中学受験算数で線分図が頻出する単元と対策

中学受験算数で線分図が頻出する理由

この記事では、中学受験算数で線分図が頻出する単元と、問題を見たときの判断基準、家庭で優先すべき練習方法を順を追って解説します。

線分図は、特定の単元だけで使う解法ではありません。和差算、分配算、倍数算、年齢算、割合、相当算など、数量関係を扱う多くの文章題に利用できます。

そのため、線分図を自力で描けるようになると、初めて見る問題でも条件を整理しやすくなります。一方で、すべての文章題に線分図を描こうとすると、かえって時間がかかることもあります。

大切なのは、頻出する基本の形を身につけたうえで、「この問題は線分図にすると関係が見えやすい」と判断できるようにすることです。

文章だけでは見えにくい数量関係を整理できる

中学受験算数の文章題には、合計・差・倍数・割合など、複数の条件が含まれます。

例えば、次のような問題です。

「兄と弟の持っているお金の合計は3,200円で、兄は弟より800円多く持っています。弟はいくら持っていますか」

この問題では、3,200円が二人の合計、800円が兄と弟の差です。

数字だけを見て計算しようとすると、足し算か引き算か迷う子もいます。しかし、弟の線と、それより800円長い兄の線を描けば、合計から800円を取り除くと同じ長さが二つ残ることが分かります。

したがって、式は次のようになります。

（3,200－800）÷2＝1,200

線分図は、問題文と式の間にある考える過程を目に見える形にする道具です。条件が複雑になる中学受験算数で頻繁に使われるのは、この整理する力が高いからです。

単元が変わっても同じ考え方を使える

線分図は、単元ごとにまったく違う図を覚えるものではありません。

基本となる考え方は、「同じ量は同じ長さ」「多い量は長くする」「差ははみ出した部分」「何倍かは同じ長さに区切る」の四つです。

例えば、兄と弟のお金を比べる問題も、父と子の年齢を比べる問題も、長さの異なる2本のテープを比べる問題も、図の基本的な形は共通しています。

場面や数字が変わっても、数量の関係が同じなら、同じ線分図を利用できます。

頻出単元を一つずつ別の解き方として覚えるのではなく、問題の奥にある「合計と差」「一方が他方の何倍」といった共通点を見つけることが大切です。

線分図を使うかどうかは問題文から判断する

問題集の単元名が分かっている間は、「今日は和差算だから線分図を使う」と判断できます。

しかし、実際の入試問題には「これは倍数算です」とは書かれていません。問題文を読み、使う道具を自分で選ぶ必要があります。

線分図が役立ちやすいのは、複数の量を比べる問題です。

「合わせて」「～より多い・少ない」「～倍」「全体の何割」「残り」といった表現がある場合は、線分図で整理できないか考えてみましょう。

ただし、言葉だけを機械的に探すのではなく、何と何の数量を比べているのかを確認することが重要です。

線分図が頻出する代表的な単元

和差算・分配算は線分図の基本

線分図を初めて練習するなら、和差算と分配算から始めるのが基本です。

和差算は、二つの量の合計と差から、それぞれの量を求める問題です。先ほどの兄と弟のお金のように、長短2本の線を描き、はみ出した部分を差として表します。

分配算では、ある量を条件に従って何人かに分けます。

例えば、「Aさん、Bさん、Cさんに合計2,100円を分け、BさんはAさんより200円多く、CさんはBさんより300円多く受け取った」という問題です。

3本の線を段階的に長く描けば、それぞれの差が見えるようになります。余分な部分を合計から取り除くと、同じ長さの線が3本残るため、基準となるAさんの金額を求められます。

