中学受験算数の台形を攻略｜面積公式と応用の解き方

中学受験算数の台形はなぜ難しい？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数で台形を攻略するための基本公式から、補助線・面積比を使う応用問題の考え方まで順番に解説します。

台形は、小学校の算数でも習う身近な図形です。

そのため、

「上底と下底を足して、高さをかけて2で割ればいい」

と覚えている子は多いでしょう。

ところが中学受験では、単純に面積を求めるだけではありません。

高さが書かれていない、図形の一部だけの面積を求める、対角線が引かれている、比を利用するなど、さまざまな形で出題されます。

つまり、台形問題で本当に必要なのは公式の暗記だけではありません。

台形を三角形やほかの図形に分け、辺・高さ・面積の関係を見つける力が重要です。

面積公式を覚えるだけでは解けない

基本的な台形なら、

上底6cm
下底10cm
高さ5cm

と分かっていれば、公式へ数字を入れるだけで面積を求められます。

しかし中学入試では、

「台形全体の面積は分かっているが高さが不明」
「対角線で分けられた一部分の面積を求める」
「底辺の長さが比で示されている」

といった問題が出ます。

そのため、

「台形を見たら面積公式」

だけでは対応できません。

公式を覚えた後に、

「この問題では何が分かっていて、何が分からないのか」

を整理する力が必要になります。

上底・下底・高さを正しく見つける必要がある

台形問題で意外に多いミスが、高さの取り違えです。

高さとは、平行な2本の辺の間の距離です。

斜めになっている辺の長さが書いてあると、それを高さとして公式へ入れてしまう子がいます。

家庭で確認するときは、

「平行な辺はどことどこ？」
「その2本の間を垂直に測った長さはどこ？」

と聞いてください。

まず平行な2辺を見つける。

その2辺を上底・下底と見る。

次に、その間の垂直な距離を高さとする。

この順番を習慣にすると、公式への数字の入れ間違いが減ります。

応用では三角形や比の知識も使う

中学受験の台形は、台形だけの問題として出ないことがあります。

たとえば対角線を1本引けば、台形は2つの三角形に分かれます。

さらに線を追加すると、

「高さが同じ三角形」
「底辺の長さが同じ三角形」

が現れることがあります。

そこで使うのが面積比です。

つまり台形を得意にするには、

三角形の面積
比
相似
面積比

などの知識も必要になります。

台形問題で止まる子は、「台形の公式を忘れた」とは限りません。

実は比や三角形の理解が弱いこともあるのです。

台形の面積公式を意味から理解しよう

「上底＋下底」をする理由

台形の面積は、

（上底＋下底）×高さ÷2

で求めます。

ここで大切なのは、丸暗記だけで終わらせないことです。

同じ台形をもう一つ用意して、上下を逆にして横へつなげたと考えてみましょう。

すると、大きな平行四辺形を作ることができます。

その平行四辺形の底辺は、

上底＋下底

になります。

高さは元の台形と同じです。

したがって大きな平行四辺形の面積は、

（上底＋下底）×高さ

です。

元の台形はその半分なので、最後に2で割ります。

こうして意味まで理解しておけば、

「なぜ最後に÷2をするの？」

と迷いにくくなります。

高さは斜めの辺ではない

たとえば、

上底5cm
下底9cm
斜めの辺6cm

と書いてあっても、6cmを高さとして使えるとは限りません。

高さは必ず、上底と下底の間の垂直な距離です。

子どもには、

「高さは床から天井までをまっすぐ測るイメージ」

と伝えると分かりやすいでしょう。

斜めに測った長さではありません。

図が傾いていても、

平行な2辺
↓
その間を直角につなぐ線

を探す習慣をつけましょう。

逆算問題では何を求めるか整理する

中学受験では、面積を求めるだけではありません。

たとえば、

面積48㎠
上底4cm
下底8cm

で高さを求める問題があります。

公式へ入れると、

（4＋8）×高さ÷2＝48

です。

まず、

12×高さ÷2＝48

なので、

6×高さ＝48

となり、高さは8cmです。

算数が苦手な子には、最初から複雑な逆算をさせるより、

「上底と下底を足す」
「2で割るところまで先に整理する」

と段階を分けて考えさせるとよいでしょう。

中学受験でよく出る台形の応用問題

補助線を引いて三角形に分ける

中学受験の図形問題で重要なのが補助線です。

台形に対角線を引くと、2つの三角形に分かれます。

たとえば台形ABCDで、

ABとCDが平行

だとします。

対角線ACを引けば、

三角形ABC
三角形ACD

ができます。

この2つの三角形は、それぞれ底辺をAB、CDと見ると、高さが同じです。

