中学受験算数｜面積図の解き方を基礎から解説

中学受験算数の面積図とは何を表す図か

この記事では、中学受験算数の面積図について、図の基本的な意味から具体的な解き方、家庭で身につける練習方法まで順を追って解説します。

たて・横・面積の3つの量を整理する

面積図は、2つの量を掛けてできる数量を、長方形の面積として表す図です。

たとえば、食塩水の問題では、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

という関係があります。

このとき、横を食塩水の重さ、たてを濃度、長方形の面積を食塩の重さとして表します。

平均算なら、

人数×平均点＝合計点

です。

横を人数、たてを平均点、面積を合計点として考えられます。

面積図で最初に確認したいのは、長方形そのものではありません。「何と何を掛けると、何が求められるのか」という3つの量の関係です。

ここが理解できると、数字の置き場所を丸暗記しなくても、自分で図を作りやすくなります。

面積図は長方形の面積を求める問題ではない

面積図と聞くと、図形の面積を求める問題だと考える子がいます。

しかし、面積図は実際の長方形の縦や横の長さを求めるための図ではありません。

割合や平均など、目に見えにくい数量関係を長方形に置き換えて考えるための道具です。

たとえば、40人の平均点が70点なら、

40×70＝2,800

となり、40人分の合計点は2,800点です。

面積図では、横40、たて70の長方形を作り、その面積2,800を合計点として見ます。

この考え方を使うと、人数が増えたときや、平均点が変化したときも、長方形の増減として整理できます。

面積図の「面積」は、問題の中で求めたい合計量を表していると理解しましょう。

線分図との違いを理解する

線分図と面積図は、どちらも文章題を整理するために使いますが、得意な問題が異なります。

線分図は、2つの量の差、合計、比、倍を長さで比較する図です。

一方、面積図は、2つの量を掛け合わせてできる数量を整理する図です。

たとえば、「兄は弟より300円多い」という問題なら線分図が向いています。

「30人の平均点が72点」という問題なら、人数と平均点を掛けて合計点を出すため、面積図が向いています。

子どもが文章題を見たときに迷う場合は、「比べたいのか」「掛け合わせたいのか」を考えさせてください。

量の大小や差を比べるなら線分図、2つの量の積をまとめるなら面積図という区別が基本です。

面積図の基本的な解き方4ステップ

ステップ1は何と何を掛けるか確認する

面積図の解き方で最初に行うのは、問題に出てくる3つの量を見つけることです。

たとえば、食塩水なら、

食塩水の重さ
濃度
食塩の重さ

の3つがあります。

平均算なら、

人数
平均点
合計点

です。

この3つのうち、2つを掛けて残りの1つが求められる関係を確認します。

「何と何を掛ける？」と子どもに聞き、式を言葉で答えさせるとよいでしょう。

ここを飛ばして図を書き始めると、縦と横に何を置けばよいか分からなくなります。

まずは、問題文から「掛け算でつながる3つの量」を探すことが、面積図の第一歩です。

ステップ2は同じ種類の量を同じ向きにそろえる

面積図では、同じ種類の量を必ず同じ向きに置きます。

食塩水の問題なら、横をすべて重さ、たてをすべて濃度にします。

途中で横に濃度、たてに重さを書くと、図の比較ができなくなります。

たとえば、8％の食塩水300gと、14％の食塩水200gを混ぜる問題なら、2つの長方形の横に300gと200g、たてに8％と14％を書きます。

混ぜた後の食塩水は、横が500gになります。

このように、重さを横、濃度をたてに統一すれば、混ぜる前と後を同じ図の中で比べられます。

縦横をどちらにするかは、必ずしも一つに決まっていません。ただし、一度決めたら同じ問題の中ではそろえることが重要です。

ステップ3は分かっている数を図に書き込む

3つの量の関係を確認したら、問題文で分かっている数字を面積図に書き込みます。

例として、8％の食塩水300gと14％の食塩水200gを混ぜる場合を考えます。

1つ目の長方形には、

横300g
たて8％

と書きます。

2つ目には、

横200g
たて14％

です。

混ぜた後は、横が500g、たてが求めたい濃度なので「？」とします。

数字を書くときは、単位も意識してください。

濃度8％は、計算では0.08として扱います。面積図に8とだけ書く場合でも、「8g」ではなく「8％」だと分かるようにします。

面積図で混乱する子の多くは、数字の意味を省略しています。重さ、割合、合計量を区別して書くことが大切です。

ステップ4は面積の差や合計から式を作る

面積図を書いたら、長方形の面積が何を表すかを確認します。

先ほどの食塩水なら、面積は食塩の重さです。

8％の食塩水300gに含まれる食塩は、

300×0.08＝24g

14％の食塩水200gに含まれる食塩は、

200×0.14＝28g

です。

混ぜた後の食塩は、

24＋28＝52g

食塩水全体は500gなので、

52÷500＝0.104

したがって、濃度は10.4％です。

面積図では、混ぜる前の2つの面積の合計が、混ぜた後の面積と等しくなります。

このように、面積の合計や差に注目して式を作るのが基本的な解き方です。

面積図を使う代表的な問題の解き方

食塩水の濃度は食塩の量を面積で表す

食塩水の問題は、面積図が最もよく使われる単元の一つです。

横を食塩水の重さ、たてを濃度、面積を食塩の重さとして考えます。

たとえば、10％の食塩水400gに水を100g加える問題です。

水を加えても、食塩の重さは変わりません。

最初の食塩の重さは、

400×0.10＝40g

水を加えた後の全体の重さは、

400＋100＝500g

です。

したがって、新しい濃度は、

40÷500＝0.08

