小5の中学受験算数「場合の数」学習法

中学受験算数で小5の「場合の数」が重要な理由

この記事では、中学受験を目指す小学5年生が場合の数で身につけたい基本と、家庭で無理なく定着させる学習方法を順を追って解説します。

小5は、中学受験算数の主要単元を本格的に学び始める時期です。場合の数でも、簡単な書き出しだけでなく、樹形図、表、かけ算、場合分けなどを使う問題が増えてきます。

塾の授業中は理解できても、数字や条件が変わると手が止まる子は少なくありません。しかし、これは算数の才能が足りないからではありません。

場合の数は、考える順番が定着するまで間違えやすい単元です。小5の段階で「一つを固定する」「決めた順番で数える」という基本を身につければ、小6の応用問題や過去問にもつながります。

小5は数え方を型として身につける時期

小5の学習で大切なのは、場合の数の答えを覚えることではなく、数え方を型として身につけることです。

例えば、1・2・3・4の数字から異なる2枚を使い、2けたの整数を作る問題を考えます。

十の位を1に固定すれば、12、13、14の3通りです。次に十の位を2、3、4と順番に変えれば、それぞれ3通りずつ、全部で12通りになります。

ところが、12、23、31、42などと思いつく順に書くと、漏れや重複が起こります。

小5では、速く式を作ることより、「何を固定し、どの順番で変えたか」を説明できる状態を目指しましょう。この型ができると、題材が人や道順に変わっても同じ考え方を使えます。

小6の応用問題につながる基礎単元

小6になると、場合の数はほかの単元と組み合わされて出題されます。

例えば、3の倍数になる整数の作り方、特定の地点を通る道順、図形の頂点を選んで三角形を作る問題などです。

これらの問題でも土台になるのは、一つの条件を固定し、残りを漏れなく数える力です。

小5の基本が曖昧なまま小6の応用へ進むと、条件整理、場合分け、計算を同時に行わなければならず、負担が大きくなります。

反対に、小5で書き出しや樹形図を正確に使えるようになれば、応用問題も基本問題の組み合わせとして考えられます。今のうちに数え方の土台を作ることが、受験学年での伸びにつながります。

計算力があっても失点しやすい

場合の数は、計算が得意な子でも失点しやすい単元です。

必要な計算は足し算やかけ算が中心ですが、計算する前の整理を間違えると正解できません。

例えば、4人から班長と副班長を選ぶ場合は、班長が4通り、その一人ひとりについて副班長が3通りあるため、4×3＝12通りです。

一方、4人から掃除係を2人選ぶだけなら、A・BとB・Aは同じ組み合わせです。12通りとすると二重に数えてしまいます。

小5では、「計算できたから理解した」と判断せず、順番を区別する理由まで確認することが重要です。

小5で身につけたい場合の数の基本

順番を区別するか最初に確認する

問題を読んだら、最初に順番や役割を入れ替えたとき、別の結果になるかを確認します。

1と2を使って2けたの整数を作る場合、12と21は別の整数です。そのため、両方を数えます。

AさんとBさんを清掃係に選ぶ場合は、選ぶ順番が変わっても同じ2人です。A・BとB・Aを別々には数えません。

子どもには、「入れ替えたら結果は変わる？」と聞くと分かりやすいでしょう。

変わるなら別々に数え、変わらないなら一つとして数えます。この確認を式の前に行うだけで、重複による間違いを減らせます。

一つを固定して規則的に書き出す

数え漏れを防ぐ基本は、一つを固定してから残りを変えることです。

赤・青・黄の3色から2色を順番に選ぶなら、最初を赤に固定します。赤青、赤黄の2通りです。次に最初を青、黄へ変えます。

書き出す順番は、問題に書かれている順や数字の小さい順など、分かりやすい基準で構いません。

大切なのは、途中で順番を変えないことです。

子どもが手を止めたときは、「答えは何通り？」と聞くのではなく、「最初に何を固定する？」と声をかけましょう。考え始める位置が分かれば、自力で続きを書けることがあります。

樹形図・表・計算を使い分ける

場合の数では、問題に合った整理方法を選びます。

選択肢が少ない問題は、すべて書き出す方法が確実です。選択が順番に続く問題は、樹形図を使うと流れが見やすくなります。

例えば、上着が白と黒の2種類、ズボンが青・灰・茶の3種類なら、白と黒からそれぞれ3本の枝を伸ばします。全部で2×3＝6通りです。

2つの条件を組み合わせる問題には表が便利です。2個のさいころの目の和を調べる場合は、縦と横に1から6を書けば、すべての組み合わせを確認できます。

小5では、最初から計算だけで処理せず、書き出しや図で数え方を確認してから式にまとめることが大切です。

漏れと重複を別々に点検する

答えが出た後は、漏れと重複を分けて見直します。

漏れを確認するときは、固定した条件ごとの個数を比べます。十の位が1のときは3通り、2のときも3通りなのに、3のときだけ2通りなら、書き忘れがないか調べます。

重複を確認するときは、入れ替えただけの同じ組み合わせを二度数えていないかを見ます。

順番を区別しない問題でABとBAの両方を書いていれば重複です。ただし、班長と副班長のように役割が違う場合は、別々に数えます。

「計算をもう一度する」だけでなく、「漏れはないか」「同じものを重ねていないか」と目的を分けて見直しましょう。

小5が優先して解きたい場合の数の頻出問題

数字カードから整数を作る問題

数字カードから2けたや3けたの整数を作る問題は、小5で優先したい基本形式です。

最初は、異なる数字を使って整数を作る問題から始めます。最も上の位を固定し、残りを小さい順に変えましょう。

0を含む場合は、最も上の位に0を置けません。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作るなら、百の位は1・2・3の3通りです。十の位は残り3通り、一の位は残り2通りなので、3×3×2＝18通りです。

