中学受験算数「比の利用」偏差値70の伸ばし方

比の利用で偏差値70に必要な力とは

この記事では、偏差値70を目指す子に必要な比の利用の考え方、差がつく問題、家庭での具体的な伸ばし方まで順を追って解説します。

中学受験算数で偏差値70を目指す場合、比の基本問題を解けるだけでは十分ではありません。

問題文に直接書かれていない比を作り、複数の条件を整理しながら、最も計算しやすい関係を選ぶ力が求められます。

ただし、偏差値70に必要なのは、特別なひらめきだけではありません。

基本問題を迷わず処理し、変わらない数量を見つけ、比と実際の数量を正確に対応させる習慣を積み重ねることで、難関校の問題にも対応しやすくなります。

基本問題を速く正確に処理する力

偏差値70を目指す子にとって、全体型、差型、一部分型などの基本問題は、考え込む問題ではありません。

たとえば、AとBの比が7：4で、差が18なら、

7－4＝3
18÷3＝6

とすぐに比の1を求められる状態が必要です。

難関校の算数では、一つの大問の中に複数の処理が含まれます。基本的な比の計算に時間がかかると、後半の条件整理に使う時間が足りなくなります。

目安としては、典型的な比の文章題を10問解いたとき、9問以上を正確に解き、1問あたり数分以内で処理できる状態を目指します。

ただし、速さを優先して途中式を省きすぎると、比の順番や対応を間違えます。

必要な式は残しつつ、迷う時間を減らすことが大切です。

問題文にない比を自分で作る力

偏差値50前後の問題では、比が問題文に示されていることが多くあります。

一方、偏差値70を目指す問題では、割合、速さ、図形などの条件から、自分で比を作らなければなりません。

たとえば、ある品物を原価の20％増しで定価にした場合、原価を5とすると利益は1、定価は6です。

原価：定価＝5：6

と表せます。

さらに、定価の25％引きで売ったなら、

定価：売値＝4：3

です。

この2つの比をつなぐためには、定価を共通の数にそろえます。

原価：定価＝10：12
定価：売値＝12：9

となるため、

原価：定価：売値＝10：12：9

です。

問題文に比がなくても、百分率や倍数を整数比に直すことで、計算しやすい形を作れます。

複数の条件から変わらない数量を見抜く力

比の応用問題では、変化の前後がよく出題されます。

人数が増えた、金額を使った、水を加えたなど、何かが変化したときに重要なのは、変わらなかった数量です。

たとえば、男子と女子の人数比が3：2で、男子が6人増えたあとに2：1になったとします。

変わっていないのは女子の人数です。

変化前の男子：女子＝3：2
変化後の男子：女子＝2：1

女子の比をそろえると、

変化前＝3：2
変化後＝4：2

となります。

男子は比で1増え、その実際の増加が6人なので、比の1が6人です。

最初の男子は18人、女子は12人と分かります。

難しい問題ほど、変化した数量に目を奪われがちです。まず「何が変わらないか」を探すことが、比を作る出発点になります。

偏差値70で差がつく比の利用の問題

変化の前後を比べる問題

変化前後の比を扱う問題では、同じ数量を基準にして比をそろえます。

たとえば、兄と弟の所持金の比が5：3でした。兄が600円使い、弟が300円もらったところ、所持金の比が2：3になったとします。

この問題では、兄も弟も金額が変化しているため、単純に一方を基準にはできません。

最初の所持金を、

兄＝5□
弟＝3□

と置きます。

変化後は、

兄＝5□－600
弟＝3□＋300

です。

比が2：3なので、

（5□－600）：（3□＋300）＝2：3

となります。

比の対応から、

3×（5□－600）＝2×（3□＋300）

15□－1,800＝6□＋600

9□＝2,400

□＝800÷3

となります。

実際の入試では割り切れる設定が多いものの、途中で分数になることもあります。数字がきれいになるはずだと決めつけず、条件どおりに進める力が必要です。

連比と全体・差を組み合わせる問題

難関校では、連比を作ったあと、全体や一部分ではなく、特定の2つの差や合計を使う問題が出ます。

たとえば、

A：B＝3：4
B：C＝6：5

で、AとCの差が14だとします。

