中学受験算数の図形公式｜覚えるべき基本を整理

中学受験算数の図形公式は「全部暗記」しなくてよい

この記事では、そんな悩みを持つ保護者に向けて、中学受験算数で押さえておきたい図形公式を、面積・角度・円・相似・立体に分けて整理し、家庭での覚え方まで分かりやすく解説します。

中学受験算数の図形では、確かに覚えておきたい公式があります。

しかし、成績が伸びる子は公式を大量に丸暗記しているわけではありません。

大切なのは、

「この問題では何が分かっていて、どの公式を使えばよいか」

を判断できることです。

たとえば三角形の面積公式を覚えていても、どの辺を底辺にするか分からなければ使えません。

反対に、公式の意味まで理解していれば、図が回転していたり複雑な補助線が入っていたりしても対応しやすくなります。

まず覚える公式と考えて導ける公式を分ける

図形には多くの公式がありますが、すべてを同じように覚える必要はありません。

たとえば、

三角形の面積＝底辺×高さ÷2
平行四辺形の面積＝底辺×高さ
台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2

は、基本として覚えておきたい公式です。

一方で、

「同じ高さの三角形なら面積比は底辺比と同じ」

という性質は、三角形の面積公式から考えて導けます。

たとえば高さが同じ三角形AとBで、底辺が3cmと5cmなら、

面積比は3：5

です。

高さが共通しているため、面積公式の「×高さ÷2」の部分が同じだからです。

このように、

暗記すべき基本公式と、基本公式から考えられる性質を分ける

と、覚える負担を減らせます。

図形問題は公式を選ぶ力が重要

中学受験の図形問題では、公式そのものを問われるより、「どの公式を使えばよいか」を判断する問題が多くなります。

たとえば、三角形の面積を求める問題でも、

底辺と高さが直接書かれているとは限りません。

相似を使って高さを求めたり、面積比から逆算したりすることがあります。

そのため家庭では、

「公式は何？」

と聞くだけではなく、

「この公式を使うには何が必要？」

と聞いてみてください。

三角形の面積なら、

「底辺と高さ」

と答えられることが大切です。

公式を単独で覚えるのではなく、使う条件までセットで覚えることが入試対策になります。

公式と図をセットで覚える

図形公式は文字だけで覚えると、忘れやすくなります。

たとえば台形なら、

上底
下底
高さ

を書いた簡単な図の横に、

（上底＋下底）×高さ÷2

と書きます。

おうぎ形なら、中心角を図に書いて、

円全体の何分の何か

を確認します。

おすすめは、公式ノートを作る場合でも、

左側に図、右側に公式

とすることです。

視覚的に「どの長さを使う公式なのか」が分かるため、実際の問題でも思い出しやすくなります。

中学受験で必須の平面図形公式を整理

三角形・四角形の面積公式

まず平面図形で必須なのが面積公式です。

三角形は、

底辺×高さ÷2

です。

平行四辺形は、

底辺×高さ

です。

台形は、

（上底＋下底）×高さ÷2

です。

ひし形は、

対角線×対角線÷2

で求められます。

特に注意したいのは、「高さ」です。

高さとは底辺に対して垂直な長さです。

斜めの辺をそのまま高さとして使う子がいるので、家庭では、

「底辺と直角になっている？」

と確認してください。

図が傾いていても、面積公式自体は変わりません。

円・おうぎ形の面積と弧の長さ

円の面積は、

半径×半径×3.14

です。

円周は、

直径×3.14

または、

半径×2×3.14

です。

おうぎ形では、円全体のうち中心角が何度分あるかを考えます。

たとえば中心角90度なら、

90÷360＝1/4

なので、円全体の4分の1です。

半径6cmのおうぎ形なら、面積は、

6×6×3.14×1/4

となります。

弧の長さも同じ考え方で、

6×2×3.14×1/4

です。

公式を別々に暗記するより、

「円全体を出して、中心角の割合を掛ける」

と理解すると混乱しにくくなります。

角度で押さえたい基本ルール

角度問題では、公式というより基本ルールを確実に覚えることが重要です。

代表的なのは、

・一直線の角度は180度
・1回転は360度
・三角形の内角の和は180度
・対頂角は等しい
・平行線の錯角・同位角は等しい

という性質です。

たとえば三角形の2つの角が50度と60度なら、

180－50－60＝70度

で残りの角を求められます。

難しい角度問題でも、実際にはこうした基本ルールを何度か組み合わせて解くものが多くあります。

「角度の難問専用公式」を増やすより、180度・360度・平行線の性質を確実に使えることを優先してください。

多角形の内角・外角の考え方

n角形の内角の和は、

180×（n－2）度

です。

たとえば五角形なら、

180×（5－2）＝540度

です。

ただし、この公式をそのまま覚えるだけでなく、

「1つの頂点から対角線を引くと、三角形がn－2個できる」

と理解しておくと忘れにくくなります。

また、どんな凸多角形でも外角の和は、

360度

です。

正多角形なら、

1つの外角＝360÷辺の数

なので、正六角形なら、

360÷6＝60度

となります。

正多角形の角度問題では頻繁に使う考え方です。

図形で差がつく比・相似の重要公式

同じ高さの三角形は面積比＝底辺比

中学受験図形で特に重要なのが、

