中学受験算数の面積図｜入試で使う問題と対策

中学受験の入試で面積図が必要になる理由

この記事では、中学受験の入試で面積図を使う代表的な問題と、得点につなげるための家庭学習法を順を追って解説します。

面積図そのものを問う問題は多くない

中学受験の入試では、「面積図を書きなさい」と直接指示される問題は、それほど多くありません。

実際には、割合、平均、食塩水、売買損益などの文章題を解く途中で、子ども自身が面積図を使うか判断します。

塾のテキストでは単元名が書かれているため、「今日は食塩水だから面積図を使う」と予想できます。しかし、入試問題には単元名がありません。

問題文を読んだときに、

「2つの量を掛けると、別の量になる」
「複数のグループを合計している」
「割合や平均の基準を整理する必要がある」

と気づき、自分から面積図を書けることが重要です。

面積図の形を覚えているだけでなく、使うべき場面を見抜く力が入試では求められます。

掛け算でつながる3つの量を整理できる

面積図は、掛け算で結びつく3つの量を、長方形の縦・横・面積で表す図です。

長方形の面積は、

縦×横＝面積

で求めます。

文章題では、この関係を単元ごとに置き換えます。

割合なら、

もとにする量×割合＝比べる量

平均なら、

個数×平均＝合計

食塩水なら、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

です。

たとえば、400gの6％食塩水に含まれる食塩の重さは、

400×0.06＝24

で24gです。

面積図にすると、食塩水の重さと濃度を縦・横に置き、食塩の重さを長方形の中に表します。

入試問題で面積図を使う目的は、公式を思い出すことではありません。問題に出てくる数字が、3つの量のどこに当たるのかを整理することです。

複数の条件を含む文章題で効果を発揮する

基本問題では、面積図を1つ書けば解けることがあります。

一方、入試で差がつきやすいのは、2つ以上の面積図を組み合わせる問題です。

たとえば、次のような平均の問題があります。

「A組20人の平均点は70点、B組30人の平均点は80点です。2組全体の平均点を求めなさい」

A組の合計点は、

20×70＝1,400点

B組の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

全体の合計点は3,800点、人数は50人なので、

3,800÷50＝76点

となります。

70点と80点を足して2で割ると75点ですが、人数が異なるため正しくありません。

面積図を2つ並べると、平均ではなく、面積に当たる合計点を足す必要があると分かります。

面積図を使う入試の頻出問題

割合は基準量と比べる量を整理する

割合の問題では、何を100％と考えるかが重要です。

たとえば、

「定価3,000円の商品を20％引きで買いました。代金はいくらですか」

という問題を考えます。

基準となる定価3,000円が100％です。20％は値引きされる割合なので、値引き額は、

3,000×0.2＝600円

です。

代金は、

3,000－600＝2,400円

となります。

また、支払う割合を、

100％－20％＝80％

と考え、

3,000×0.8＝2,400円

と求めても構いません。

入試では、「20％引き」「定価の8割で販売」「売価は原価の1.3倍」など、割合の表現が変わります。

数字を見つけてすぐ掛けるのではなく、

「何が100％か」
「求めるのは割合に当たる部分か、残りか」

を面積図で整理しましょう。

平均は人数と合計点を面積で表す

平均の問題では、

個数×平均＝合計

という関係を使います。

面積図では、たとえば横を人数、縦を平均、長方形の面積を合計点として表します。

入試では、2つのグループを合わせる問題だけでなく、一部の人が加わったり抜けたりする問題も出題されます。

たとえば、

「20人の平均点が72点でした。1人加わると平均点が73点になりました。加わった人の点数を求めなさい」

という問題です。

初めの合計点は、

20×72＝1,440点

1人加わった後の合計点は、

21×73＝1,533点

です。

加わった人の点数は、

1,533－1,440＝93点

となります。

面積図を前後で書き分けると、増えた面積が加わった1人の点数だと分かります。

食塩水は食塩の重さを面積にする

食塩水は、面積図が効果を発揮する代表的な入試単元です。

基本の関係は、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

です。

たとえば、200gの5％食塩水と300gの10％食塩水を混ぜる問題を考えます。

1つ目に含まれる食塩は、

200×0.05＝10g

2つ目に含まれる食塩は、

300×0.1＝30g

です。

食塩は合計40g、食塩水全体は500gなので、

40÷500＝0.08

となり、濃度は8％です。

ここで、5％と10％を単純に平均して7.5％としないよう注意します。2つの食塩水の重さが違うためです。

面積図では、濃度ではなく、面積に当たる実際の食塩の重さを合計します。

売買損益は何を100％とするか見極める

売買損益では、原価、定価、売価、利益、損失など多くの数字が登場します。

面積図を使うと、どの金額を100％と考えるかを整理しやすくなります。

たとえば、

「原価2,000円の商品に、原価の30％の利益を見込んで定価を付けました」

という問題です。

原価2,000円が100％です。

利益は、

2,000×0.3＝600円

なので、定価は、

2,000＋600＝2,600円

です。

一方、「定価の20％引きで販売した」と書かれていれば、20％の基準は原価ではなく定価です。

同じ問題の中でも、割合の基準が途中で変わることがあります。

面積図を書く前に、

「何の30％か」
「何の20％か」

を一つずつ確認することが、入試での取り違えを防ぎます。