Bを12にそろえると、

A：B＝9：12
B：C＝12：10

なので、

A：B：C＝9：12：10

です。

AとCの比の差は1です。

実際の差が14なので、比の1が14となります。

A＝126、B＝168、C＝140です。

ここで、すべての比を足してから14で割る必要はありません。

問題文で与えられているのがAとCの差なら、対応する比の9と10だけに注目します。

偏差値70を目指すには、作った連比をすべて使うのではなく、必要な部分だけを選ぶ力が重要です。

速さ・図形・割合との複合問題

比の利用は、単独で出題されるより、別単元の中で使われることが多くあります。

速さでは、同じ時間なら距離の比と速さの比が等しくなります。同じ距離なら、時間の比は速さの比の逆です。

図形では、相似比が2：3なら面積比は4：9、体積比は8：27です。

ただし、難関校では、図形全体が相似なのではなく、一部の三角形だけが相似になっていることがあります。

割合では、基準量が途中で変わります。

原価に対する20％と、定価に対する20％は同じ金額とは限りません。

複合問題では、比の計算だけでなく、

何が同じか
どの数量を基準にしているか
長さ・面積・体積のどの比か

を確認する必要があります。

条件不足に見える問題を比で整理する

難関校の問題は、最初に読んだとき「数字が足りない」と感じることがあります。

しかし、具体的な数量がなくても、比だけで答えを求められる場合があります。

たとえば、あるクラスで男子と女子の比が4：3です。男子の25％と女子の3分の1が欠席したとします。

男子を4、女子を3と置きます。

男子の出席者は75％なので、

4×4分の3＝3

です。

女子の出席者は3分の2なので、

3×3分の2＝2

です。

したがって、出席した男子と女子の比は3：2となります。

最初の人数が分からなくても、比を都合のよい数に置くことで解けます。

「実際の人数がないから解けない」と考えず、比を仮の数量として使えるか検討しましょう。

比の利用の難問を解く5つの手順

手順1｜数量と条件を言葉で整理する

難問では、数字だけを抜き出しても関係が見えません。

まず、誰の数量か、変化前か変化後か、全体か一部分かを書きます。

たとえば、

変化前の兄：弟＝5：3
兄は600円減る
弟は300円増える
変化後の兄：弟＝2：3

という形です。

文章を短い条件に分けると、どの数量が変化し、どの数量を式で表すべきかが見えます。

難しい問題ほど、最初の1分を整理に使ったほうが、途中でやり直す時間を減らせます。

手順2｜変わらない数量を基準にする

変化前後の問題では、変わらない数量がないか探します。

一方の人数、全体量、食塩の重さ、距離などが変わらない場合、それを基準に比をそろえます。

たとえば、食塩水に水だけを加える問題では、食塩の重さは変わりません。

濃度が10％から8％になったなら、

食塩水全体：食塩＝10：1
食塩水全体：食塩＝100：8＝25：2

と表せます。

食塩の比をそろえると、変化前後の食塩水全体の比を求められます。

変化したものではなく、残ったものに注目するのが比の難問の基本です。

手順3｜複数の比を共通の数にそろえる

比が2つ以上あるときは、共通する数量をそろえます。

A：B＝4：5
B：C＝6：7

なら、Bを30にそろえます。

A：B＝24：30
B：C＝30：35

したがって、

A：B：C＝24：30：35

です。

比をそろえるときは、必要以上に大きな数にしないことも大切です。

最小公倍数を使えば、計算量を抑えられます。

複雑な問題では、最初から3つ以上をまとめず、2つずつ比をつなげると整理しやすくなります。

手順4｜比の差や合計と実際の数量を対応させる

比を作ったあとは、問題文にある実際の数量が、比のどこに対応するかを確認します。

全体なら比の合計、差なら比の差、一部分ならその数量の比です。

A：B：C＝4：7：9で、BとCの合計が64なら、対応する比は、

7＋9＝16

です。

64÷16＝4

が比の1になります。

全体の比4＋7＋9を使う必要はありません。

偏差値70レベルでは、与えられた数量が全体とは限りません。どの部分の合計や差なのかを正確に読み取る必要があります。

