹形図が役立ちます。

A・B・Cの3人を一列に並べるなら、先頭をAに固定し、その後にB、Cを並べます。次に先頭をB、Cと変えると、全部で6通りと分かります。

樹形図で規則が見えたら、先頭が3通り、2番目が2通り、最後が1通りなので、3×2×1＝6通りと計算できます。

最初から掛け算を暗記するのではなく、樹形図と式が同じ内容を表していると理解することが対策になります。

選び方は順番の重なりに注意する

人や物を選ぶ問題では、順番を区別しないことが多いため、重複に注意します。

4人から2人を選ぶとき、Aを先に選んでBを選ぶ場合と、Bを先に選んでAを選ぶ場合は同じ組です。

樹形図ですべて数えると同じ組が2回ずつ現れるため、最後に2で割る方法があります。ただし、意味を理解せずに機械的に割るのは危険です。

まずはAB、AC、AD、BC、BD、CDと、先に並ぶ文字を一定の順番に限定して書き出し、重複を避ける仕組みを理解させましょう。

道順やサイコロは表や図を活用する

2つの条件を組み合わせる問題は、表にすると全体を確認しやすくなります。

2個のサイコロを投げる問題なら、縦に1個目の目、横に2個目の目を書きます。36個のマスを作れば、和が7になる組や積が偶数になる組を漏れなく数えられます。

道順では、交差点ごとにそこへ到達する道順の数を書き、左と下など直前の数を足していく方法が有効です。

図を使う目的は、見栄えをよくすることではなく、全体を漏れなく見渡せるようにすることです。

条件付き問題は場合分けか反対側から考える

「偶数になる」「隣り合わない」「少なくとも一つ含む」などの条件があるときは、重ならない場合に分けます。

0・1・2・3から異なる2枚を使って2桁の偶数を作るなら、一の位が0の場合と2の場合に分けます。一の位が0なら十の位は1・2・3の3通り、一の位が2なら十の位は1・3の2通りなので、合計5通りです。

「少なくとも一つ」という条件では、すべての場合から「一つも含まない場合」を引く方が簡単なこともあります。

直接数える方法と反対側から数える方法を比べ、安全で短い方を選ぶ練習をしましょう。

家庭で続けられる場合の数の対策法

家庭での対策は、長時間まとめて行うより、短時間の反復が向いています。親が模範解答をすべて説明しなくても、学習を支えることはできます。

1日10～15分で同じ型を反復する

場合の数は、1日10問を急いで解くより、基本問題を1～3問丁寧に解く方が効果的です。

1回10～15分を目安に、数日間は同じ型を続けます。たとえば、3日間は樹形図、次の3日間は表、さらに3日間は条件付き問題という進め方です。

正答率だけでなく、「なぜその方法を選んだか」を説明できるかも確認してください。基本問題を5問中4問程度、根拠を説明しながら解けたら、条件を一つ増やします。

間違いを漏れ・重なり・条件ミスに分ける

間違い直しでは、解説を丸写しする必要はありません。

数えるべきものを落としたら「漏れ」、同じものを二度数えたら「重なり」、問題の条件を守らなかったら「条件」と記録します。

3～5問分を並べると、子どもの失点傾向が見えてきます。

漏れが多ければ固定する基準を明確にし、重なりが多ければ順番を区別するか確認します。条件ミスが多ければ、問題文へ線や印をつける対策を徹底しましょう。

当日・翌日・1週間後に解き直す

間違えた直後の解き直しだけでは、定着を判断できません。解説や答えの並びが記憶に残っているからです。

当日は間違えた原因を確認し、正しい方法で解き直します。翌日は、解説を見ずに同じ問題へ取り組みます。1週間後には、数字や条件を少し変えた類題を解きます。

同じ答えを覚えたのではなく、条件が変わっても整理方法を使えれば、対策の効果が出ていると判断できます。

親は答えではなく整理の基準を尋ねる

子どもが手を止めたとき、すぐに式を教えると、次の問題でも指示を待つようになります。

代わりに、「何が決まったら1通り？」「最初に何を固定する？」「順番を入れ替えたら別になる？」「まだ数えていない場合はない？」と質問してください。

答えを言わなくても、考える順番を思い出させることはできます。

正解したときも、「すごい」だけでなく、「十の位を固定して順番に数えたから漏れなかったね」と、成功した方法を具体的に伝えましょう。

まとめ｜場合の数対策は整理の型から始める

中学受験算数の「場合の数」対策では、公式や解法を数多く暗記するより、漏れと重なりを防ぐ整理の型を身につけることが重要です。

まず、何を1通りとするか決め、順番を区別するか確認します。その後、一つの条件を固定して、書き出し、樹形図、表、計算を使い分けましょう。

家庭では1日10～15分を目安に同じ型を数日続け、間違いを「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分類します。当日だけでなく、翌日と1週間後にも解き直すことで、本当に定着したかを確認できます。

場合の数で点が取れないのは、ひらめきや計算力が足りないからとは限りません。数える順番がまだ定まっていないケースが多くあります。

焦って難問を増やさず、何を固定し、どの順序で数えるかを言葉にする練習から始めてください。正しく整理する習慣が身につけば、複雑な入試問題でも落ち着いて対応できるようになります。