高さが同じ三角形の面積比＝底辺比

という性質です。

たとえば2つの三角形の高さが同じで、底辺が2：5なら、面積比も2：5です。

理由は、

面積＝底辺×高さ÷2

で、高さと÷2の部分が共通だからです。

この性質を知っていると、実際の面積を計算しなくても比だけで処理できます。

入試では計算時間を減らす大きな武器になります。

相似比・面積比・体積比の関係

相似な図形では非常に重要な関係があります。

相似比が、

a：b

なら、

面積比は、

a²：b²

です。

たとえば相似比が2：3なら、

面積比＝4：9

です。

さらに相似な立体なら、

体積比＝a³：b³

になります。

相似比が2：3なら、

体積比＝8：27

です。

家庭では、

長さ→1乗
面積→2乗
体積→3乗

と整理しておくと覚えやすくなります。

中学受験では相似と面積比が組み合わされる問題が非常に多いため、必ず使えるようにしておきたい関係です。

底辺が同じ三角形は面積比＝高さの比

先ほどとは逆に、底辺が同じ三角形では、

面積比＝高さの比

になります。

たとえば同じ底辺を持ち、高さが3cmと7cmの三角形なら、

面積比は3：7です。

これも三角形の面積公式から考えれば分かります。

底辺と÷2が共通なので、高さだけを比べればよいからです。

図形の比では、

「底辺が同じ？」
「高さが同じ？」

を見る習慣をつけてください。

公式より「何が共通か」を見る

図形の比が苦手な子は、

「面積比の公式はどれ？」

と探しがちです。

しかし、実際には「何が同じなのか」を見るほうが重要です。

たとえば2つの三角形を見たら、

・底辺が同じ
・高さが同じ
・相似になっている

のどれかを確認します。

それだけで使える関係が決まります。

図形問題では、公式を探す前に、

「この2つの図形に共通しているものは何？」

と問いかけると、考える方向が見えやすくなります。

立体図形で覚えておきたい公式

柱体の体積は底面積×高さ

直方体・三角柱・円柱など、柱体の体積はすべて、

底面積×高さ

で求められます。

直方体の、

たて×横×高さ

も、実は、

（たて×横）×高さ

なので「底面積×高さ」です。

三角柱なら、

三角形の面積×柱の高さ

です。

底面が台形でも、台形の面積を先に求めれば同じです。

立体の公式を別々に暗記するより、

同じ形の面がずっと続いている立体＝底面積×高さ

と理解すると応用しやすくなります。

円柱・円すいの体積と表面積

円柱の体積は、

底面積×高さ

です。

半径rなら底面積は、

r×r×3.14

なので、

r×r×3.14×高さ

となります。

円すいの体積は、

底面積×高さ÷3

です。

円柱と円すいが同じ底面積・同じ高さなら、

円すいの体積は円柱の3分の1

になります。

表面積では、円柱なら、

底面2枚＋側面

と分けて考えます。

側面を開くと長方形になり、

横＝底面の円周
縦＝円柱の高さ

です。

公式だけでなく、展開した形をイメージできることが重要です。

三角すい・四角すいは底面積×高さ÷3

三角すいや四角すいなど「すい体」の体積は、

底面積×高さ÷3

です。

底面の形が三角形でも四角形でも同じです。

たとえば底面積が24cm²、高さが6cmの四角すいなら、

24×6÷3＝48cm³

です。

ここでも重要なのは、斜めの辺ではなく、底面に垂直な高さを使うことです。

図に複数の長さが書かれている場合は、

「底面と直角になっている高さはどれ？」

を先に確認しましょう。

水量変化も底面積を意識する

水量問題も立体公式の応用です。

直方体の容器なら、

水の体積＝底面積×水の深さ

で考えます。

たとえば底面積が150cm²の容器で、水面が4cm上がったなら、

増えた体積は、

150×4＝600cm³

です。

物体を完全に沈めたことで水面が上がったなら、その600cm³が沈めた物体の体積に対応する場合があります。

水量問題は難しく見えますが、

増えた部分の底面積×高さ

と考えると整理できます。

まとめ｜図形公式は「意味」とセットで覚えよう

中学受験算数の図形では、覚えておきたい公式があります。

平面図形なら、

三角形＝底辺×高さ÷2
平行四辺形＝底辺×高さ
台形＝（上底＋下底）×高さ÷2
円＝半径×半径×3.14

などが基本です。

角度では、

三角形の内角の和＝180度
多角形の内角の和＝180×（辺の数－2）
外角の和＝360度

を押さえます。

さらに中学受験で特に重要なのが、

同じ高さの三角形→面積比＝底辺比
同じ底辺の三角形→面積比＝高さの比
相似比a：b→面積比a²：b²
相似な立体→体積比a³：b³

という比の関係です。

立体なら、

柱体＝底面積×高さ
すい体＝底面積×高さ÷3

が基本になります。

ただし、公式を一覧にして丸暗記するだけでは、入試問題で使える力にはなりません。

家庭で復習するときは、

「なぜこの公式を使うの？」
「どの長さが高さ？」
「何が同じだから比がそのまま使えるの？」

と確認してください。

子ども自身が理由を説明できれば、少し形が変わった問題にも対応しやすくなります。

中学受験算数の図形で本当に必要なのは、公式の数を増やすことではありません。

基本公式の意味を理解し、問題を見たときに必要なものを選び出せることです。

まずは基本公式を図とセットで整理し、その後に面積比・相似・立体へつなげていくと、図形問題を安定した得点源にしやすくなります。