和差算と分配算は、差を取り除いて同じ量を作る考え方を学ぶ単元です。

倍数算・差集め算では同じ長さに区切る

倍数算では、一方の量を1本分として、もう一方を同じ長さに区切ります。

「姉の持っているカードは妹の3倍で、二人の差は40枚」という問題なら、妹を1本分、姉を3本分として表します。

姉と妹の差は2本分に当たるため、

40÷2＝20

となり、妹は20枚、姉は60枚です。

差集め算でも、1個当たり、1人当たり、1日当たりの差を同じ長さで並べる考え方を使います。

例えば、1冊120円のノートを買う場合と、1冊150円のノートを買う場合では、1冊につき30円の差が生まれます。その差が何冊分集まって全体の差になったのかを考えます。

同じ差が繰り返される問題では、線分図や簡単な図にすると、割り算の意味が見えやすくなります。

年齢算は変化する量と変わらない差を表す

年齢算は、現在・過去・未来の年齢を扱うため、苦手にする子が多い単元です。

しかし、重要なのは、家族全員の年齢は同じ年数ずつ増えるため、二人の年齢差は変わらないという点です。

例えば、「現在、父は40歳、子は10歳です。父の年齢が子の年齢の3倍になるのは何年後ですか」という問題を考えます。

現在の年齢差は30歳で、この差は何年後でも変わりません。父が子の3倍になるとき、父を3本分、子を1本分とすると、その差30歳は2本分です。

30÷2＝15

したがって、そのときの子は15歳なので、現在の10歳から5年後だと分かります。

年齢算では、年齢そのものは変化しても、差は変わらないことを線分図で表すのがポイントです。

割合・相当算は基準量を1本分として考える

割合の問題では、「何を基準となる全体にするか」が重要です。

例えば、「ある本を全体の40％まで読み、残りが180ページでした」という問題では、本全体を1本の線で表します。

読んだ部分が40％なら、残りは60％です。この60％に当たる部分が180ページなので、本全体は、

180÷0.6＝300

ページと求められます。

相当算でも、全体を1や100％として線分図に表し、分かっている一部分から全体を逆算します。

割合が苦手な子は、40％と180ページを直接計算しようとして混乱しがちです。線分図を使って「180ページは全体のどの部分か」を確認すると、何で割るべきかが分かりやすくなります。

売買損益や速さでも役立つ場合がある

売買損益では、原価・定価・売価・利益の関係を線分図で整理できる場合があります。

例えば、原価を100％とし、2割の利益を見込んで定価をつけるなら、定価は原価の120％です。そこから値引きする問題では、何を基準にした割合なのかを線で表すと混乱を防げます。

