中学受験算数の立体図形を攻略｜苦手克服のコツ

中学受験算数の立体図形が難しい理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の立体図形でなぜつまずくのか、どの単元を優先して学び、家庭でどう復習すればよいのかを順を追って解説します。

中学受験算数の中でも、立体図形は苦手意識が出やすい分野です。

体積や表面積ならまだ計算できても、展開図、立体の切断、水量変化になると急に分からなくなる子も少なくありません。

その理由は、立体図形では紙に描かれていない部分まで想像しながら考える必要があるからです。

ただし、「空間認識が苦手だから仕方ない」と決めつける必要はありません。

立体図形も、

基本の形を理解する
↓
図に情報を書き込む
↓
平面図形として考える

という手順を身につければ、少しずつ解ける問題を増やせます。

立体図形を克服するには、まず「なぜ難しく感じるのか」を知ることが大切です。

見えない辺や面を頭の中で補う必要がある

平面図形なら、必要な情報の多くが紙の上に見えています。

ところが立方体や直方体では、奥側の辺や底面が見えません。

たとえば立方体の図を見て、

「この頂点と向かい側の頂点を結ぶとどこを通るか」

と聞かれると、頭の中で立体を回転させなければならないことがあります。

ここで止まる子に、

「よく考えて」

と言っても改善しにくいものです。

大切なのは、見えない辺を点線で書き足したり、立体を別の方向から見た図を書いたりして、頭の中の処理を紙の上に出すことです。

平面図形の知識も同時に使う

立体図形は、立体だけの知識で解くわけではありません。

切断面を考えるときには、

三角形
四角形
相似
面積
平行線

など、平面図形の知識も使います。

たとえば立方体を斜めに切ったとき、切り口として現れる図形の面積を求める問題があります。

この場合、

立体のどこを切ったか
↓
切り口がどんな平面図形になるか
↓
その平面図形の面積を求める

という流れです。

立体図形が苦手に見えても、実は相似や三角形の面積でつまずいている場合があります。

公式だけでは解けない問題が多い

体積なら、

底面積×高さ

という公式があります。

しかし、中学受験では底面がどこなのか自分で判断する必要がある問題も多く出ます。

さらに複雑な立体では、

大きな立体から小さな立体を引く
いくつかの部分に分ける
同じ形を組み合わせる

といった工夫が必要です。

つまり、公式を覚えるだけでは不十分です。

「この立体をどのように見れば計算しやすいか」を考えることが重要になります。

中学受験算数の立体図形で押さえたい重要単元

立体図形にはさまざまな問題がありますが、まずは代表的な4分野を押さえましょう。

体積と表面積は基本計算を確実にする

立体図形の最初の土台になるのが体積と表面積です。

直方体なら、

体積＝たて×横×高さ

でも求められます。

より一般的には、

体積＝底面積×高さ

と考えます。

たとえば底面積が24㎠、高さが7cmなら、

24×7＝168㎤

です。

ここで重要なのは、数字を掛けることではありません。

「どの面を底面にしているのか」

を毎回確認することです。

表面積では、外側に見えるすべての面を数えます。

積み木を組み合わせた問題では、接している面は外から見えないため表面積に含めません。

この「見えている面・隠れている面」の区別が基本になります。

展開図は「どの面が向かい合うか」を見る

展開図が苦手な子は、紙の上の形をそのまま眺めていることが多いものです。

立方体の展開図なら、

どの面が底になるか
どの面が上に来るか
どの2面が向かい合うか

を考えます。

家庭では実際に紙で展開図を作り、切って組み立ててみるのがおすすめです。

一度立体にしてから再び開くと、

「この2つは隣ではなく向かい側なんだ」

と理解しやすくなります。

展開図は、頭の中だけで何十問も解くより、最初に実物で確認するほうが早く定着する子もいます。

水量変化は底面積と高さの関係で考える

水そうに水を入れる問題も、中学受験では頻出です。

基本は、

水の体積＝底面積×水の高さ

です。

たとえば底面積が50㎠の容器に500㎤の水を入れたなら、

500÷50＝10cm

なので、水の高さは10cmです。

少し難しくなると、

容器の中に直方体を沈める
途中から容器の横幅が変わる
水を別の容器へ移す

といった条件が加わります。

このときも、「高さが何cm上がったか」だけを見るのではなく、

増えた体積＝底面積×高さの変化

と整理すると考えやすくなります。

立体切断は切り口の頂点を順番につなぐ

立体図形の中でも特に苦手が出やすいのが切断です。

立方体を3点を通る平面で切る問題などでは、

「切り口が何角形になるのか分からない」

という子が多くいます。

最初に覚えたいのは、切り口は1枚の平面になるということです。

ある面で2点が決まれば、その2点を直線で結びます。

その線が次の辺と交わった場所から、隣の面へ進みます。

つまり、

点を見つける
↓
同じ面の点を結ぶ
↓
次の面へ移る

という順番です。

