中学受験算数の立体切断｜切り口の描き方とコツ

中学受験算数の立体切断はなぜ難しい？

この記事では、そんな悩みを持つ保護者に向けて、中学受験算数の立体切断について、切り口を描く基本ルールから頻出問題、体積への応用、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

立体切断は、中学受験算数の立体図形の中でも苦手になりやすいテーマです。

紙の上では立体の一部しか見えないため、「見えないところを想像できないと解けない」と感じる子も少なくありません。

しかし、実際の入試問題では、空間を感覚だけで想像する必要はありません。

基本となるのは、

同じ面の2点を結ぶ
平行な面では切り口も平行になる

という明確なルールです。

まずは立方体の簡単な切断から始め、1本ずつ線をつなぐ考え方を身につけましょう。

見えない面まで考える必要がある

立体切断が難しく感じる最大の理由は、紙に描かれていない部分まで考える必要があることです。

たとえば立方体の3本の辺上に点A・B・Cがあり、

「A、B、Cを通る平面で切断したときの切り口を描きなさい」

と問われたとします。

正面にある点同士なら結べても、その線が側面や裏側へ進むと、

「次はどこと結べばいいの？」

と止まりやすくなります。

特に立体図形が苦手な子は、図全体を頭の中で回転させようとして混乱します。

ここで大切なのは、見えない立体全体を無理にイメージしないことです。

切り口全体を一度に想像しなくてよい

立体切断では、

「最終的にどんな形になるか」

を最初から当てる必要はありません。

まず1つの面だけを見ます。

その面の中に切断面が通る2点があれば、その2点を結びます。

次に、線が到達した辺を含む隣の面へ移ります。

そこでまた切断面が通る点を探し、線をつなぎます。

つまり、

1面ずつ確認していけばよい

のです。

家庭で子どもが手を止めていたら、

「切り口は何角形？」

と聞くのではなく、

「まず同じ面にある2点はどれ？」

と聞いてみてください。

最初の1本が引けると、その後の流れが見えやすくなります。

まず立方体の基本ルールを固める

立体切断を学ぶときは、いきなり複雑な三角柱や直方体へ進む必要はありません。

最初に立方体を使うと、ルールを理解しやすくなります。

立方体には6つの面があり、

上面と底面
前面と後面
左面と右面

がそれぞれ平行です。

この「向かい合う面が平行」という性質が、切断線を探す大きな手掛かりになります。

まずは、

・3点を通る切断
・辺の中点を通る切断
・切り口が三角形や四角形になる切断

などの基本を繰り返しましょう。

立体切断の切り口を描く3つの基本ルール

同じ面上にある2点は直線で結ぶ

立体切断で最初に覚えたいのが、

同じ面上にある切断点は直線で結べる

というルールです。

たとえば立方体の正面にある2本の辺上に点AとBがあるなら、AとBを直線で結びます。

なぜなら、切断面は平らな面なので、立方体の1つの面との交わり方は直線になるからです。

ここでよくあるミスは、

「図の上で近く見えるから」

という理由で別々の面にある点を結んでしまうことです。

点を結ぶ前に、

「この2点は同じ正方形の面にあるかな？」

と確認しましょう。

算数が苦手な子ほど、この一言だけで誤作図を防ぎやすくなります。

平行な面では切り口の線も平行になる

次に重要なのが、平行な面を利用するルールです。

1枚の平面が、互いに平行な2つの面を横切ると、それぞれの面にできる切り口の線は平行になります。

たとえば上面に切り口の線が分かったとします。

切断面が底面にも交わっているなら、底面にできる線は上面の切り口と平行です。

この性質を利用すると、

「次にどの辺と交わるのか」

を見つけやすくなります。

子どもには難しい説明をせず、

「向かい合う面なら、切った線も同じ向きになる」

と伝えると理解しやすいでしょう。

切り口は最後に閉じた図形になる

立体を平面で切ると、その断面は三角形や四角形などの閉じた図形になります。

そのため、切り口を途中まで描いたときに線が途切れていたら、まだ完成していません。

たとえば4つの辺と交わる切断なら、断面は四角形になります。

6本の辺と交われば六角形です。

切り口を描き終えたら、

「ちゃんと一周して最初の点に戻っている？」

と確認しましょう。

このチェックだけでも、線の引き忘れを防げます。

中学受験で頻出の立体切断問題の解き方

3点を通る平面で立方体を切る問題

中学受験で最も基本的なのが、

「3点を通る平面で立方体を切る」

タイプです。

たとえば点AとBが同じ面にあるなら、まずABを結びます。

BとCも同じ面なら、BCも結びます。

ここまでで2本の切断線ができました。

その後は、ABやBCが通っている面と平行な反対側の面に注目します。

既に分かっている切断線と平行になるように新しい線を探し、次の辺との交点を決めていきます。

大切なのは、

与えられた3点を一度に結ぼうとしないこと

です。

同じ面にある点から順に処理しましょう。

切り口が何角形になるか見分ける

切断問題では、

「切り口は何角形になりますか」

と問われることがあります。

このときは、切断面が立体の何本の辺と交わったかを数えます。

