中学受験算数の相似｜見つけ方と解き方のコツ

中学受験算数の相似が難しく感じる3つの理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の相似でつまずく理由から、相似の見つけ方、辺の比・面積比の考え方、家庭でできる練習法まで順番に解説します。

相似は、中学受験算数の図形問題で非常に重要な考え方です。

一見すると「同じ形を探すだけ」に思えますが、実際の入試問題では図形が重なっていたり、向きが反対だったり、補助線を引かないと相似が見えなかったりします。

そのため、相似が苦手な子に「同じ形を探して」と言うだけでは、なかなか解けるようになりません。

大切なのは、角・対応する辺・比の3つを順番に整理することです。

この基本が身につくと、長さを求める問題だけでなく、面積比、平行線、台形、複合図形などにも応用できるようになります。

どの三角形が相似なのか見つけにくい

相似が苦手な子の多くは、計算より前の段階で止まっています。

つまり、どの図形とどの図形を比べればよいか分からないのです。

基本問題では、大小2つの三角形が別々に描かれていることがあります。

しかし、中学受験では、

• 大きな三角形の中に小さな三角形がある
• 三角形同士が重なっている
• 砂時計のように向かい合っている
• 台形の中に三角形ができている

といった形で出題されます。

図形全体をぼんやり眺めるのではなく、「三角形を1つずつ切り取って見る」意識が必要です。

対応する辺を取り違えやすい

相似な三角形を見つけても、次に多いのが対応する辺の間違いです。

たとえば、小さい三角形の辺が3cm、4cm、5cmで、大きい三角形が6cm、8cm、10cmなら、

3：6＝4：8＝5：10

です。

ところが、図の向きが変わると、

3：8

のように、対応していない辺同士を比べてしまうことがあります。

このミスを減らすには、長さより先に対応する角を確認することが重要です。

同じ角の向かい側にある辺同士を対応させれば、比の取り違えが減ります。

辺の比と面積比を混同しやすい

相似では、

相似比
面積比

の違いも重要です。

相似比が2：3なら、対応する辺の長さは2：3です。

一方、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

となります。

ここを混同すると、

「辺が2倍だから面積も2倍」

というミスが起こります。

正方形をイメージすると分かりやすいでしょう。

1辺が2cmの正方形の面積は4㎠、1辺が4cmなら16㎠です。辺は2倍でも、面積は4倍になります。

相似でも同じように、面積は「長さの比を2回かける」と考えます。

中学受験算数で相似を見つける基本のコツ

まず同じ角に印をつける

相似問題で最初にやるべきことは、長さを計算することではありません。

まず、同じ大きさの角を探して印をつけます。

たとえば、2本の直線が交わってできる向かい合った角は等しくなります。

また、平行線があれば同じ大きさの角が現れます。

家庭で教えるときは、

「同じ形はどこ？」

と聞くより、

「同じ角はどこにある？」

と聞くほうが、相似を見つけやすくなります。

同じ角が2組見つかれば、三角形の形が同じであると判断できるケースが多いからです。

平行線があれば相似を疑う

中学受験の相似問題では、平行線が重要な目印になります。

たとえば、大きな三角形の途中に底辺と平行な線が引かれている場合、上側にできる小さな三角形と元の大きな三角形は相似になります。

これは頻出パターンです。

問題文に、

「ABとDEは平行です」

などと書かれていたら、単なる条件として読み流さず、

「平行線があるなら、相似な三角形ができないか」

と考える癖をつけましょう。

相似を苦手とする子ほど、与えられた条件を計算に直接使おうとしがちです。

平行という条件は、長さを直接出すためというより、同じ角を作るためのヒントであることが多いのです。

向きが違う図形は同じ向きに見直す

相似な三角形が上下逆や左右反対になっていると、急に見つけられなくなる子もいます。

そんなときは、頭の中で無理に回転させる必要はありません。

問題用紙の余白に、

「三角形ABC」
「三角形DEF」

を別々に同じ向きで描き直してみましょう。

そして、

AとD
BとE
CとF

のように、対応する頂点をそろえます。

図形問題が得意な子は頭の中で行うこともありますが、苦手な段階では書き直すほうが確実です。

中学受験算数では、図に手を加えること自体が立派な解法です。

