中学受験算数「数の性質」の解き方を基礎から解説

中学受験算数「数の性質」の解き方で迷う原因

この記事では、中学受験算数の数の性質について、約数・倍数・余り・整数条件に分け、基本の解き方から家庭での練習法まで順を追って解説します。

数の性質は、単純な計算力だけでは解きにくい単元です。問題文に書かれた条件を読み取り、使う考え方を選び、候補となる数を絞らなければなりません。

一方で、出題される考え方は限られています。問題を種類ごとに整理し、毎回同じ手順で考えれば、算数に苦手意識がある子でも安定して解けるようになります。

数の性質が苦手な子は、知識がまったく足りないとは限りません。約数や倍数の意味は分かっていても、問題の条件に合わせて使えないケースが多くあります。

数の性質を一つの単元として覚えている

数の性質には、約数、倍数、素数、素因数分解、余り、奇数・偶数、整数の個数など、複数のテーマが含まれます。

これらをすべて「数の性質」という一つのまとまりで覚えると、問題を見たときに何を使えばよいか判断できません。

例えば、「2本のバスが同時に出発し、再び同時に出発する時刻」を求めるなら、使うのは最小公倍数です。一方、「同じ数ずつ余りなく分けられる人数」を求めるなら、約数を考えます。

まず問題を読んだら、「何の仲間を探す問題か」を分類しましょう。

割り切れる数を探すなら約数、同じタイミングを探すなら公倍数、割った後に残る数が示されているなら余りの問題です。この分類が、解き始めの迷いを減らします。

条件を式に直さず頭の中で考えている

数の性質では、「ある数」や「何人か」といった、まだ分からない数が登場します。頭の中だけで条件を処理しようとすると、情報を一部見落としやすくなります。

例えば、「ある数を7で割ると3余る」と書かれていたら、候補となる数は、

10、17、24、31、38……

です。

これは「7の倍数に3を加えた数」と考えられます。式で表すと、

7×整数＋3

となります。

さらに「50より小さい」という条件があれば、候補を50未満に限定できます。

数の性質の問題では、文章を読んだまま考え続けず、条件を短い式や数の並びに変えることが重要です。

公式を覚えても使う場面を判断できない

最大公約数や最小公倍数の求め方を覚えていても、文章題でどちらを使うか分からない子は少なくありません。

判断のポイントは、何を求めているかです。

「できるだけ大きく、同じ長さに切る」「余りなく同じ人数に分ける」といった問題では、共通して割り切れる数を探すため、最大公約数を使います。

「再び同時になる」「最初に重なる」「同じ周期がそろう」といった問題では、両方の倍数になる最初の数を探すため、最小公倍数を使います。

公式だけでなく、「どのような言葉が出たら使うか」まで組み合わせて覚えましょう。

数の性質の基本的な解き方を4分野で整理

数の性質は、問題の型に応じた基本動作を身につけると解きやすくなります。ここでは、入試で扱われやすい4分野を整理します。

約数はペアを作って小さい順に調べる

ある数の約数をすべて求めるときは、1から順に割っていくより、掛け算のペアを作る方が確実です。

例えば36の約数を調べます。

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

したがって、36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

の9個です。

5の次に6を調べた時点で、組み合わせが重なります。そこから先を調べる必要はありません。

平方数では、6×6のように同じ数のペアが一つ現れるため、約数の個数が奇数になります。約数を書き出すときは、同じ数を2回数えないよう注意してください。

約数の個数を素因数分解で求める方法もあります。36＝2²×3²なので、指数に1を加えて、

（2＋1）×（2＋1）＝9個

です。ただし、公式を使う前に、掛け算のペアで約数の意味を理解しておくことが大切です。

倍数は最小公倍数を使う場面を見極める

倍数の問題では、「何の倍数を探しているか」を明確にします。

例えば、4分ごとに出るバスと6分ごとに出るバスが、午前9時に同時に出発したとします。次に同時に出発するのは何分後でしょうか。

4の倍数は、4、8、12、16……
6の倍数は、6、12、18……

最初に共通する数は12なので、12分後です。

これは4と6の最小公倍数を求める問題です。

ただし、「30までに同時になる回数」を聞かれた場合は、12だけで終わりません。共通する倍数である12、24を数える必要があります。

最初の1回を求めるのか、ある範囲に何回あるかを求めるのかまで確認しましょう。

余りの問題は「割る数×商＋余り」で表す

余りのある割り算は、次の関係で考えます。

割られる数＝割る数×商＋余り

例えば、ある数を8で割ると5余るなら、

ある数＝8×整数＋5

です。

候補は、5、13、21、29、37……となります。ただし、割られる数が割る数より大きいという条件なら、5を除く場合もあります。問題文を丁寧に確認してください。

また、余りは必ず割る数より小さくなります。「7で割ると8余る」という状態はありません。

「3で割ると1余り、5で割ると2余る数」のように条件が二つある場合は、片方の候補を書き出し、もう一方の条件に合う数を探すと理解しやすくなります。

