中学受験算数「規則性」の基本と解き方

中学受験算数の規則性で学ぶ基本とは

この記事では、中学受験算数の規則性について、最初に身につけたい基本と問題を解く手順、家庭での練習方法を分かりやすく解説します。

規則性とは、並んでいる数字や図形に共通する決まりを見つけ、その先の数や個数を求める単元です。

計算自体は足し算や掛け算が中心ですが、「どこを比べるか」「何が繰り返されているか」を自分で見つける必要があります。

規則性にはさまざまな問題がありますが、基本となるのは次の4種類です。

数字の増え方を調べる数列

最初に学ぶことが多いのは、数字が一定の決まりで並ぶ数列です。

たとえば、

3、7、11、15、19……

という並びでは、前の数に4を足すと次の数になります。このように、同じ数ずつ増える並びでは、「最初の数」と「一回ごとに増える数」を確認します。

10番目を求める場合、最初の3から4が増えるのは9回です。

3＋4×9＝39

したがって、10番目は39です。

10番目だから4を10回足すのではありません。最初の3がすでに1番目なので、増える回数は10－1＝9回になります。

同じ並びを繰り返す周期

色、記号、曜日などが同じ順番で繰り返される問題を周期といいます。

たとえば、

赤、青、黄、赤、青、黄……

という並びでは、赤・青・黄の3個で一周します。

20番目の色を調べるときは、

20÷3＝6余り2

と計算します。3個のまとまりが6回終わった後、一周の2番目に当たるため、答えは青です。

余りが0になった場合は、一周の最後を表します。21番目なら21÷3＝7で余り0なので、3番目の黄です。

まとまりごとに考える群数列

数がいくつかのまとまりに分かれて並ぶ問題を群数列といいます。

たとえば、

1｜2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

という並びでは、第1群に1が1個、第2群に2が2個、第3群に3が3個あります。

10番目の数を求めるには、それぞれの群までの個数を足します。

第1群までで1個、第2群までで1＋2＝3個、第3群までで6個、第4群までで10個です。

したがって、10番目は第4群の最後にあり、答えは4です。

群数列では、各群の中身だけでなく、「その群までに全部で何個あるか」を調べることが基本です。

棒や点の増え方を調べる図形問題

規則性は、数字だけでなく、マッチ棒、点、正方形、タイルなどの図形でも出題されます。

正方形を横に一つずつつなげる問題を考えましょう。

正方形が1個なら棒は4本です。2個目は一辺を共有するため、新しく必要な棒は3本になります。その後も正方形が一つ増えるたびに、棒は3本ずつ増えます。

正方形が10個なら、

4＋3×9＝31本

です。

図形の規則性では、毎回全体を数え直すのではなく、前の図から何が増えたかを見ることが基本です。

規則性の基本的な解き方4ステップ

規則性の問題を見てすぐに法則が分からなくても、心配する必要はありません。次の4ステップで情報を整理すれば、規則を見つけやすくなります。

最初の数や図を正確に書き出す

最初に、問題文の決まりに従って、3～6個程度の数や図を作ります。

「前の数を2倍して1を足す」という規則なら、

1、3、7、15、31……

と書き出します。

問題に1番目と2番目の図しか示されていなければ、3番目を自分で簡単に描いてみます。

書き出しは遠回りではありません。問題文の条件を正しく理解しているかを確認し、比較できる材料を増やすための大切な作業です。

ただし、最初の計算を間違えると、誤った並びから法則を探すことになります。速さより正確さを優先しましょう。

差・周期・増えた部分を調べる

数を書き出したら、隣り合う数字の差を調べます。

たとえば、

2、5、10、17、26……

では、増えた数が3、5、7、9となっています。元の数字だけでは分かりにくくても、差を並べれば、増える数が2ずつ大きくなっていると分かります。

色や記号なら、同じ並びへ戻るまでの個数を数えます。図形なら、前の図と次の図を比べ、新しく加わった部分へ丸や斜線をつけます。

規則性の基本は、数字や図を眺め続けることではありません。変化を紙に書き、見える状態にすることです。

順番と個数を表に整理する

図形や群数列では、「何番目か」と「そのとき何個あるか」を表にすると理解しやすくなります。

正方形を横につないだときの棒の本数なら、

1番目：4本
2番目：7本
3番目：10本
4番目：13本

と整理します。

前から増えた本数も書けば、毎回3本ずつ増えていることが分かります。

規則性が苦手な子は、3番目という順番と、10本という個数を混同することがあります。表を使って欄を分ければ、何が変わり、何が一定なのかを確認しやすくなります。

見つけた規則を小さい数で確かめる

規則を表す式ができたら、すぐに答えとして確定せず、小さい番号へ戻して確かめます。

正方形を横につないだ棒の本数を、

4＋3×（個数－1）

と考えたなら、2個の場合は、

4＋3×1＝7本

です。実際の図と一致します。3個の場合も10本になれば、式の考え方は合っています。

規則性では、増える回数を一つ多く数えたり、周期内の位置を一つずらしたりするミスが起こりがちです。

2番目や3番目で検算するだけでも、多くの間違いを自分で発見できます。

規則性の基本問題を具体例で理解する

ここからは、中学受験でよく出る規則性の基本問題について、注目する場所を具体的に確認します。

等差数列は増える回数に注意する

同じ数ずつ増える並びを等差数列といいます。難しい名前を覚えるより、最初の数、増える数、増える回数の3つを確認しましょう。

5、8、11、14、17……

の20番目を求める場合、最初は5で、3ずつ増えています。

1番目から20番目までの間は19個なので、

5＋3×19＝62

です。

子どもが3×20としてしまう場合は、数字を点で表し、点と点の間に矢印を書かせます。5個の点の間には矢印が4本しかないと分かれば、「順番－1」の意味を理解しやすくなります。