3本なら三角形。
4本なら四角形。
5本なら五角形。
6本なら六角形です。

立方体の切断では、六角形になる場合もあります。

ただし、「この位置なら六角形」と形を丸暗記するのはおすすめしません。

切断線を順番に描いた結果として、

「6つの辺と交わったから六角形」

と判断するほうが応用が利きます。

中点を通る切断では対称性に注目する

立体切断では、

「辺ABの中点P」

のように、中点が条件として登場することがあります。

中点が対称な位置に配置されている場合、切り口にも対称性が現れることがあります。

たとえば、立方体の対称な辺の中点を通る切断では、

・同じ長さの辺
・平行な辺
・合同な三角形

などが見つかることがあります。

ここで役立つのが、

「半分だから同じ長さ」

という基本です。

複雑そうに見えても、中点という条件は計算を簡単にするために与えられていることが少なくありません。

問題文で「中点」を見つけたら印を付けておきましょう。

切断後の体積は比を利用して求める

立体切断では、切り口を描くだけでなく、

「切断してできた立体の体積を求めなさい」

と続く問題もあります。

たとえば立方体の頂点付近を切り落とし、小さな三角すいができたとします。

三角すいの体積は、

底面積×高さ÷3

で求められます。

また、相似な立体ができているなら比を使えることがあります。

相似な立体で、

辺の比が1：2

なら、

面積比は1：4
体積比は1：8

です。

たとえば元の立体の体積が64cm³で、相似比が1：2の小さな立体なら、

64÷8＝8cm³

と求められます。

切断と体積を別々の単元と思わず、相似・比・体積がつながっていると考えることが重要です。

立体切断が苦手な子の家庭学習法

粘土や箱を使って実際の断面を見る

紙に描かれた立体だけでは理解できない子には、実物を使う方法がおすすめです。

たとえば粘土を立方体に近い形にして、糸や安全に扱える道具を使って斜めに分けてみます。

切ったあとに断面を見ると、

「斜めに切ると、ここにこんな形が出てくるんだ」

と実感できます。

また、透明なケースや箱を使い、輪ゴムや紙を切断面に見立てる方法もあります。

立体切断が苦手なのは、計算力不足とは限りません。

紙の図と実際の立体がまだ頭の中で結びついていない場合もあります。

1面ずつ線をつなぐ練習をする

家庭学習では、いきなり難しい切断問題を大量に解かせる必要はありません。

まずは切り口を描くだけの問題を練習します。

手順は、

1. 同じ面にある2点を探す
2. 直線で結ぶ
3. 次の面へ移る
4. 平行な面を確認する
5. 最後までつないで閉じる

という流れです。

毎回この順番で解くと、感覚ではなくルールで処理できるようになります。

「立体が見える子だけが解ける問題」ではありません。

切り口作図と体積計算を分けて学ぶ

立体切断が苦手な子に、

「切り口を描いて面積も出し、さらに切断後の体積も求める」

という問題を最初から解かせると、どこでつまずいたのか分からなくなります。

そこで、

1段階目：切り口を描く
2段階目：何角形か答える
3段階目：切り口の辺や面積を求める
4段階目：切断後の体積を求める

と分けます。

たとえば1日3問程度でも構いません。

切り口を安定して描けるようになってから計算問題へ進んだほうが、理解が整理されます。

「なぜその線が引けるか」を説明させる

正しく切り口を描けたら、

「どうしてこの2点を結んだの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「同じ面にあるから」

と答えられれば基本ルールを理解しています。

また、

「どうしてこの2本は平行なの？」

に対して、

「向かい合う面が平行だから」

と説明できれば十分です。

逆に、正解していても、

「前に先生がこう描いていたから」

という状態なら、似た問題で迷う可能性があります。

中学受験算数では、自分で理由を言えることが理解の目安になります。

まとめ｜立体切断はルール通りに1本ずつ線をつなごう

中学受験算数の立体切断は、難関単元に見えますが、基本ルールはそれほど多くありません。

まず押さえたいのは、

同じ面上にある2点は結べる
平行な面では切り口の線も平行になる
切り口は最後に閉じた図形になる

という3点です。

このルールを使えば、最初から立体全体の断面を頭の中で想像する必要はありません。

見えている1つの面から線を引き、隣の面へ移り、1本ずつつないでいけばよいのです。

また、入試では立体切断が単独で終わらず、相似、面積比、体積比と組み合わされることもあります。

そのため、

「切り口を描ける」
↓
「何角形か分かる」
↓
「長さや面積を求められる」
↓
「切断後の体積まで求められる」

という順序で力を伸ばすとよいでしょう。

家庭で教えるときも、すぐに答えを教えるのではなく、

「同じ面にある点はどれ？」
「向かい側の面は平行かな？」
「この切り口は最後に閉じている？」

と問いかけてみてください。

立体切断は、ひらめきだけで解く問題ではありません。

基本ルールを理解し、1面ずつ丁寧に処理する習慣がつけば、算数が苦手な子でも少しずつ安定して解けるようになります。