3で割ると1余る数は、

1、4、7、10、13、16、19、22……

この中で5で割ると2余る数は、7、22……です。

小学生の段階では、無理に高度な公式を覚えるより、条件に合う候補を正確に書き出す方が安定します。

整数条件は範囲を決めて候補を絞る

数の性質では、「条件を満たす整数は何個あるか」という問題も頻出します。

例えば、1から100までの整数のうち、6の倍数はいくつあるかを考えます。

100÷6＝16余り4

なので、6、12、18……96までの16個です。

次に、「1から100までで、6の倍数だが4の倍数ではない数」を求めるとします。

6の倍数は16個あります。この中で4の倍数でもある数は、6と4の最小公倍数である12の倍数です。

100÷12＝8余り4

したがって、

16－8＝8個

です。

整数の個数を求める問題では、最初と最後の数を確認し、含める条件と除く条件を分けて整理します。

数の性質の応用問題を解くための手順

応用問題でも、特別なひらめきだけに頼る必要はありません。条件を分け、小さい数で確かめ、候補を狭める順番が基本です。

問題文の条件を一つずつ短い式にする

条件が複数ある問題では、一文を読んですべてを処理しようとしないことが大切です。

例えば、「50より大きく100より小さい整数で、7で割ると2余り、5で割ると割り切れる数」を考えます。

まず、範囲は、

50＜整数＜100

です。

5で割り切れるため、候補は、

55、60、65、70、75、80、85、90、95

となります。この中で7で割ると2余る数を調べると、65です。

条件を一つずつ使えば、複雑に見える問題でも候補を減らせます。

具体的な小さい数で規則を確かめる

一般的な数をいきなり式で扱うと難しい場合は、小さい数で同じ条件を試します。

例えば、「奇数を2つ足すと偶数になる」理由を考えるなら、

3＋5＝8
7＋9＝16

と具体例を作ります。

奇数は「2の倍数＋1」と表せるため、奇数2つの和は、

（2の倍数＋1）＋（2の倍数＋1）

となり、余分な1が2つ集まって2の倍数になります。

具体例で規則を見つけた後、その理由を言葉や式で確認すると、暗記ではない理解につながります。

答えが一つに決まる理由まで確認する

候補を書き出して正解が見つかっても、すぐに終わらせないことが大切です。

「ほかに条件を満たす数はないか」「範囲の端を見落としていないか」を確認します。

先ほどの50から100までの問題なら、5の倍数をすべて調べたか、50と100を含むかどうかを問題文で確認します。

数の性質では、一つ答えを見つけただけでは不十分な場合があります。「すべて求めなさい」「何個ありますか」という問題では、漏れなく調べた根拠が必要です。

家庭で数の性質を定着させる勉強法

数の性質は、多くの問題を無作為に解くより、同じ型を短時間で繰り返す方が定着しやすい単元です。

1日15分で同じ型を2～3問解く

家庭学習では、1回15分程度を目安に、同じテーマの問題を2～3問解きます。

月曜日は約数、火曜日は倍数、水曜日は余りというように分けると、使う考え方を整理できます。

1問目は手順を確認しながら解き、2問目は自力で解きます。3問目では、「なぜ最大公約数を使うのか」「なぜこの候補だけを調べるのか」を説明させましょう。

基本問題の正答率が7～8割に届いてから、複数の条件がある応用問題へ進むのが目安です。

間違いを知識・整理・計算に分ける

間違えた問題は、原因を次の3種類に分けます。

約数や倍数の意味を覚えていなかったなら、知識の不足です。条件を書き出さずに見落としたなら、整理の不足です。考え方は合っていたのに割り算を間違えたなら、計算ミスです。

「間違えたからもう一度解く」だけではなく、原因に合った復習をしてください。

復習ノートには、

「最小公倍数を使う場面だと気づかなかった」
「100以下なのに100を含めなかった」
「余りが割る数より小さいことを忘れた」

など、間違いの原因を1行で残せば十分です。

保護者は答えより考えた根拠を聞く

家庭で教える際は、公式や答えを先に伝えず、次のように聞いてみてください。

「何の倍数を探しているの？」
「候補はどこからどこまで？」
「その数以外にないと言える？」
「最大公約数と最小公倍数のどちらを使う？」

説明できなければ、問題文の条件に線を引き、一つずつ式に直します。

保護者がすべて解説しなくても、考える順番を示すだけで、子どもは自力で整理しやすくなります。

まとめ｜数の性質は条件を整理すれば解ける

中学受験算数の数の性質は、問題ごとに違う解法を覚える単元ではありません。

まず、約数、倍数、余り、整数条件のどの問題なのかを分類します。次に、文章の条件を短い式や数の並びに変え、候補を絞ります。

約数は掛け算のペア、倍数は共通するタイミング、余りは「割る数×整数＋余り」、整数の個数は範囲と除外条件を確認することが基本です。

家庭学習では、1日15分、同じ型を2～3問ずつ解けば十分です。正解したかだけでなく、「なぜその考え方を使ったのか」を説明できるか確認しましょう。

数の性質は、ひらめきよりも整理の順番で差がつきます。問題文から条件を取り出し、一つずつ確かめる習慣が身につけば、複雑に見える入試問題にも落ち着いて取り組めるようになります。