周期算は一周の個数と余りを見る

周期算では、最も短い繰り返しを見つけます。

○、○、△、□、○、○、△、□……

なら、4個で一周です。

37番目を求めると、

37÷4＝9余り1

となります。そのため、一周の1番目にある○が答えです。

周期を「○、○、△、□、○、○、△、□」の8個と考えても繰り返していますが、最小の周期は4個です。短い一周を使う方が計算しやすくなります。

また、余り0は周期の最後を表すことも忘れないようにしましょう。

群数列は群までの累計を求める

群数列では、求める番号がどの群に入るかを調べます。

第1群に1個、第2群に2個、第3群に3個と増えるなら、各群までの合計は、

1、3、6、10、15……

となります。

たとえば12番目を求める場合、第4群までで10個、第5群までで15個です。そのため、12番目は第5群に入ります。

さらに、第5群の中では12－10＝2より2番目です。

群数列では、「求める番号を初めて超える群」を見つけ、直前の群までの個数を引くことが基本です。

図形では最初と増加分を分ける

図形の規則性では、「最初だけ必要な数」と「一段階ごとに増える数」を分けます。

三角形を横につないだとき、最初は棒が3本、その後は一辺を共有して2本ずつ増えるとします。

三角形が20個なら、

3＋2×19＝41本

です。

最初の三角形に必要な3本と、2個目以降の19回分の増加を分けています。

図形全体を毎回数えるのではなく、前の図との違いへ印をつけ、「何が毎回同じように追加されるか」を調べましょう。

家庭で規則性の基本を定着させる方法

規則性は、解説を一度読んだだけでは定着しにくい単元です。家庭では、短い時間で同じ考え方を繰り返し、自分の言葉で説明する練習を取り入れましょう。

1日10分で同じ型を続ける

家庭学習は1日10分程度で十分です。基本問題を1～2題と、前日に間違えた問題を1題解きます。

毎日違う種類を解くより、2～3日は同じ型を続けましょう。

最初の3日間は同じ数ずつ増える数列、次の3日間は周期、その後は図形という進め方です。

同じ型を繰り返すことで、「数列なら差を書く」「周期なら一周を探す」「図形なら増えた部分を見る」という行動が習慣になります。

基本問題を5問中4問程度、自力で説明しながら解けたら、少し条件の多い問題へ進みましょう。

答えより見つけた変化を説明させる

答え合わせでは、「答えはいくつ？」だけでなく、「何がどのように変わった？」と尋ねます。

「4ずつ増えた」「3個で同じ並びに戻った」「正方形が一つ増えると棒が3本増えた」と説明できれば、規則を理解しています。

答えが合っていても、「何となく分かった」としか説明できなければ、次の問題で同じ考え方を使えない可能性があります。

親が先に法則を教えるのではなく、子どもが見つけた変化を聞き、足りない部分だけを質問で補いましょう。

間違いを3種類に分ける

規則性の間違いは、主に「書き出しミス」「規則の見誤り」「順番のずれ」に分けられます。

問題文どおりに数や図を作れなければ書き出しミスです。差や周期を誤って見つけたら規則の見誤り、10番目までの増加を10回としたら順番のずれです。

ノートには、解説を長く写す必要はありません。

「順番・増える回数を1回多くした」のように一行で記録します。

3～5題分を並べると、子どもの間違い方の傾向が見えます。原因に合った基本問題へ戻る方が、難問を増やすより効果的です。

翌日と1週間後に解き直す

解説を読んだ直後に解けても、完成した式を覚えているだけかもしれません。

当日は、どこに注目する問題だったかを確認します。翌日は解説を見ずに同じ問題を解きます。1週間後には、数字や図形を少し変えた類題へ取り組みます。

同じ問題は解けても類題で止まる場合、方法ではなく答えを記憶していた可能性があります。

条件が変わっても、差、周期、累計、増えた部分のどれを見るかを自分で判断できれば、規則性の基本が定着したと考えられます。

まとめ｜規則性の基本は変化を記録すること

中学受験算数の規則性で最初に身につけたい基本は、数字や図形の変化を紙へ記録することです。

まず最初の数個を書き出し、数字なら差、繰り返しなら周期、図形なら新しく増えた部分を調べます。順番と個数は表に分け、見つけた規則を小さい番号へ当てはめて確かめましょう。

等差数列では増える回数、周期算では一周の個数と余り、群数列では各群までの累計、図形では最初の数と増加分が重要です。

家庭学習は1日10分程度、同じ型を2～3日続けます。親は答えをすぐに教えず、「いくつ増えた？」「何個で元に戻る？」「前の図との違いはどこ？」と問いかけてください。

規則性は、特別なひらめきだけで解く単元ではありません。書き出す、比べる、表にする、確かめるという基本手順を身につければ、算数に苦手意識がある子でも、自分で法則を見つけられるようになります。