手順5｜別解と検算で解法の質を高める

答えを出したら、元の条件に戻して検算します。

比が合っているか、増減後の数量が条件どおりか、合計や差が一致するかを確認します。

さらに、時間に余裕がある家庭学習では、別解も考えましょう。

比で解いた問題を線分図で整理する、割合で解いた問題を整数比に直すなど、違う見方を試します。

別解を考える目的は、解法を増やすことだけではありません。

どの解法が短く、ミスが少ないかを比較することで、本番で最適な方法を選びやすくなります。

偏差値70を目指す家庭学習と失点対策

難問より標準問題の処理速度を先に上げる

偏差値70を目指すからといって、毎日難問ばかり解く必要はありません。

難問に時間を使いすぎると、基本問題の処理速度や正確さが落ちることがあります。

家庭学習では、標準問題を短時間で正確に解く練習と、難問をじっくり考える時間を分けましょう。

たとえば、平日は15～20分で標準問題を3問、週末に応用問題を1～2問扱います。

標準問題で迷う部分が残っているなら、難問演習より先に基本を整えるべきです。

入試で偏差値70を取る子も、正答率の高い問題を落とさないことが土台になります。

1問を解いたあとに別解を考える

応用力を伸ばすには、問題数を増やすだけでなく、1問を深く扱うことが大切です。

解き終わったあとに、

別の比の置き方はないか
線分図で表せないか
割合を整数比に直せないか
もっと短い式にできないか

を考えます。

毎回すべての問題で行う必要はありません。

週に2～3問を選び、別解や短い解法を考えるだけでも、数量を見る角度が増えます。

難関校の問題では、最初に思いついた方法が計算しにくいことがあります。途中でよりよい方法へ切り替える柔軟さが必要です。

途中式の省略による失点を防ぐ

上位層の子は暗算力が高く、途中式を省略しがちです。

しかし、比の順番、連比の倍率、面積比の2乗などを頭の中だけで処理すると、小さなミスが起こります。

最低限、次の内容は残しましょう。

何と何の比か
比を何倍してそろえたか
実際の数量がどの比に対応するか
比の1を求める式

途中式は長く書く必要はありません。

自分が見直したときに、考え方を再現できる程度で十分です。

難問を解けるのに偏差値が安定しない場合は、発想力より途中処理のミスを疑いましょう。

解けなかった原因を段階別に記録する

難問を間違えたときに、「応用力不足」とまとめてはいけません。

原因を次のように分けます。

比を作れなかった
変わらない数量を見つけられなかった
連比を正しくそろえられなかった
実際の数量との対応を間違えた
計算や検算でミスをした

問題の横に原因を一言書くだけでも、復習の質が上がります。

比を作れなかったなら、割合や倍数を整数比へ直す練習をします。

変わらない数量を見抜けなかったなら、変化前後の問題を集めます。

計算ミスなら、同じ難問を何度も解くより、途中式の書き方を修正します。

まとめ｜偏差値70は比を作る力で差がつく

中学受験算数の比の利用で偏差値70を目指すには、与えられた比を使うだけでなく、問題文の条件から自分で比を作る力が必要です。

基本となる全体型、差型、一部分型、連比は、迷わず正確に処理できる状態にしておきましょう。

そのうえで、変化の前後、割合、速さ、相似、面積比などの複合問題へ進みます。

難問では、最初に数量と条件を短く整理し、変わらない数量を探します。複数の比があれば共通する数量をそろえ、実際の合計・差・一部分と対応させます。

家庭学習では、難問ばかりを増やす必要はありません。

標準問題の処理速度を高めながら、週に数問の応用問題を深く考え、別解や検算まで行うことが効果的です。

子どもが解けなかったときは、「発想が足りない」と判断せず、比を作れなかったのか、変わらない数量を見つけられなかったのか、対応や計算で間違えたのかを分けてください。

偏差値70で差がつくのは、難しい公式を多く知っている子ではありません。

数量の関係を比に置き換え、必要な条件だけを選び、最も簡潔な解法へ組み立てられる子です。

基本を速く正確に処理する力と、自分で比を作る力の両方を育てることで、初見の難関校問題にも落ち着いて対応できるようになります。