いきなり完成した切り口を想像しようとすると難しく感じますが、面ごとに追うと整理しやすくなります。

立体図形が苦手な子に多いつまずき

立体図形が苦手だからといって、問題数を増やせば解決するとは限りません。

まずはつまずき方を確認しましょう。

立体を頭の中だけで考えている

「立体だから頭の中で想像しなければ」

と思っている子ほど手が止まることがあります。

得意な子でも、必要なら補助線や点線を書きます。

たとえば直方体なら、

奥の辺を点線で補う
頂点にA・B・Cと名前をつける
必要な面だけ抜き出して描く

という方法があります。

頭の中で回転させる力だけに頼らず、紙に情報を出すことが重要です。

平面図形の基礎が不安定

立体の切断問題で間違えているからといって、切断だけを復習するのは早い場合があります。

切り口が三角形になった後、

高さが分からない
相似が見つけられない
面積が計算できない

ということもあります。

この場合は、

三角形の面積
相似
比
平行線

などに戻ります。

立体図形が苦手なときほど、途中で平面図形に変わっていないか確認してください。

解き方をパターン暗記している

「この形ならこの公式」と覚えている子は、図が少し変わると対応できません。

たとえば水量問題で、

「水が増えたらこの式」

と覚えるのではなく、

「増えた水の体積はどこの部分？」

と確認します。

立体切断でも、

「この3点なら六角形」

と答えだけ覚えるより、

「どの面で線がつながる？」

と考えさせるほうが応用につながります。

中学受験の図形は、暗記する解法を増やすより、図から関係を読み取ることが大切です。

家庭で立体図形を得意にする勉強法

立体図形は、家庭でも比較的工夫しやすい分野です。

特に苦手な子ほど「目で見る・手で触る」学習を取り入れてみてください。

実物を使って立体を触って確認する

立方体なら、積み木や箱でも構いません。

実物を持ちながら、

「上の面はどれ？」
「この面の向かい側は？」
「ここを斜めに切ったらどうなる？」

と確認します。

展開図なら紙で作ります。

立方体を切断するイメージがつかみにくければ、透明なケースや粘土を利用して位置関係を見る方法もあります。

小学生にとって、実際に触った経験は図だけの説明より理解につながることがあります。

図に見えない辺を書き足す

問題用紙の図をそのまま使う必要はありません。

見えない辺を点線で足し、頂点に記号を書きます。

たとえば、

AからCまでの長さを求める

なら、まずAとCがどこにあるかはっきりさせます。

書き込みが増えて見づらくなったら、必要な面だけ別に平面図として書き出しても構いません。

「きれいに解くこと」より「自分が分かる図にすること」を優先してください。

「底面はどこ？」と毎回確認する

体積、水量、柱体などの問題では、「底面」が重要です。

親が、

「公式は？」

と聞くより、

「今回の底面はどこだと思う？」

と聞いてみてください。

底面を指せたら、

「その面積はいくつ？」

と続けます。

体積＝底面積×高さ

という公式を言える子でも、底面を判断できないことがあります。

公式を唱える練習より、「図の中で底面を見つける」練習のほうが実戦的です。

基本問題を翌日・1週間後に解き直す

立体図形は、解説を見た直後には理解できたように感じやすい分野です。

しかし翌日になると、

「どこに線を引くんだっけ？」

となることがあります。

そこで、

当日：解説を理解する
翌日：同じ問題を自力で解く
1週間後：もう一度確認する

という流れを作ります。

特に切断問題は、解説の完成図を見て納得するだけでは定着しません。

白紙の状態から、自分で点や線を書けるかを確認してください。

家庭では難問を10問進めるより、基本問題3問を何も見ずに解けるようにするほうが、苦手克服につながることがあります。

まとめ｜中学受験算数の立体図形は「見える化」で克服できる

中学受験算数の立体図形では、

体積
表面積
展開図
水量変化
立体切断

など、さまざまな問題が出題されます。

苦手な子に共通しやすいのは、「立体を全部頭の中で考えようとしていること」です。

立体図形を解くときは、

見えない辺を書き足す
頂点に名前をつける
必要な面だけ平面図として抜き出す
実物を組み立てて確認する

など、積極的に「見える化」してください。

また、立体図形は独立した単元ではありません。

比、相似、面積など平面図形の知識も使います。

立体問題で止まったときは、

「本当に立体が分からないのか」
「その後の平面図形で止まっているのか」

まで確認することが大切です。

家庭では、難しい切断問題を大量に解かせるところから始めなくて構いません。

まずは、

直方体の体積を求める
展開図を実際に組み立てる
水量を底面積×高さで考える
簡単な切断面を線で追う

といった基本を確実にします。

中学受験算数の立体図形は、ひらめきだけで解く分野ではありません。

見えないものを図に出し、複雑な立体を小さな平面図形へ分けて考える。

この習慣が身につけば、最初は苦手だった子でも解ける問題を着実に増やしていけます。