受験算数のつるかめ算｜基本の考え方と解き方

受験算数のつるかめ算とは？基本を確認

この記事では、受験算数のつるかめ算について、最初に身につけたい基本の考え方と家庭での教え方を順を追って解説します。

つるかめ算は、2種類のものについて、全体の個数と合計量から、それぞれの個数を求める問題です。

中学受験算数では定番の特殊算ですが、決まった式を暗記するだけでは、料金や得点などに題材が変わったときに対応できません。

基本となるのは、全部を一方の種類だと考え、実際との「差」がなぜ生まれたのかを調べることです。

2種類の個数を合計から求める問題

代表的なのは、つるとかめの合計の匹数と、足の合計本数から、それぞれの数を求める問題です。

つるの足は2本、かめの足は4本あります。

たとえば、つるとかめが合わせて10匹いて、足の本数が全部で28本だったとします。

分かっている条件は、次の4つです。

つるとかめの合計が10匹、つるの足が2本、かめの足が4本、足の合計が28本です。

この条件から、つるとかめがそれぞれ何匹いるかを求めます。

つるかめ算では、2種類の「1つあたりの量」が違うことを利用します。この例なら、1匹あたりの足の本数の差が手がかりです。

つるとかめ以外にも使われる

入試で必ずつるとかめが登場するわけではありません。

80円と120円のお菓子、5点と10点の問題、大人料金と子ども料金など、さまざまな題材で出題されます。

たとえば、80円と120円のお菓子を合わせて15個買い、代金が1560円だったとします。

この問題も、全部を80円のお菓子だと考え、実際の代金との差を利用して120円のお菓子の個数を求めます。

つまり、つるかめ算は動物の問題ではありません。

「1つあたりの量が違う2種類があり、全体の個数と合計量が分かっている問題」と捉えることが基本です。

公式より「全部をそろえる」が基本

つるかめ算では、次のような形の式がよく紹介されます。

（実際の合計－小さいほうでそろえた合計）÷1つあたりの差

しかし、この式だけを覚えると、どの数字を引き、何で割るのか分からなくなることがあります。

先に理解したいのは、「全部を同じ種類にすると、実際との差が見える」という考え方です。

全部をつるだと考えた場合、本当はかめであるものも足2本として数えます。そのため、かめ1匹につき2本ずつ足が不足します。

全体で不足した足の本数が分かれば、それがかめ何匹分なのかを割り算で求められます。

公式は、この考え方を短く表したものにすぎません。

つるかめ算の基本的な解き方

つるかめ算は、毎回同じ順番で考えると安定します。

式を急いで作るのではなく、問題に出てくる2種類と二つの差を順番に整理しましょう。

2種類と1つあたりの量を整理する

問題を読んだら、最初に2種類が何かを書き出します。

次に、それぞれの1つあたりの量を確認します。

つるとかめなら、つるが2本、かめが4本です。

80円と120円の商品なら、1個あたり80円と120円です。

5点と10点の問題なら、1問あたり5点と10点です。

家庭で教えるときは、すぐに「全部をつるにしよう」と説明するのではなく、「この二つは1つあたり何が違う？」と聞いてみてください。

違いを子ども自身が見つけることで、なぜつるかめ算を使うのか理解しやすくなります。

全部を小さいほうだと考える

次に、全部を1つあたりの量が小さいほうだと考えます。

つるとかめなら、全部を足が2本のつるとします。

80円と120円の商品なら、全部を80円の商品とします。

小さいほうにそろえると、仮の合計は実際の合計以下になります。そのため、実際の合計から仮の合計を引けばよく、引き算の向きも判断しやすくなります。

慣れれば大きいほうにそろえても解けますが、基本を学ぶ段階では方法を統一したほうが混乱しません。

式の前に「全部をつると考える」と一言書く習慣をつけましょう。

実際との差を求める

全部を小さいほうにそろえたら、そのときの仮の合計を求めます。

次に、実際の合計との差を計算します。

たとえば、全部をつると考えた足の本数が20本、実際の足の本数が28本なら、

28－20＝8本

です。

この8本は、単なる計算結果ではありません。

本当はかめであるものをつるとして数えたために、不足した足の合計です。

「この差が何を表すのか」を説明できることが、つるかめ算の基本理解につながります。

1つあたりの差で割る

つるの足は2本、かめの足は4本なので、1匹あたりの差は、

4－2＝2本

です。

かめ1匹をつるとして数えると、足が2本不足します。

全体では8本不足しているため、

8÷2＝4匹

となります。

これは、「2本ずつの不足が何匹分集まると8本になるか」を求める計算です。

全部を小さいほうにそろえた場合、この割り算で求まるのは1つあたりの量が大きいほうの個数です。

例題で理解するつるかめ算の基本

ここでは、基本例題を使って、解き方の流れを確認します。

【例題】

つるとかめが合わせて14匹います。足の本数は全部で40本です。つるとかめは、それぞれ何匹いますか。

全部をつると考えて仮の合計を出す

つるは足が2本、かめは足が4本です。

全部を足の少ないつるだと考えます。

2×14＝28本

14匹がすべてつるなら、足の本数は28本です。

