中学受験算数の図形の移動｜解き方と考え方を攻略

中学受験算数の「図形の移動」で何が問われる？

この記事では、中学受験算数の「図形の移動」について、平行移動・回転移動・転がる図形の基本から、面積や軌跡を求める応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

図形の移動は、中学受験算数の中でも「分かったつもり」と「実際に解ける」の差が出やすい単元です。

静止した三角形や円の面積なら公式を使って解けても、

「この図形を右へ動かす」
「頂点を中心に90度回転させる」
「円を辺に沿って転がす」

となると、急に難しく感じる子は少なくありません。

原因の一つは、図形全体を頭の中だけで動かそうとしてしまうことです。

しかし、図形の移動ではすべてを一度に想像する必要はありません。

大切なのは、どの点が、どこを中心に、どのように動いたのかを一つずつ追うことです。

この視点が身につくと、複雑に見える問題でも整理して考えられるようになります。

平行移動は形と向きを変えずに動く

平行移動とは、図形を向きを変えずにそのまま移動させることです。

たとえば三角形ABCを右へ5cm動かしたとします。

このとき、

Aも右へ5cm
Bも右へ5cm
Cも右へ5cm

移動します。

三角形の形、大きさ、向きは変わりません。

平行移動の問題でまず確認したいのは、

すべての点が同じ方向へ同じ距離だけ動く

ということです。

そのため、図形全体を見て難しく感じたら、頂点Aだけを見て、

「Aはどこへ移動した？」

と考えます。

Aが分かれば、BやCも同じように動きます。

この基本を理解しておくと、移動前と移動後に重なる部分の面積を求める問題にも対応しやすくなります。

回転移動は中心と回転角に注目する

回転移動では、ある点を中心にして図形を回します。

たとえば、点Oを中心として三角形を90度回転させる問題です。

ここで最も重要なのは、

回転の中心から各点までの距離は変わらない

という性質です。

点Aが点Oから4cm離れていれば、回転したあとのA’も点Oから4cm離れています。

変化するのは位置であって、中心からの距離ではありません。

さらに、

90度回転
180度回転
270度回転

など、何度回転するのかも確認します。

家庭で教えるときは、コンパスを使うイメージが分かりやすいでしょう。

「コンパスの針をOに置いて、Aをぐるっと動かす」

と説明すると、回転移動の仕組みを理解しやすくなります。

点が動いた跡「軌跡」を考える問題も多い

図形の移動では、図形そのものの最終位置だけでなく、

「頂点Aが通った部分の長さ」
「点Pが動いた跡」
「図形が通過した部分の面積」

を求める問題もあります。

点が動いた跡を「軌跡」といいます。

難しい言葉に見えますが、

鉛筆の先を動かしたときに残る線

と考えれば十分です。

平行移動なら点の軌跡は直線になることが多く、回転移動なら円や円弧になります。

中学受験では、この軌跡から長さや面積を求める問題が頻出です。

「図形全体がどうなったか」だけでなく、「この点だけを追ったらどんな線になるか」と考える習慣が重要です。

図形の移動の基本的な解き方を例題で理解する

平行移動では対応する頂点を追う

たとえば、1辺4cmの正方形を右へ3cm平行移動させるとします。

このとき、それぞれの頂点は右へ3cm動きます。

まず左上の頂点だけを見ると、

元の位置から右へ3cm進んだところが移動後の位置です。

ほかの頂点についても同じです。

もし「正方形が通過した部分の面積」を求めるなら、移動前と移動後だけを見るのではなく、途中で通った部分まで含めて考えます。

正方形の縦が4cm、横への移動距離が3cmなら、新たに通過する部分は、

4×3＝12平方cm

です。

さらに元の正方形の面積16平方cmも含めるなら、

16＋12＝28平方cm

となります。

ここでのポイントは、図形の移動を難しい特殊問題として考えず、

元の図形＋動いて増えた部分

と分けることです。

回転移動では中心からの距離が変わらない

次に、長さ3cmの線分OAを、Oを中心に90度回転させる場合を考えます。

AはOから3cm離れたまま動くため、Aが通る道筋は半径3cmの円の一部になります。

90度は円全体360度の4分の1なので、Aが動いた距離は円周の4分の1です。

円周は、

3×2×3.14＝18.84cm

その4分の1なので、

18.84÷4＝4.71cm

となります。

ここでは、

「90度回るから4分の1」

と気づけることが重要です。

180度なら2分の1、270度なら4分の3です。

回転する点の移動距離を求める問題では、

1. 回転の中心を確認する
2. 半径を確認する
3. 何度回転するか確認する

という順番で考えると整理しやすくなります。

動いた図形が通過した面積を求める

図形の移動では「通過した部分の面積」を求める問題もよく出ます。

たとえば、半径2cmの円を右へ5cm平行移動させるとします。

円が通過した部分は、

両端の半円を合わせた円1個分
＋
中央の長方形

と考えることができます。

長方形の縦は円の直径なので、

2×2＝4cm

横は移動距離5cmです。

したがって長方形の面積は、