速さの問題では、線分図よりも道のり図やダイヤグラムが適することもあります。ただし、2人が進んだ道のりの合計や差を比べる問題では、線分図が役立つ場合があります。

単元名で図を決めるのではなく、問題で比べているものが「量」なら線分図、「動き」なら道のり図というように使い分けることが大切です。

入試問題で線分図を使うべき場面の見分け方

二つ以上の量を比べている

まず確認したいのは、問題文に比べる量が二つ以上あるかどうかです。

兄と弟の金額、父と子の年齢、男子と女子の人数、全体と残りなど、比べる対象が明確なら線分図を検討します。

問題文を読んだ後に、「何と何を比べている？」と自分に問いかける習慣をつけましょう。

答えられない場合は、すぐに図を描くのではなく、登場する量をノートに短く書き出します。

合計・差・何倍が同時に出てくる

線分図が特に有効なのは、合計・差・倍数のうち二つ以上が同時に与えられる問題です。

「合計が3,000円で、一方が他方より600円多い」「二人の差が24歳で、一方が他方の3倍」といった問題が代表例です。

このような問題では、数字を見ただけで式を作ろうとすると、どの数字を足すのか、引くのか、割るのか迷いやすくなります。

線分図を描き、余分な部分を取り除くのか、何本分に当たるかを確認すると、計算の順序が見えてきます。

基準となる量が分からない

割合の問題では、どの量を100％や1とするのかが分からず、つまずくことがあります。

「AはBの80％」「BはCの75％」のように、文ごとに基準が変わる問題では特に注意が必要です。

それぞれの量を線で表し、「何を1本分とした割合なのか」を書き込むと、基準の取り違えを減らせます。

割合の数字だけを見て掛け算や割り算を決めるのではなく、基準量と比較量の関係を図で確かめましょう。

線分図にこだわらないほうがよい問題もある

線分図は便利ですが、すべての問題に適しているわけではありません。

場合の数は樹形図、速さは道のり図やダイヤグラム、平面図形は実際の図形、規則性は表に整理したほうが分かりやすい場合があります。

また、簡単な問題で関係がすぐに分かるなら、無理に線分図を描く必要はありません。

入試では時間が限られているため、図を描くことで考えやすくなるか、かえって手間が増えるかを判断することも重要です。

線分図を使えることと、必ず使うことは同じではありません。

頻出問題に対応する家庭学習の進め方

基本3パターンを優先して練習する

家庭学習では、すべての単元を同時に練習する必要はありません。

最初に優先したいのは、次の3パターンです。

一つ目は合計と差、二つ目は何倍と差、三つ目は全体と一部分です。

合計と差は和差算、何倍と差は倍数算や年齢算、全体と一部分は割合や相当算につながります。

この3つを基本問題で迷わず描けるようになれば、多くの頻出問題に対応する土台ができます。

問題文から図だけを描く練習を入れる

線分図の練習というと、答えまで計算させる家庭が多いでしょう。

しかし、自分で図を描く力を伸ばしたい場合は、計算をせず、問題文から線分図だけを作る練習も効果的です。

1回10分で2～3問を読み、比べる量、大小関係、差や合計を書き込みます。

図が完成したら、「この線は何？」「この数字はどの部分？」と確認します。

計算の負担を外すことで、文章から図へ変換する部分に集中できます。

単元を混ぜて使う図を判断させる

単元別の問題集だけを解いていると、子どもは見出しから使う解法を予想できます。

入試への対応力を高めるには、和差算・年齢算・割合などを混ぜた問題にも取り組ませましょう。

最初は3問程度を並べ、「線分図を使う問題はどれ？」「何と何を比べる？」と判断させるだけでも構いません。

単元名を隠した状態で使う図を選べるようになると、初見問題への対応力が高まります。

過去問では正解より図の再現性を確認する

過去問で線分図を使う問題を間違えたときは、答えだけを解き直して終わらせないようにします。

翌日に問題文だけを見て、線分図をもう一度描かせましょう。さらに1週間後、同じ問題を白紙から解き直します。

確認するのは、正解を覚えているかではありません。

何を線で表したか、差や割合を正しい場所に書けたか、図から式の意味を説明できたかを見ます。

図を自力で再現できれば、似た構造の別問題にも応用しやすくなります。

まとめ

中学受験算数で線分図が頻出するのは、文章に書かれた合計・差・倍数・割合の関係を、目に見える形で整理できるからです。

特に頻出するのは、和差算・分配算・倍数算・差集め算・年齢算・割合・相当算です。売買損益や一部の速さの問題でも役立つことがあります。

入試問題では、二つ以上の量を比べている、合計と差が同時に出てくる、一方が他方の何倍か示されている、基準量が分かりにくいといった場合に線分図を検討しましょう。

家庭学習では、合計と差、何倍と差、全体と一部分の3パターンを優先します。

問題文から図だけを描く練習を取り入れ、単元を混ぜた問題で線分図を使うべきか判断させることも大切です。

ただし、すべての問題に線分図を使う必要はありません。場合の数には樹形図、速さには道のり図など、問題に合った道具を選びます。

線分図の形を暗記するのではなく、「何と何を比べているのか」「同じ部分はどこか」「差は何本分か」を自分の言葉で説明できる状態を目指してください。

頻出する基本の数量関係が見えるようになると、単元名が書かれていない入試問題でも、落ち着いて解き方を選べるようになります。