中学受験算数「場合の数」の苦手克服法

中学受験算数の「場合の数」を克服できない原因

この記事では、中学受験算数の「場合の数」が苦手になる原因を整理し、家庭で無理なく克服するための具体的な手順を解説します。

場合の数が苦手だと、「ひらめきがない」「考える力が弱い」と感じるかもしれません。しかし、実際には数える手順が定まっていないために失点している子が多くいます。

克服の第一歩は、問題数を増やすことではありません。どこで間違えているかを見つけることです。

思いついた順に数えている

場合の数が苦手な子は、条件に合いそうなものを思いついた順に書き出します。

たとえば、1・2・3のカードから異なる2枚を使って2桁の整数を作る問題で、「12、21、13、31……」と並べる方法です。数が少ないときは正解できても、カードが増えると漏れや重なりが起こります。

この問題では、十の位を1に固定して12、13、次に2として21、23、最後に3として31、32と書きます。

場合の数は、多くの例を思いつく力ではなく、一つの基準を最後まで変えずに数える力で解く単元です。

順番を区別するか判断できていない

同じ人や物を使っても、順番を入れ替えると別の1通りになる問題と、同じ1通りになる問題があります。

A・B・Cの3人から委員長と副委員長を選ぶ場合、Aが委員長でBが副委員長の組と、その逆は別です。役割が変わるからです。

一方、3人から掃除係を2人選ぶだけなら、AとB、BとAは同じ組になります。

この判断をしないまま数えると、答えが2倍になったり半分になったりします。

難しい用語を覚えるより、「入れ替えたら役割・位置・作られる数が変わる？」と具体的に確認することが大切です。

公式や式だけを覚えている

「並べ方は掛け算」「選び方は最後に割る」といった式だけを覚えても、条件が変わると解けません。

1・2・3・4のカードから異なる2枚を並べるなら、最初が4通り、その後が3通りなので、4×3＝12通りです。

ところが、0・1・2・3から2桁の整数を作る場合は、十の位に0を置けません。単純に4×3とすると、01や02まで数えてしまいます。

式を書く前に、最初に選べるものは何個か、その後の選択肢は毎回同じ数かを確認する必要があります。

書き出した内容を短く表したものが式です。書き出しを理解せず、式だけを覚える学習では克服につながりません。

解説を読んだ直後しか解けない

解説の樹形図や表を見ると、子どもは「分かった」と感じます。しかし、翌日に白紙から解かせると、最初に何を書けばよいか分からないことがあります。

解説を見て理解できることと、自分で整理を再現できることは別です。

間違えた直後の解き直しも、答えの並びが記憶に残っているため、理解していなくても正解できる場合があります。

場合の数を克服するには、時間を空けて同じ考え方を使えるか確認することが必要です。

場合の数を克服するための4つの基本

複雑な問題も、数え方の基本は共通しています。次の4つを毎回確認できるようにしましょう。

何が決まれば1通りか確認する

最初に、「何がすべて決まったら1通りなのか」を言葉にします。

2桁の整数なら、十の位と一の位が決まって1通りです。上着とズボンの組み合わせなら、両方が決まって1通りです。道順なら、出発点から目的地までの経路が完成して1通りになります。

ここが曖昧だと、途中の選択を一つとして数えたり、完成していないものを答えに含めたりします。

家庭では、解く前に「この問題では何が完成したら1通り？」と尋ねてください。答えられなければ、計算より先に問題の意味を整理します。

一つの条件を固定して書き出す

漏れを防ぐには、一つの条件を固定して順番に調べます。

数字カードなら先頭や一の位、硬貨の組み合わせなら金額の大きい硬貨の枚数、色の塗り分けなら最初の場所の色を固定します。

たとえば、0・1・2・3から2桁の偶数を作る場合は、一の位を0または2に固定すると整理しやすくなります。

一の位が0なら十の位は1・2・3の3通り、一の位が2なら十の位は1・3の2通りです。合計は3＋2＝5通りになります。

途中で固定する基準を変えないことが、漏れと重なりを防ぐポイントです。

樹形図・表・計算を使い分ける

場合の数では、すべての問題を一つの方法で解く必要はありません。

選択が順番に続き、選べる数が少ない問題には樹形図が向いています。2個のサイコロのように、縦と横の条件を比べる問題には表が便利です。

同じ数の選択肢が続くなら、掛け算で短く求められます。条件によって選べる数が変わるなら、場合分けして最後に足します。

大切なのは、速そうな方法を選ぶことではなく、漏れなく確認できる方法を選ぶことです。

基本問題では、書き出しと樹形図の両方で解き、同じ答えになることを確認すると理解が深まります。

漏れ・重なり・条件ミスを点検する

場合の数の誤答は、主に3種類に分けられます。

数えるべきものを落とす「漏れ」、同じものを二度数える「重なり」、問題文の決まりを守らない「条件ミス」です。

答えが違ったときは、すぐに解説を写さず、どの種類の間違いだったかを確認しましょう。

漏れが多ければ、固定するものを決めて最後まで書く練習が必要です。重なりが多ければ、順番を区別する問題か確認します。条件ミスが多ければ、「異なる」「少なくとも」「0は先頭に置けない」などへ線を引きます。