その後、偶数なら一の位、300より大きい数なら百の位というように、条件の強い位から決める問題へ進みます。

人や物を並べる問題

A、B、Cの3人を一列に並べる場合、最初の場所は3通り、次は残り2通り、最後は1通りです。

したがって、3×2×1＝6通りになります。

小5では、いきなりこの式を暗記させず、ABC、ACB、BACなどを実際に書き出して確認しましょう。

基本が理解できたら、「Aを左端に置く」「Bを真ん中に置く」といった条件が一つ加わる問題へ進みます。

条件のある人や場所を最初に固定し、その後で残りを並べることが基本です。複数条件の難問より、条件が一つの問題を確実に解けることを優先しましょう。

順番を考えずに選ぶ問題

人や物を選ぶだけの問題では、順番を区別しません。

4人から2人を選ぶなら、Aと組む相手はB、C、Dの3通りです。次にBと組む相手を見ると、Aはすでに数えたため、C、Dだけを調べます。

続けると、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。

小5では、並べ方と選び方を混同しやすいため、「役割はある？」「入れ替えたら違う？」と確認させましょう。

委員長と副委員長を選ぶなら役割があるため、ABとBAは別です。単に代表を2人選ぶなら同じ組み合わせになります。

道順やさいころを整理する問題

格子状の道順や2個のさいころは、場合の数と表の使い方を学ぶのに適しています。

道順では、右と上にだけ進める場合、ある交差点には左か下から到着します。その交差点までの行き方は、左側と下側に書かれた数の合計です。

さいころの問題では、縦と横に1から6を書き、交わるマスに目の和を記入します。和が7になる組み合わせなどを漏れなく探せます。

頭の中だけで数えさせず、交差点や表のマスに数字を書き込ませましょう。画像がなくても、縦横の項目をノートに書けば整理できます。

小5の家庭学習で場合の数を定着させる方法

1回15分で同じ型を3問解く

小5は学習単元が多いため、場合の数だけに長時間を使う必要はありません。

家庭学習は1回15分程度、同じ形式を3問に絞ります。

例えば、月曜日は2けたの整数、火曜日は3けたの整数、水曜日は偶数を作る問題というように、近い型を続けます。

毎回異なる形式を解くより、「最初の位を固定する」という共通点に気づきやすくなります。

3問すべてを速く解くことより、整理方法を自分で選び、漏れなく数えられることを目標にしてください。

答えより「何を固定したか」を聞く

家庭での丸つけでは、答えだけでなく、最初に何を固定したかを確認します。

「十の位を1から順に固定した」
「最初の上着を決めてからズボンを選んだ」
「Aさんを左端に置いて残りを並べた」

このように説明できれば、題材が変わっても同じ方法を使えます。

保護者が長く解説するより、「最初に何を決めた？」「順番は関係ある？」と短く質問する方が、理解を確かめやすくなります。

正解していても説明できない場合は、数字を変えた類題をもう1問解きましょう。

間違いを漏れ・重複・条件に分ける

場合の数の間違いは、主に「漏れ」「重複」「条件の見落とし」に分けられます。

答えが正解より少なければ漏れ、多ければ重複を疑います。大きくずれている場合は、「異なる数字」「0は先頭に置けない」などの条件を見落としている可能性があります。

解き直しノートには、問題を丸ごと写すより、間違いの原因を一言で記録しましょう。

同じ原因が続けば、次の問題で意識すべき点が分かります。すべてを「場合の数が苦手」でまとめないことが、効率よく直すコツです。

翌日と1週間後に白紙から解き直す

解説を読んだ直後に正解できても、考え方が定着したとは限りません。

間違えた問題は翌日と1週間後に、前の樹形図や書き出しを見ず、白紙から解き直します。

翌日は手順を思い出せるか、1週間後は自分で整理方法を選べるかを確認するためです。

答えを覚えている場合は、数字や人物を変えた類題を使いましょう。

何も指示されなくても、「まず一つを固定しよう」と考えられるようになれば、小5で身につけたい基本が定着し始めています。

まとめ

中学受験算数において、小5は場合の数の解き方を型として身につける大切な時期です。

まず、順番を入れ替えたときに別の結果になるかを確認します。次に一つの条件を固定し、残りを一定の順番で変えていきましょう。

選択肢が少ない問題は書き出し、選択が続く問題は樹形図、2つの条件を組み合わせる問題は表で整理します。規則が理解できた後に、たし算やかけ算でまとめることが大切です。

小5で優先したいのは、整数作り、人や物の並べ方、順番を考えない選び方、基本的な道順やさいころの問題です。

家庭学習は1回15分、同じ型を3問程度で十分です。答えではなく「何を固定したか」を説明させ、間違いを漏れ・重複・条件の見落としに分けましょう。

翌日と1週間後に白紙から解き直し、同じ手順を再現できれば理解が定着しています。

小5のうちに数える基準と順番を整えておけば、小6で扱う複数条件の応用問題や過去問にも、落ち着いて取り組めるようになります。