となり、8％です。

面積図では、横が400gから500gへ広がり、面積40gは変わらないため、たての濃度が低くなると見えます。

「何が変わり、何が変わらないか」を図で確認できることが、食塩水で面積図を使う大きな利点です。

平均算は人数と平均点から合計点を表す

平均算では、

人数×平均点＝合計点

を面積図で表します。

たとえば、男子20人の平均点が70点、女子30人の平均点が80点のとき、全体の平均点を求めます。

男子の合計点は、

20×70＝1,400点

女子の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

全体の合計点は、

1,400＋2,400＝3,800点

人数は50人なので、

3,800÷50＝76点

となります。

面積図では、横が人数、たてが平均点、面積が合計点です。

人数が多い集団の平均点ほど、全体平均への影響が大きくなることも図から理解できます。

「70点と80点の真ん中だから75点」と単純に考えてはいけない理由も、人数の違いを面積として見れば説明しやすくなります。

仕事算は時間と仕事率から仕事量を表す

仕事算でも面積図を使えます。

仕事算では、

時間×1時間当たりの仕事量＝全体の仕事量

という関係があります。

たとえば、Aさんが1時間に全体の6分の1、Bさんが1時間に全体の12分の1の仕事をするとします。

2人が一緒に1時間働くと、

6分の1＋12分の1＝4分の1

の仕事が終わります。

面積図では、横を時間、たてを1時間当たりの仕事量、面積を完了した仕事量として考えます。

2人で3時間働けば、

3×4分の1＝4分の3

が終わります。

残りは4分の1です。

仕事算で面積図を使うと、時間が増えるほど仕事量の面積が広がることを視覚的に確認できます。

ただし、仕事率を分数で扱うため、先に「全体の仕事を1とする」考え方を理解しておく必要があります。

売買や速さでは使える条件を見極める

面積図は便利ですが、すべての文章題に向いているわけではありません。

売買損益では、

個数×1個当たりの利益＝全体の利益

という関係なら面積図を使えます。

一方、定価、原価、割引率、利益率が複雑に絡む問題では、線分図や割合の図の方が整理しやすいことがあります。

速さでは、

時間×速さ＝道のり

を面積図として表すこともできます。

ただし、2人が出会う問題や途中で速さが変わる問題では、線分図やダイヤグラムの方が状況を追いやすい場合があります。

面積図を使う基準は、2つの量の積を合計や差として比べたいかどうかです。

図を書いても何を比較しているのか分からない場合は、別の図を選ぶ判断も必要です。

面積図が苦手な子の家庭学習法

最初は数字を入れず図の意味を答えさせる

面積図が苦手な子に、いきなり計算まで求めると負担が大きくなります。

最初は図を見せて、

「横は何を表している？」
「たては何？」
「面積は何になる？」

と答えさせましょう。

たとえば平均算なら、横が人数、たてが平均点、面積が合計点です。

3つの量を言葉で説明できてから、数字を入れる練習へ進みます。

図の形を覚えるより、掛け算の関係を理解することが優先です。

家庭では、単元ごとに「横・たて・面積」の3項目を小さな表にして確認する方法も有効です。

式と面積図を一つずつ対応させる

面積図を書けても、式につなげられない子は少なくありません。

その場合は、式の数字が図のどこにあるかを確認します。

たとえば、

300×0.08＝24

という式なら、300は長方形の横、0.08はたて、24は面積です。

混ぜた後の濃度を求める、

52÷500＝0.104

では、面積52を横500で割り、たての濃度を求めています。

「掛け算なら面積を求める」「割り算なら縦か横を求める」と、図の中で確認すると理解しやすくなります。

式だけを暗記させず、図のどの部分を計算しているかを毎回説明させましょう。

1日2～3問を基本から繰り返す

面積図は、一度に大量の難問を解くより、基本問題を短時間で繰り返す方が定着しやすくなります。

目安は1日2～3問、10～15分程度です。

1問目は図の縦・横・面積を答えるだけ、2問目は基本計算、3問目は少し条件を変えた類題にします。

食塩水なら、

食塩の量を求める
水を加えた後の濃度を求める
異なる濃度を混ぜる

という順番がおすすめです。

いきなり逆算を含む難問へ進まず、何を面積として見るかを迷わなくなってから応用へ移りましょう。

親は図を完成させず質問で支える

子どもが面積図を書けずに止まったとき、親が完成図を描いて見せると、その場では分かったように見えます。

しかし、次の問題で自力再現できないことがあります。

親は次のように質問してください。

「何と何を掛ける問題？」
「合計になる量はどれ？」
「同じ種類の数字を同じ向きに置けている？」
「変わらない量は何？」
「求めたいのは横、たて、面積のどれ？」

これらの質問で、子ども自身が図の構造を考えられます。

最初の長方形だけ一緒に書き、残りを任せる方法も効果的です。

まとめ

中学受験算数の面積図は、2つの量を掛けてできる合計量を、長方形の面積として整理する図です。

基本は、何と何を掛けるかを確認し、同じ種類の量を同じ向きにそろえ、分かっている数字を書き込むことです。

食塩水では重さ×濃度＝食塩の重さ、平均算では人数×平均点＝合計点、仕事算では時間×仕事率＝仕事量として表します。

面積図が苦手な子は、図の形ではなく、横・たて・面積が何を表すかを言葉で説明する練習から始めましょう。

家庭学習では、1日2～3問程度に絞り、式の数字が図のどこに対応しているかを毎回確認してください。

面積図を使いこなすために大切なのは、きれいな長方形を書くことではありません。「2つの量を掛けると何になるか」を理解し、面積の合計や差から必要な式を見つけられることです。