なぜならABとCDが平行だからです。

そこで、

三角形ABCの面積：三角形ACDの面積
＝AB：CD

という関係が使えます。

台形問題では、「台形だから台形の公式」と決めつけないことが大切です。

三角形に分けたほうが簡単になることも多くあります。

同じ高さの三角形は底辺の比を見る

これは中学受験図形の重要ルールです。

高さが同じ三角形では、

面積比＝底辺の比

になります。

たとえば底辺が、

4cmと6cm

なら、面積比は、

4：6＝2：3

です。

高さが何cmなのか分からなくても構いません。

ここが中学受験らしいポイントです。

算数が苦手な子は、面積問題を見るたびに具体的な面積を計算しようとします。

しかし比の問題では、

「高さが同じなら、底辺だけ比べればいい」

と気づければ計算量を大きく減らせます。

台形に対角線が引かれていたら、まず「同じ高さの三角形はないかな？」と探してみましょう。

対角線でできる三角形の面積比を考える

台形では、2本の対角線が交わる問題もよく見られます。

見た目が複雑になるため、算数が苦手な子はここで手が止まりがちです。

しかし、いきなり全部の三角形を考える必要はありません。

まず、

平行な辺はどこか
同じ高さの三角形はどれか
底辺の比が分かる場所はどこか

を一つずつ確認します。

たとえば上底と下底の比が、

2：3

なら、対角線によってできる三角形にも、この比から面積関係を追える部分があります。

大切なのは「この形ならこの公式」と暗記することではありません。

平行→高さが同じ→底辺比から面積比が分かる

という順序で考えることです。

この考え方を身につけておくと、台形だけでなく相似や面積比の問題にも応用できます。

台形が苦手な子におすすめの勉強法

公式を書く前に上底・下底・高さへ印をつける

台形の基本問題では、すぐに計算を始めさせないようにしましょう。

まず図に、

上底 ○
下底 ○
高さ △

などと印をつけます。

そして、

「この3つがそろっている？」

と確認します。

そろっていれば公式を使います。

この一手間だけでも、斜辺を高さと間違えるミスを防ぎやすくなります。

公式を速く書くことより、必要な情報を正しく選ぶことのほうが重要です。

図形に数字を書き込む習慣をつける

中学受験の図形問題では、問題文の数字を読むだけではなく、図に書き込む習慣をつけましょう。

たとえば、

AB＝4cm
CD＝6cm
高さ＝5cm

と問題文にあれば、図の該当する場所へ数字を書きます。

平行なら、

AB∥CD

という関係も意識します。

さらに同じ長さや同じ角度が分かったら、同じ印をつけます。

算数が苦手な子は、文章と図を別々に見ていることがあります。

数字や条件を図へ集めることで、「何が使えそうか」が見えやすくなります。

基本→補助線→面積比の順で練習する

台形が苦手なら、いきなり難関校の複雑な図形問題へ進む必要はありません。

おすすめの順序は、

1．面積公式の基本問題
2．高さや底辺を逆算する問題
3．対角線を1本引く問題
4．同じ高さの三角形を使う問題
5．面積比・相似が絡む問題

です。

たとえば基本問題を10問やって7問間違える状態なら、応用へ進むのは早すぎます。

まず基本問題を8～9割程度安定して解ける状態にします。

そのうえで少しずつ補助線や比の問題へ進めば、「台形を見るだけで嫌になる」という状態を防ぎやすくなります。

まとめ｜台形は公式より「図の中の関係」を見る

中学受験算数の台形問題では、まず基本となる、

（上底＋下底）×高さ÷2

の意味を理解することが大切です。

ただし、入試では公式だけで終わる問題ばかりではありません。

対角線を引く
三角形に分ける
同じ高さを見つける
底辺の比から面積比を考える
平行な辺に注目する

といった力が必要になります。

特に算数が苦手な子には、

「公式は何？」

と最初から聞くより、

「平行な辺はどこ？」
「高さはどこ？」
「三角形に分けられない？」
「高さが同じ図形はある？」

と順番に問いかけてみてください。

台形の応用問題が解けない原因は、必ずしも公式の暗記不足ではありません。

図に情報を書き込めていない、三角形の面積比が分からない、平行から同じ高さを見つけられない、といった別のつまずきが隠れていることがあります。

家庭学習では、間違えたときに答えだけ直すのではなく、

「どこに気づけば解けたのか」

まで確認しましょう。

中学受験算数の台形を攻略するポイントは、難しい解法を大量に暗記することではありません。

台形を見たら、上底・下底・高さを確認し、必要なら三角形に分けて図の中の関係を探すこと。

この基本動作が身につけば、単純な面積問題から面積比・相似につながる応用問題まで、落ち着いて考えられるようになります。