受験算数の和差算｜応用問題の解き方と対策

和差算の応用問題が難しく感じる理由

この記事では、受験算数の和差算の応用問題でつまずく理由を整理し、隠れた和と差の見つけ方、入試で出やすい問題の解き方、家庭での練習法を順番に解説します。

和差算の基本は、二つの数量の合計と違いから、それぞれの大きさを求めることです。

基本問題では、和と差が問題文にそのまま示されています。

しかし、応用問題では、移動、年齢、図形などの条件を整理し、自分で和や差を作らなければなりません。

公式を覚えているのに解けない場合は、計算ではなく条件整理で止まっている可能性があります。

和と差がそのまま書かれていない

基本問題では、次のように条件が明確です。

「二つの数の和は80、差は16です」

一方、応用問題では、「合わせて」「違い」という表現が出ないことがあります。

例えば、長方形の周が60cmで、縦が横より8cm長いという問題では、縦と横の和は直接示されていません。

周の長さは、縦と横がそれぞれ二本ずつある長さです。

そのため、

60÷2＝30cm

として、縦と横の和を作る必要があります。

応用問題では、公式へ数字を入れる前に、必要な和と差がそろっているかを確認することが大切です。

数量が移動して差が変化する

「兄から弟へ何枚か渡すと同じになる」という問題では、移動後の条件から元の差を求めます。

兄から弟へ5枚渡すと、兄は5枚減り、弟は5枚増えます。

二人の差は、

5＋5＝10枚

縮まります。

したがって、最初の差は10枚です。

渡した数をそのまま差だと考えると、答えを間違えます。

応用問題では、一方の変化だけでなく、二つの数量がそれぞれどう変わったかを見る必要があります。

三つ以上の数量を整理する必要がある

和差算の基本は二つの数量ですが、入試では三人の所持数や三つの数を求める問題も出ます。

三つの数量を一度に考えようとすると、線分図や式が複雑になりがちです。

この場合は、最も小さい数量を基準にして、ほかの数量にある余分な部分を取り除きます。

二つを同じにする基本の考え方を、三つへ広げるイメージです。

別の単元に隠れて出題される

和差算は、年齢、図形、割合、速さなどと組み合わされることがあります。

見た目が年齢算や図形問題でも、必要な和と差を作った後は、和差算で解ける場合があります。

応用問題を解くときは、単元名だけで判断せず、

「二つの数量の合計と違いを作れないか」

と考えてみましょう。

この視点を持つと、複雑な問題を知っている基本形へ戻しやすくなります。

和差算の応用を解くための基本手順

応用問題では、いきなり公式を使わないことが重要です。

次の四つの手順を守ると、条件が複雑な問題でも整理しやすくなります。

何と何を比べる問題か決める

最初に、求める二つの数量を明確にします。

年齢問題なら父と子、図形問題なら縦と横、所持数の問題なら兄と弟です。

三人が登場する場合も、最も小さい人を基準にして、ほかの二人との違いを整理します。

問題文に数字が多くても、「何と何を比べているのか」が決まれば、使う条件を選びやすくなります。

必要な和と差を先に作る

次に、和と差がそろっているかを確認します。

和が直接書かれていない場合は、ほかの条件から求めます。

長方形の周なら、周を2で割ると縦と横の和になります。

移動問題なら、渡した数を両方の変化として考え、元の差を作ります。

大切なのは、和差算の公式を使う前に、

和はいくつか
差はいくつか

を言葉で答えられる状態にすることです。

線分図で余分な部分をそろえる

和と差が分かったら、線分図で大小関係を表します。

小さい数量を短い線、大きい数量を長い線にし、長い方の余分な部分へ差を書きます。

小さい数を求めるときは、合計から余分な差を取り除きます。

小さい数＝（和－差）÷2

大きい数を求めるときは、合計へ差を加えます。

大きい数＝（和＋差）÷2

応用問題でも、最後は「同じ大きさの数量が二つある状態」に戻すことが基本です。

元の条件に戻して確かめる

答えが出たら、和と差だけでなく、問題文にある変化や図形の条件まで確認します。

移動問題なら、実際に渡した後に同じになるかを確かめます。

図形問題なら、求めた縦と横から周の長さを計算します。

応用問題では途中で作った和や差を間違えることがあるため、元の文章へ戻って確認することが重要です。

入試で出やすい和差算の応用問題

ここからは、中学入試で扱われやすい形を参考にした例題を使い、応用問題の考え方を確認します。

問題ごとの式を暗記するのではなく、和と差をどのように作るかに注目してください。

一方から他方へ渡す問題

【問題】

兄と弟は合わせて74枚のカードを持っています。兄から弟へ9枚渡すと、二人の枚数が同じになります。最初はそれぞれ何枚持っていましたか。

兄から弟へ9枚渡すと、兄は9枚減り、弟は9枚増えます。

最初の差は、

9＋9＝18枚

です。

兄は大きい方なので、

（74＋18）÷2
＝92÷2
＝46枚

です。

弟は、

74－46＝28枚

です。

