中学受験算数「比の利用」の解き方を基礎から解説

中学受験算数の「比の利用」とは何をする問題？

この記事では、そんな悩みに対して、比の利用の基本的な解き方から頻出問題への当てはめ方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、比そのものを簡単にする問題だけでなく、比を利用して人数、長さ、代金、重さなどを求める問題が数多く出題されます。

計算方法を覚えていても、文章中の数量がどの比に対応しているかを整理できなければ、正しい式は作れません。

反対に、「何と何を比べているか」「比の1はいくつか」という2点を丁寧に確認できれば、多くの問題は同じ手順で解けるようになります。

比を使って分からない数量を求める

比の利用とは、2つ以上の数量の関係を比で表し、分かっていない数量を求める考え方です。

たとえば、赤い玉と白い玉の個数の比が3：5で、赤い玉が12個あるとします。

比の3にあたる数量が12個なので、比の1にあたる数量は、

12÷3＝4個

です。

白い玉は比の5にあたるため、

4×5＝20個

と求められます。

このように、比の利用では、実際の数量をいったん「比の1あたり」に直し、そこから必要な数量を求めるのが基本です。

比の値と実際の数量を区別する

比が苦手な子は、3：5という比を見たときに、3個と5個だと考えてしまうことがあります。

しかし、比の3と5は、実際の個数を表しているとは限りません。数量同士の関係を示す目盛りのようなものです。

赤い玉と白い玉の比が3：5でも、実際の個数は6個と10個、12個と20個、30個と50個など、同じ比になる組み合わせがいくつもあります。

したがって、比の問題では「比の数字」と「実際の数量」を分けて書くことが大切です。

ノートでは、次のように縦に対応させると整理しやすくなります。

赤：白＝3：5
実際　12：□

この形を作るだけで、3が12に対応していることが見えやすくなります。

割合との違いを理解する

比と割合はよく似ていますが、見方が少し異なります。

割合は、ある数量を基準にして、もう一方がその何倍かを表します。一方、比は2つ以上の数量を並べて関係を表します。

たとえば、男子と女子の人数の比が2：3の場合、男子を基準にすれば、女子は男子の1.5倍です。女子を基準にすれば、男子は女子の3分の2です。

つまり、同じ数量関係を、比では2：3、割合では1.5倍や3分の2と表せます。

比の利用で大切なのは、どちらを基準にするかを急いで決めることではありません。まず、比の各数字に何が対応しているかを正確に並べることです。

比の利用の基本的な解き方は4ステップ

ステップ1｜何と何の比かを確認する

問題文を読んだら、最初に比べている数量を確認します。

たとえば、「兄と弟の所持金の比は5：3」とあれば、5が兄、3が弟に対応します。

ここを逆にすると、その後の計算が合っていても答えは間違います。

子どもには、比を見つけたら数字だけを書くのではなく、

兄：弟＝5：3

のように、必ず言葉を添えて書かせましょう。

特に文章が長い問題では、登場する順番と比の順番が異なることもあります。数字だけで覚えず、対応する名前を書く習慣が重要です。

ステップ2｜対応する数量をそろえる

次に、分かっている実際の数量を、比の下に対応させます。

兄と弟の所持金の比が5：3で、兄が1,500円持っているなら、

兄：弟＝5：3
金額　1,500円：□円

と整理します。

このとき、兄の比5と1,500円が縦に対応していることが重要です。

比の問題で式が立たない子の多くは、この対応を頭の中だけで処理しています。書いて整理するだけで、割る数と掛ける数を判断しやすくなります。

ステップ3｜比の1あたりを求める

対応が確認できたら、実際の数量を比の数字で割ります。

兄の比5が1,500円にあたるため、

1,500÷5＝300円

となります。

この300円が、比の1にあたる実際の数量です。

比の利用では、この「比の1あたり」を求められるかどうかが最も重要です。

子どもが迷ったときは、「比の5個分が1,500円なら、比の1個分はいくら？」と聞くと理解しやすくなります。

ステップ4｜求める数量に戻す

比の1あたりが分かったら、求めたい数量の比を掛けます。

弟は比の3にあたるため、

300×3＝900円

です。

したがって、弟の所持金は900円となります。

この解き方は、

実際の数量÷対応する比＝比の1あたり
比の1あたり×求める比＝答え

という2つの式で整理できます。

ただし、公式として丸暗記するだけでは不十分です。何を何で割り、なぜその比を掛けるのかを説明できる状態を目指しましょう。

比の利用でよく出る問題の解き方

全体を比で分ける問題

比の利用で頻出なのが、全体の数量を指定された比に分ける問題です。

たとえば、84個のあめを兄と弟で4：3に分けるとします。

比の合計は、

4＋3＝7

です。

全体の84個が比の7にあたるため、比の1は、

84÷7＝12個

となります。

兄は比の4なので、

12×4＝48個

弟は比の3なので、

12×3＝36個

です。

全体を分ける問題では、最初に比を足すことがポイントです。

「全体が比のいくつ分にあたるか」を確認すると、なぜ4＋3をするのかが理解できます。

一方の数量からもう一方を求める問題