4×5＝20平方cm

円1個分の面積は、

2×2×3.14＝12.56平方cm

よって通過部分全体は、

20＋12.56＝32.56平方cm

です。

複雑に見えますが、「動いたあとの形」を基本図形に分ければ解けます。

中学受験算数では、知らない形を、知っている長方形・円・おうぎ形などに分解する力が重要です。

中学受験で差がつく回転・転がる図形の攻略法

円が転がる問題は円周と回転数を結びつける

円が直線上を転がる問題では、

円が1回転すると、円周の長さだけ進む

という関係を使います。

たとえば半径5cmの円なら、円周は、

5×2×3.14＝31.4cm

です。

この円が94.2cm進んだとすると、

94.2÷31.4＝3

なので3回転したことが分かります。

逆に、4回転したときに進む距離を求めるなら、

31.4×4＝125.6cm

です。

ポイントは、円が転がる問題を見たらまず、

1回転＝円周

と考えることです。

ただし、円の中心が動いた距離と円周上の点の動き方は別なので、問題文が何を求めているかを丁寧に確認しましょう。

多角形が転がる問題は頂点ごとに中心が変わる

正方形や三角形が辺に沿って転がる問題は、円より難しく感じられます。

その理由は、回転の中心が途中で変わるからです。

たとえば正方形を右へ転がすとき、最初は右下の頂点を中心として90度回転します。

次に、その先に接地した新しい頂点を中心として再び90度回転します。

つまり、

1回目の中心
2回目の中心
3回目の中心

が順番に変わります。

このとき、ある頂点が描く軌跡は、一つの大きな円ではなく、複数の円弧の組み合わせになります。

算数が苦手な子は、最初から全体の軌跡を考えるのではなく、

「最初の1回だけ」

を書かせてみましょう。

中心がどこか分かったら次の1回へ進みます。

一動作ずつ分解すると、急に見通しがよくなります。

複雑な図形は部分ごとの移動に分ける

難関校の問題では、半円と長方形を組み合わせた図形や、複数の頂点を持つ図形を回転させることがあります。

このときも、図形全体を一度に動かそうとしないことが重要です。

たとえば、

「点Aはどう動く？」
「点Bはどう動く？」
「辺ABはどんな部分を通る？」

と分解します。

図形の移動問題では、複雑な図ほど、

点→辺→面

の順番で考えると整理しやすくなります。

まず点の軌跡を描き、その点どうしを結ぶ辺がどの範囲を通るかを確認し、最後に面積へ進みます。

図形の移動が苦手な子に家庭でどう教える？

完成図を想像させる前に実際に動かす

図形の移動が苦手な子に、

「頭の中で回してみて」

と言っても、簡単にはできません。

そこで家庭では、紙を切って実際に動かす方法がおすすめです。

正方形や三角形を紙に描いて切り取り、

「右へ3cm動かしてみよう」
「この角を押さえて90度回してみよう」

と実際に操作します。

手を動かした経験があると、紙面上の図を見たときにも動きを想像しやすくなります。

図形問題では、こうした具体的な操作は決して遠回りではありません。

動かす点を1つに絞って線を描く

図形全体を見ると混乱する場合は、一つの点だけ追わせます。

たとえば三角形ABCを回転させるなら、

「まずAだけ見よう」

と声をかけます。

Aの移動が分かったらB、次にCと進みます。

特に軌跡問題では、

「この点に鉛筆をつけたまま図形を動かしたら、どんな線が描かれる？」

と考えると分かりやすくなります。

回転なら円弧、平行移動なら直線になることが見えてきます。

間違えたら「どこを中心に動いたか」を確認する

回転移動や転がる図形で間違えたとき、保護者がすぐ答えを説明する必要はありません。

まず、

「このとき、どこを中心に回っている？」

と聞いてみてください。

回転問題の多くは、中心を間違えるとその後の計算もすべてずれます。

次に、

「中心からこの点まで何cm？」
「何度回った？」
「円全体の何分のいくつ？」

と確認します。

この3つが分かれば、多くの回転移動問題は整理できます。

家庭学習では正解数だけを見るより、どの段階で考え方がずれたのかを一緒に確認することが大切です。

まとめ｜図形の移動は「どの点がどう動くか」を追えば解ける

中学受験算数の図形の移動は、平行移動、回転移動、転がる図形、軌跡、通過した面積など、さまざまな形で出題されます。

一見すると複雑ですが、考え方の土台は共通しています。

まず、

どの点が、どこを中心に、どの方向へ、どれだけ動いたのか

を確認しましょう。

平行移動なら、すべての点が同じ方向へ同じ距離だけ進みます。

回転移動なら、回転の中心からの距離は変わりません。

円が転がる問題なら、

1回転＝円周

という関係を使います。

多角形が転がる問題では、回転の中心が頂点ごとに変わる点に注意します。

図形の移動が苦手なお子さんに対しては、いきなり難しい軌跡や面積を求めさせる必要はありません。

まず紙の図形を実際に動かし、

「この頂点はどこへ行った？」

と一つの点だけ追う練習から始めましょう。

点の動きが理解できれば、次に辺、そのあと面積へと考えを広げられます。

図形の移動は、頭の中だけで想像する単元ではありません。

自分で線を書き、動きを残しながら考えることが、安定して解けるようになる近道です。