相似問題の解き方｜辺の比と面積比を整理する

対応する辺をそろえて比を書く

相似な三角形が見つかったら、次は対応する辺を整理します。

たとえば、

小さい三角形の辺＝4cm
それに対応する大きい三角形の辺＝6cm

なら、相似比は、

4：6＝2：3

です。

別の対応する辺が小さい三角形で8cm、大きい三角形で□cmなら、

2：3＝8：□

と考えます。

ここで大切なのは、

小さい：大きい
小さい：大きい

のように、比の順番を統一することです。

途中で大きい：小さいに変えると、ミスが起きやすくなります。

相似比から長さを求める

先ほどの、

2：3＝8：□

なら、小さい三角形の2にあたる長さが8cmなので、

8÷2＝4

つまり「比の1」にあたる長さは4cmです。

したがって、

4×3＝12cm

と求められます。

比例式を使って、

8×3÷2＝12

としても構いません。

ただ、小学生に教える場合は、

「2つ分で8cmなら、1つ分はいくつ？」

と聞くと理解しやすくなります。

比を単なる公式ではなく、「何個分か」という感覚で捉えられると、相似以外の比の問題にも応用できます。

面積比は相似比を2乗する

相似比が3：5の場合、面積比は、

3×3：5×5＝9：25

です。

たとえば、小さい三角形の面積が18㎠なら、

9にあたる面積が18㎠

なので、

18÷9＝2

よって大きな三角形の面積は、

25×2＝50㎠

と求められます。

相似比と面積比を混乱する子には、

「長さは1方向、面積は縦と横の2方向」

と説明すると分かりやすくなります。

相似比を縦にも横にも使うため、面積では比を2回かけるのです。

相似の応用問題を解けるようにする家庭学習法

図に角度・長さ・比を書き込む

相似の問題では、問題文と図を何度も行き来すると情報を見落としやすくなります。

そのため、

• 等しい角には同じ印
• 分かっている長さは図に記入
• 平行線には矢印
• 求めたい長さには「？」

といった形で、情報をできるだけ図に集めましょう。

特に算数が苦手な子ほど、頭の中だけで整理しようとしないことが大切です。

図に書き込むだけで、相似な三角形が突然見えることがあります。

補助線は「相似な形を作れないか」で考える

難しい図形問題になると、自分で補助線を引かなければ相似が現れないことがあります。

ここで闇雲に線を引いてはいけません。

基本的には、

「平行な線を作れないか」
「大きな三角形の中に小さな三角形を作れないか」

と考えます。

補助線の目的は線を増やすことではなく、知っている形に変えることです。

最初から補助線問題だけを大量に解く必要はありません。

基本的な相似図形を十分見慣れてから、「この形を作るためにはどこに線を引けばよいか」と逆算する練習をすると効果的です。

同じ問題を図の向きを変えて解き直す

相似は、解法を覚えるだけでは定着しにくい単元です。

たとえば一度解けた三角形を、上下逆に描いたり左右を入れ替えたりして、もう一度対応する辺を確認してみましょう。

数字が同じでも、図の向きが変わるだけで別問題のように感じる子は少なくありません。

そこで、

「向きが変わっても同じ角を探す」
「対応する頂点を順番に読む」

という練習をします。

家庭学習では、1日に何十問も解くより、1問を使って、

なぜ相似なのか
どの辺が対応するのか
相似比はいくつか
面積比はいくつか

まで説明させるほうが、理解の定着につながります。

まとめ｜相似は「形を探す」より対応関係を整理する

中学受験算数の相似を得意にするために、最も大切なのは「似た形を感覚だけで探すこと」ではありません。

まず、

同じ角を探す
平行線に注目する
対応する頂点をそろえる
対応する辺を同じ順番で比べる

という手順を身につけることが重要です。

さらに、

相似比＝辺の長さの比
面積比＝相似比を2乗した比

という違いも整理しておきましょう。

相似は、慣れるまでは図形が複雑に見えます。しかし、角に印をつけ、三角形を切り分け、対応関係を書き込む習慣がつくと、見るべき場所が少しずつ分かるようになります。

家庭では「どうしてこの2つが相似なの？」と理由を説明させてみてください。

答えだけでなく、**「同じ角が2組あるから」「平行線があるから」**と説明できるようになれば、相似の理解はかなり深まっています。

難問を急いで解かせるより、基本図形で「見つける→対応させる→比を使う」という流れを繰り返すことが、中学受験の相似を安定した得点源にする近道です。