ただし、28本は本当の足の合計ではありません。

実際と比較するために作った仮の合計です。

子どもが「なぜ勝手に全部つるにするの？」と疑問を持ったら、「2種類のままでは数えにくいから、いったん全部同じにして違いを見つける」と説明しましょう。

足りない足の本数からかめを求める

実際の足は40本です。

全部をつると考えた場合は28本なので、足りない本数は、

40－28＝12本

です。

かめは、つるより足が2本多くあります。

4－2＝2本

かめが1匹混ざるごとに、全部をつると考えた場合より足が2本増えます。

全体では12本増えているため、

12÷2＝6匹

となります。

したがって、かめは6匹です。

このとき、「12は全体で足りない本数」「2はかめ1匹につき足りない本数」と言葉で区別させましょう。

残りのつると答えを確かめる

全体は14匹で、かめは6匹です。

つるは、

14－6＝8羽

となります。

答えは、つるが8羽、かめが6匹です。

最後に、問題文の二つの条件へ戻って確かめます。

個数の合計は、

8＋6＝14匹

です。

足の合計は、

2×8＋4×6
＝16＋24
＝40本

です。

どちらも問題文と一致しました。

つるかめ算では、割り算で求めた答えがつるなのか、かめなのかを取り違えることがあります。確かめを行えば、そのミスにも気づけます。

面積図で割り算の意味を確認する

式だけでは理解しにくい子には、面積図が役立ちます。

横の長さを14匹、縦の長さをつるの足2本と考えます。

全部をつると考えた長方形の大きさは、

14×2＝28

です。

実際の足は40本なので、長方形の上に12本分の不足があります。

かめはつるより足が2本多いため、不足部分の高さは2です。

不足部分の面積が12、高さが2なので、横の長さは、

12÷2＝6

です。

この横の長さが、かめの数を表します。

面積図の目的は、きれいな長方形を書くことではありません。なぜ12を2で割ると6匹になるのかを、目で確認することです。

つるかめ算の基本を定着させる家庭学習

つるかめ算は、一度解説を聞いただけでは定着しにくい単元です。

家庭では問題数を増やすより、考え方を同じ順番で再現する練習を行いましょう。

式の前に3つの情報を書き出す

問題を読んだら、式の前に次の三つを書きます。

「2種類は何か」

「それぞれの1つあたりの量はいくつか」

「全部をどちらにそろえるか」

たとえば料金問題なら、

80円の商品と120円の商品、全部を80円と考える

と書きます。

この三つが整理できれば、仮の合計と実際との差を求めやすくなります。

反対に、ここが書けない状態で公式を使わせても、数字の意味を見失います。

数字には単位をつける

つるかめ算では、数字の意味を明確にするために単位をつけます。

先ほどの例なら、

全体の差12本÷1匹あたりの差2本＝6匹

です。

数字だけの「12÷2＝6」では、なぜ答えが匹になるのか見えません。

料金問題なら、

合計の差400円÷1個あたりの差40円＝10個

となります。

単位を書きながら式を読むと、全体の差を1個分の差で分けていることが分かります。

動物から料金・得点問題へ進む

最初は、つるとかめのように違いが目に見えやすい問題を扱います。

基本の考え方が説明できるようになったら、料金問題へ進みます。

その後、大人と子どもの入場料、5点と10点の得点問題などへ広げましょう。

題材が変わったときは、「つるの2本に当たる数字はどれ？」「かめの4本に当たる数字はどれ？」と対応させると理解しやすくなります。

正解すると加点、不正解だと減点される問題は難度が上がるため、通常の得点問題が安定してから取り組みます。

1日10分で説明する練習をする

家庭学習は、1日10分程度、基本問題を2～3問で十分です。

大切なのは、答えを出す速さではありません。

次の三点を子ども自身が説明できるか確認します。

「全部を何にそろえたか」

「実際との差は何を表すか」

「なぜ1つあたりの差で割ったか」

3問続けて正解しても、説明できなければ理解はまだ不安定です。

反対に、途中で計算ミスをしても、考え方を正しく説明できるなら、計算だけを直せばよいと判断できます。

保護者は長く解説するより、「2種類は何？」「何にそろえる？」「この差は何？」と短く問いかけましょう。

まとめ｜つるかめ算の基本はそろえて差を見ること

受験算数のつるかめ算は、2種類のものの全体数と合計量から、それぞれの個数を求める問題です。

基本となるのは、全部をどちらか一方の種類にそろえ、実際との違いを調べることです。

最初は、全部を1つあたりの量が小さいほうだと考えると分かりやすくなります。

仮の合計と実際の合計との差を求め、その差を1つあたりの差で割れば、量が大きいほうの個数が分かります。

つるとかめなら、全部をつると考えたときに不足する足の本数を求めます。その不足は、かめ1匹につき2本ずつ生まれるため、2で割るとかめの数が求められます。

家庭では公式を先に覚えさせず、「2種類は何？」「全部を何にそろえる？」「この差は何の差？」と問いかけましょう。

つるかめ算の基本を理解できれば、料金、得点、人数など問題の見た目が変わっても、同じ考え方で解けるようになります。