一方の数量だけが分かっている問題では、分かっている数量に対応する比で割ります。

たとえば、AとBの長さの比が7：4で、Aが35cmなら、

35÷7＝5cm

が比の1にあたります。

Bは比の4なので、

5×4＝20cm

です。

この問題で、35÷4としてしまう子がいます。原因は、求めるBの比4に目が向き、分かっている35cmがどこに対応するかを確認していないためです。

割る数は、求める側の比ではなく、分かっている実際の数量に対応する比です。

差と比から2つの数量を求める問題

差と比を使う問題も、中学受験ではよく出題されます。

たとえば、兄と弟の年齢の比が5：3で、年齢差が6歳だとします。

比の差は、

5－3＝2

です。

実際の年齢差6歳が、比の差2にあたるため、

6÷2＝3歳

が比の1にあたります。

兄は、

3×5＝15歳

弟は、

3×3＝9歳

です。

差が示されている問題では、比も引き算します。

全体が示されていれば比を足し、差が示されていれば比を引く、と整理すると判断しやすくなります。

連比を使う問題

3つの数量を比べるときは、連比を使うことがあります。

たとえば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

から、A：B：Cを求める問題です。

2つの比では、Bの数字が3と4で異なっています。そこで、Bを同じ数にそろえます。

3と4の最小公倍数は12なので、

A：B＝8：12
B：C＝12：15

となります。

したがって、

A：B：C＝8：12：15

です。

連比では、共通する数量の比をそろえることが最優先です。すべての数字を同じ数倍するのではなく、片方の比全体を何倍するかを意識させましょう。

比の利用が解けない原因と家庭での教え方

数字だけを見て式を作っている

比の利用が解けない子は、問題文の数字を見つけると、すぐに掛け算や割り算を始める傾向があります。

しかし、比の問題では、数字同士の対応を確認する前に計算してはいけません。

たとえば、3：5と20という数字を見て、20÷3や20÷5を試している状態では、考え方が定着しません。

まず、

何と何の比か
20はどちらに対応するか
全体なのか一部分なのか

を確認する必要があります。

家庭では「どの式を使うの？」と聞く前に、「20は比のどこに当たるの？」と質問してください。

対応関係をそろえられていない

比の利用では、比の順番と実際の数量の順番をそろえることが欠かせません。

たとえば、

男子：女子＝2：3

なのに、実際の人数を、

女子30人：男子□人

という順番で並べると混乱します。

正しくは、

男子：女子＝2：3
人数　□人：30人

です。

比を縦に書く、表にする、同じものを上下に並べるなど、見た目で対応が分かる形にしましょう。

文章を読んだだけで式を立てようとせず、1行整理してから計算する習慣がミスを減らします。

比の1と実際の1を混同している

「比の1あたり」という表現に戸惑う子もいます。

比の1は、実際の1個、1円、1cmという意味ではありません。比の目盛り1つ分にあたる実際の数量です。

たとえば、赤と白の玉の比が2：3で、赤が10個なら、比の1は5個です。

このとき、「1なのに5個なの？」と疑問を持つ子がいます。

家庭では、比を箱やまとまりとして説明すると分かりやすくなります。

「赤は同じ大きさの箱が2個分で、全部で10個。だから1箱分は5個」と説明すれば、比の1が実際の1とは異なることを理解しやすくなります。

家庭では説明させて理解を確かめる

比の利用は、正解したかどうかだけでは理解度を判断しにくい単元です。

たまたま正しい式を選んだり、数字の組み合わせから答えを予想したりすることがあるためです。

問題を解いたあと、子どもに次の3点を説明してもらいましょう。

「何と何の比だったか」
「分かっている数量は比のいくつにあたるか」
「比の1はいくつだったか」

たとえば、「35÷7をした理由は？」と聞いたときに、「Aの比7が35cmだから、比の1を出すため」と答えられれば、考え方を理解できています。

一方、「そういう公式だから」と答える場合は、似た問題でつまずく可能性があります。

毎日多くの問題を解かせるより、1問について短く説明させるほうが、比の利用では定着につながります。

復習は、同じ問題を当日、2～3日後、1週間後に解き直す方法が効果的です。数字が変わっても同じ手順で解けるかを確認しましょう。

まとめ｜比の利用は対応と1あたりを意識する

中学受験算数の比の利用では、比の計算力だけでなく、文章中の数量を正しく対応させる力が必要です。

基本的な解き方は、次の4ステップです。

まず、何と何の比かを確認します。次に、分かっている実際の数量を比に対応させます。その数量を対応する比で割り、比の1あたりを求めます。最後に、求める数量の比を掛けます。

全体を比で分ける問題では比を足し、差が与えられている問題では比を引きます。一方の数量が分かっている場合は、その数量に対応する比で割ることが大切です。

子どもが解けないときは、式をすぐに教えるのではなく、「何と何の比？」「この数量は比のいくつ分？」「比の1はいくつ？」と問いかけてください。

比の利用は、問題ごとに異なる公式を覚える単元ではありません。対応をそろえ、比の1あたりを求めるという共通の流れを身につければ、人数、代金、長さ、重さ、速さなど、幅広い文章題に対応できるようになります。