確かめると、兄から弟へ9枚渡した後は、

兄：46－9＝37枚
弟：28＋9＝37枚

となり、同じ枚数になります。

三つの数量を求める問題

【問題】

A、B、Cの三人が持っている本は合計120冊です。AはBより12冊多く、BはCより6冊多く持っています。それぞれ何冊ですか。

最も少ないCを基準にします。

BはCより6冊多く、AはCより、

6＋12＝18冊

多く持っています。

余分な部分の合計は、

18＋6＝24冊

です。

合計から余分な24冊を取り除くと、

120－24＝96冊

となります。

これは、Cと同じ冊数が三人分ある状態です。

96÷3＝32冊

Cは32冊です。

Bは、

32＋6＝38冊

Aは、

38＋12＝50冊

です。

答えは、Aが50冊、Bが38冊、Cが32冊です。

三つの数量では、最も小さい数にそろえてから人数分で割ります。

年齢と組み合わされた問題

【問題】

現在、父と子の年齢の合計は54歳です。6年後、父は子より30歳年上です。現在の父と子の年齢を求めなさい。

年齢差は、二人が同じだけ年を取っても変わりません。

したがって、6年後の差30歳は、現在の差も30歳です。

現在の和は54歳、差は30歳なので、父の年齢は、

（54＋30）÷2
＝84÷2
＝42歳

です。

子は、

54－42＝12歳

です。

6年後は父48歳、子18歳で、差は30歳です。

年齢問題では、時間が経っても差が変わらないことを利用すると、和差算の基本形へ戻せます。

長方形の周と辺を求める問題

【問題】

長方形の周の長さは68cmです。縦は横より10cm長くなっています。縦と横の長さを求めなさい。

周の長さは、

縦×2＋横×2

です。

そのため、縦と横の和は、

68÷2＝34cm

となります。

和は34cm、差は10cmです。

縦は大きい方なので、

（34＋10）÷2
＝44÷2
＝22cm

です。

横は、

34－22＝12cm

です。

確かめると、

22×2＋12×2
＝44＋24
＝68cm

となります。

図形問題では、周の長さをそのまま和として使わないことがポイントです。

和差算の応用力を家庭で伸ばす方法

応用力は、難しい問題を大量に解くだけでは身につきません。

基本の考え方を説明できる状態にし、条件の見せ方を少しずつ変えることが大切です。

基本問題を説明できてから応用へ進む

応用問題へ進む目安は、基本問題10問中8問以上を自力で正解できることです。

さらに、次の点を確認します。

• 和と差を問題文から見つけられる
• 大きい方と小さい方を判断できる
• なぜ差を足す、または引くのか説明できる
• なぜ2で割るのか説明できる
• 和と差で答えを確かめられる

正解していても説明できない場合は、公式を当てはめただけの可能性があります。

同じ構造で題材だけを変える

一つの応用問題を解いた後は、同じ構造で題材だけを変えます。

例えば、「兄から弟へ渡す問題」を解いたら、次は「姉から妹へシールを渡す問題」や「一方の箱から他方へ玉を移す問題」にします。

長方形の問題を解いた後は、縦と横の数字を変えて再度取り組みます。

題材が変わっても和と差を作れれば、解法を暗記するのではなく、構造を理解できています。

間違えた場所を四段階で記録する

応用問題で間違えたら、原因を次の四段階に分けます。

• 発見：和差算を使えると気づかなかった
• 変換：周や移動から和・差を作れなかった
• 解法：足す・引く・割る判断を間違えた
• 計算：考え方は正しいが計算を間違えた

「変換」で止まることが多いなら、基本公式ではなく、和と差を作る問題を集中的に練習します。

間違いを一括して「応用が苦手」と考えず、止まった場所を特定しましょう。

親は答えではなく条件整理を助ける

子どもの手が止まったときは、すぐに式を教えないようにします。

代わりに、次のように質問します。

「何と何を比べている？」
「今、和は分かっている？」
「差はそのまま使える？」
「二人はそれぞれいくつ変わった？」
「最も小さい数にそろえられない？」

質問は一度に一つにします。

自分で条件を整理できた部分は認め、「和は作れたね。次は差を考えよう」と進めると、苦手意識を強めずに学習できます。

まとめ｜和差算の応用は隠れた和と差を作る

受験算数の和差算の応用問題では、和と差がそのまま示されていないことが多くあります。

移動問題では、渡した側が減り、受け取った側が増えることから元の差を作ります。

三つの数量では、最も小さい数へそろえ、余分な部分を取り除きます。

年齢問題では変わらない年齢差を使い、図形問題では周の長さから縦と横の和を求めます。

どの問題でも、最終的には、

大きい数＝（和＋差）÷2
小さい数＝（和－差）÷2

という基本へ戻せます。

家庭学習では、難しい問題を解かせる前に、何と何を比べるのか、和と差をどう作ったのかを説明させましょう。

和差算の応用力とは、特別な公式をたくさん覚えることではありません。複雑な条件を整理し、隠れている和と差を見つけ、知っている基本形へ戻す力です。