間違いの原因が分かれば、克服のために戻る場所も明確になります。

家庭で実践できる場合の数の克服法

家庭学習では、難問を長時間解かせるより、正しい整理方法を短く繰り返す方が効果的です。

基本問題から4段階で進める

場合の数は、次の4段階で進めます。

最初は、カードや色紙などの具体物を動かします。次に、条件に合う場合をすべて書き出します。その後、樹形図や表で整理し、最後に規則を足し算や掛け算へ置き換えます。

たとえば、3種類の上着と2種類のズボンの組み合わせなら、最初に6通りを実際に作って書きます。

すると、「上着1種類につきズボンが2通りある」と分かり、3×2＝6という式へつながります。

書き出しを飛ばして式だけを覚えさせないことが、克服への近道です。

1日10～15分で同じ型を反復する

場合の数の克服に、毎日長い時間を使う必要はありません。

1回10～15分を目安に、基本問題を1～2題と、前日に間違えた問題を1題解きます。

2～3日間は同じ型を続けましょう。最初の3日間は並べ方、次の3日間は選び方、その次は道順という進め方です。

毎日違う形式へ移ると、整理方法を身につける前に次の内容へ進んでしまいます。

基本問題を5問中4問程度、数え方を説明しながら解けたら、条件を一つ追加します。

当日・翌日・1週間後に解き直す

間違えた問題は、当日だけでなく、時間を空けて解き直します。

当日は、漏れ・重なり・条件ミスのどれだったかを確認します。翌日は、解説を見ずに同じ問題を解きます。1週間後には、数字や条件を少し変えた類題へ取り組みます。

同じ問題を解けても、類題で手が止まる場合は、答えの並びを覚えていただけかもしれません。

条件が変わっても、「一の位を固定する」「順番を区別しない」といった同じ考え方を使えれば、本当に克服へ近づいています。

正解した問題も説明させる

場合の数では、偶然正解することがあります。そのため、間違えた問題だけを復習するのでは不十分です。

正解した後にも、「何を固定したの？」「なぜ掛け算を使えたの？」「順番を入れ替えたら別になる？」と尋ねてください。

「何となく全部書いた」としか言えなければ、再現できる解法になっていません。

一方、答えは間違っていても、「十の位を順番に固定した」と説明できるなら、方針は正しい場合があります。正しい部分を残し、不足したところだけを直しましょう。

場合の数を克服する親の関わり方

親が場合の数を得意でなくても、子どもの考える順番を整えることはできます。模範解答を長く説明する必要はありません。

答えより数え方の基準を尋ねる

子どもの手が止まったとき、すぐに「ここは3×2」と式を教えると、その問題は解けても次の問題で再び止まります。

代わりに、「何が決まったら1通り？」「最初に何を固定する？」「入れ替えたら別になる？」と尋ねてください。

一つの質問で考える入口を見つけられれば、そこから本人に任せます。

親の役割は答えまで導くことではなく、自分で整理を始められる状態へ戻すことです。

間違いの原因に合う問題へ戻す

場合の数を克服するために、単元をすべて最初からやり直す必要はありません。

漏れが多いなら、一つを固定して書き出す問題へ戻ります。重なりが多いなら、並べ方と選び方の違いを確認します。条件ミスが多いなら、問題文へ印をつける練習が必要です。

3～5問分の誤答を分類すると、同じ失敗の傾向が見えてきます。

原因と異なる問題を大量に解くより、弱点に直接合う基本問題を数題解く方が効率的です。

速さより再現できることを優先する

場合の数が苦手な時期に速さを求めると、樹形図や書き出しを省略し、漏れが増えることがあります。

まずは、時間を気にせず正確に整理します。翌日にも同じ方法を再現できるようになってから、少しずつ解答時間を短くしましょう。

入試で必要なのは、一度だけ速く解けることではありません。条件が変わっても同じ考え方を使い、安定して正解することです。

家庭では「何分で解けたか」より、「白紙からもう一度解けたか」を先に評価してください。

できた手順を具体的に認める

正解したときに「すごい」「頭がいい」と伝えるだけでは、何を次にも使えばよいか分かりません。

「一の位を0と2に分けたから漏れなかったね」「ABとBAが同じ組だと確認できたね」と、成功した手順を具体的に伝えます。

間違えた場合も、「先頭を小さい順に固定したところは合っている」と、正しくできた部分を認めましょう。

自分が使えた方法を子ども自身が理解すると、次の問題でも再現しやすくなります。

まとめ｜場合の数は整理の型で克服できる

中学受験算数の「場合の数」を克服するには、公式や難問を数多く覚える必要はありません。

まず、何が決まれば1通りになるのかを確認します。次に、一つの条件を固定し、決めた順番ですべての場合を書き出します。その後、樹形図や表で整理し、規則が分かってから計算へ置き換えましょう。

間違いは「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分けます。原因に合った基本問題へ戻り、当日・翌日・1週間後に解き直してください。

家庭学習は1日10～15分でも十分です。親は答えをすぐに教えず、「何を固定する？」「順番を入れ替えたら別？」「まだ数えていない場合はない？」と問いかけます。

場合の数が苦手なのは、考える力が不足しているからとは限りません。数える順番がまだ習慣になっていないだけです。

漏れなく整理できる型を一つずつ身につけ、時間を空けても再現できる状態を作れば、場合の数は着実に克服できます。