面積図の入試問題で問われる力

面積図を使うべき問題を判断する力

入試では、面積図以外にも線分図、進行図、表、樹形図などを使います。

面積図が向いているのは、主に掛け算でつながる3つの量がある問題です。

たとえば、

• もとにする量・割合・比べる量
• 個数・平均・合計
• 食塩水・濃度・食塩
• 単価・個数・代金
• 原価・利益率・利益

などです。

一方、単純な差や合計を比べるなら線分図、速さなら進行図のほうが分かりやすい場合があります。

問題を読んだときに、「何と何を掛けると何になるか」と考えられるなら、面積図が使える可能性があります。

縦・横・面積の意味を決める力

面積図を書くときは、縦・横・面積が何を表すかを決めます。

位置そのものを丸暗記する必要はありません。縦と横は入れ替えても積は同じだからです。

ただし、複数の長方形を使う問題では、同じ種類の量を同じ位置にそろえます。

平均の問題なら、すべての図で、

• 横を人数
• 縦を平均
• 面積を合計

と統一します。

食塩水なら、

• 横を食塩水の重さ
• 縦を濃度
• 面積を食塩の重さ

とします。

大切なのは、図を書いた後に「この横は何を表すか」を説明できることです。

複数の面積図から共通部分を見つける力

入試問題では、複数の長方形を並べ、合計や差を利用する問題が多くあります。

平均では、各グループの合計点を足します。食塩水では、含まれる食塩の重さを足します。

また、ある量が増えたり減ったりする問題では、変化前と変化後の面積図を比べます。

たとえば、水だけを加えた食塩水では、食塩の重さは変わりません。変わるのは食塩水全体の重さと濃度です。

この場合、面積に当たる食塩の量が同じだと気づくことが、解法の手がかりになります。

複数の図では、「何が変わらないか」を探す習慣をつけましょう。

図から式と答えの単位を導く力

面積図を書けても、式や単位につながらなければ得点にはなりません。

図を書いたら、求める場所に「？」を付けます。

• 長方形の中が「？」なら掛け算
• 縦や横が「？」なら割り算

と判断できます。

たとえば、

24÷300＝0.08

という式では、0.08が何を表すか確認します。

濃度を求めているなら、

0.08＝8％

です。

一方、

300×0.08＝24

なら、24は食塩の重さなので単位はgです。

計算後に「答えは何の量か」を図へ戻って確認すると、単位や百分率のミスを防げます。

入試に向けた面積図の家庭学習法

基本の3つの関係を最優先で覚える

入試対策では、まず次の3つの関係を優先します。

1. もとにする量×割合＝比べる量
2. 個数×平均＝合計
3. 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

この3つを、式だけでなく面積図として説明できるようにします。

小6であっても基本が曖昧なら、計算の簡単な問題へ戻って構いません。

100円の20％、10人の平均50点、200gの5％食塩水など、暗算できる数字を使い、図の意味に集中しましょう。

図だけを書く練習で条件整理を鍛える

面積図が苦手な子には、計算をさせず、問題文から図だけを書く練習が有効です。

1日10分から15分、2問程度で十分です。

確認する項目は次の5つです。

• 掛け算でつながる3つの量を見つけたか
• 基準となる量を正しく選んだか
• 同じ種類の量を同じ位置に置いたか
• 分かっている数字を書いたか
• 求める場所に「？」があるか

図を正しく書けるようになってから、式を作る練習へ進みます。

過去問は面積図を使って解き直す

過去問では、正解と不正解だけを確認せず、面積図が使えた問題を選び直します。

対象になるのは、次のような問題です。

• 割合の基準を取り違えた
• 平均を単純に足して割った
• 食塩水の濃度を直接平均した
• 売買損益で原価と定価を混同した
• 解説では面積図が使われていた

時間制限を外し、問題文から3つの量を書き出してから面積図を作ります。

解説の図を見る前に自分で書くことが重要です。完成図を写すだけでは、入試本番で使う判断力が身につきません。

保護者は完成図より説明を確認する

家庭で教えるときは、長方形の形や縦横の位置を細かく直しすぎないようにしましょう。

保護者が確認したいのは、次の内容です。

「問題に出てくる3つの量は何？」
「何と何を掛けると何になる？」
「何を100％と考えた？」
「長方形の中は何を表している？」
「答えの単位は何？」

子どもが説明できれば、面積図を理解して使っています。

迷っている場合も、完成図をすぐ見せず、長方形だけ描いて数字の配置を子どもに任せるなど、手助けを最小限にしましょう。

まとめ

中学受験の入試では、面積図そのものを書く問題より、割合、平均、食塩水、売買損益などの文章題を整理する場面で使われます。

面積図の基本は、

縦×横＝面積

という長方形の関係です。

入試で特に重要なのは、次の3つです。

• もとにする量×割合＝比べる量
• 個数×平均＝合計
• 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

入試では、面積図の形を覚えているかではなく、問題文から掛け算でつながる3つの量を見つけ、自分で図を使うと判断できるかが問われます。

また、複数の面積図を使う問題では、平均や濃度を直接足すのではなく、面積に当たる実際の量を合計します。

家庭学習では、計算の簡単な問題から始め、1日10分程度の図だけ練習を取り入れましょう。過去問で間違えた問題も、時間制限を外して面積図から書き直します。

保護者は完成した図を教えるのではなく、「何と何を掛けるの？」「何が100％？」と問いかけてください。

面積図は、公式を当てはめるための図ではありません。複雑な入試問題を、掛け算でつながる3つの量へ分解する道具です。基本の関係を自分の言葉で説明できるようになれば、初めて見る文章題でも落ち着いて式を組み立てられるようになります。