中学受験算数の正方形問題｜解き方と頻出パターン

中学受験算数の正方形問題で押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の正方形問題で必要な基本から、よく出る応用パターン、つまずきやすい原因、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

正方形は、小学校低学年から知っている身近な図形です。

そのため、

「正方形くらいなら簡単」

と思われがちですが、中学受験では非常に重要な図形の一つです。

単純に面積を求めるだけでなく、対角線、回転、面積比、円との組み合わせなど、さまざまな形で出題されます。

難しい問題ほど、まず正方形の基本的な性質に戻ることが大切です。

正方形の4つの性質

正方形には、最低限次の性質があります。

• 4つの辺の長さがすべて等しい
• 4つの角はすべて90度
• 2本の対角線の長さが等しい
• 2本の対角線は真ん中で直角に交わる

さらに、対角線を1本引くと、正方形は同じ大きさの直角二等辺三角形2つに分かれます。

対角線を2本引けば、同じ面積の三角形4つに分けられます。

中学受験では、この

「同じ長さ」「直角」「同じ面積」

という性質を使って問題を解くことが多くあります。

面積と周りの長さの基本

一辺が6cmの正方形なら、

面積は

6×6＝36㎠

周りの長さは

6×4＝24cm

です。

ここまでは簡単です。

しかし受験問題では、

「面積が64㎠の正方形の一辺は？」

と逆向きに聞かれることがあります。

この場合、

8×8＝64

なので、一辺は8cmです。

つまり、

正方形の面積＝一辺×一辺

という公式を覚えるだけでなく、面積から一辺を逆算できることも必要になります。

対角線から分かること

正方形では、対角線が重要です。

たとえば正方形ABCDに対角線ACを引くと、

三角形ABCと三角形ACD

は同じ面積になります。

さらに2本の対角線ACとBDを引き、その交点をOとすると、

三角形AOB
三角形BOC
三角形COD
三角形DOA

の4つは同じ面積です。

正方形全体の面積が40㎠なら、

40÷4＝10㎠

なので、それぞれ10㎠です。

難しい図形問題でも、

「対角線を引いたら同じ面積に分かれる」

と気づくだけで、一気に簡単になる場合があります。

中学受験でよく出る正方形の問題パターン

正方形の問題には、ある程度決まったパターンがあります。

最初から難問として見るのではなく、

「どのタイプの問題なのか」

を整理すると解きやすくなります。

正方形を分割して面積を求める問題

よくあるのが、正方形の中に三角形や別の正方形が入っている問題です。

たとえば一辺10cmの正方形を対角線で2つに分けた場合、正方形全体の面積は、

10×10＝100㎠

です。

対角線でできる2つの三角形は同じ面積なので、

100÷2＝50㎠

となります。

さらに2本の対角線を引けば、

100÷4＝25㎠

となります。

難しい問題でも、まず

正方形全体の面積を出してから分ける

という考え方が使えることがあります。

正方形を回転・移動させる問題

中学受験では、正方形を頂点のまわりに回転させる問題もよく出ます。

たとえば一辺4cmの正方形を、ある頂点を中心に90度回転させる場合です。

このとき、正方形全体がそのまま移動するのではなく、それぞれの頂点が円弧を描きます。

どの点が中心なのか、どの点が動くのかを整理する必要があります。

特に回転問題では、

• 回転の中心
• 回転する角度
• 動く点までの距離

を図に書き込むことが大切です。

「90度回転＝円の4分の1」

と考えられると、移動する長さや面積を求めやすくなります。

正方形と円を組み合わせる問題

正方形の中に円が入っている図形も頻出です。

たとえば、一辺10cmの正方形にぴったり内接する円がある場合、円の直径は10cmです。

したがって半径は、

10÷2＝5cm

となります。

円の面積を3.14として求めるなら、

5×5×3.14＝78.5㎠

です。

正方形の面積は、

10×10＝100㎠

なので、円以外の部分は、

100－78.5＝21.5㎠

です。

このタイプでは、

正方形の一辺＝円の直径

という関係を見抜けるかどうかがポイントになります。

正方形問題でつまずく3つの原因

正方形問題が苦手な子は、公式を知らないとは限りません。

むしろ、図の中に隠れている関係を見つけられないことが原因になっている場合が多いです。

見えている長さだけで考えてしまう

図形問題では、問題文に書かれていない長さでも、正方形の性質から分かることがあります。

たとえば一辺が8cmと書いてあれば、ほかの3辺もすべて8cmです。

ところが算数が苦手な子は、

「8cmと書いてある辺だけが8cm」

と考えてしまうことがあります。

家庭では、

「正方形だから、ほかに同じ長さのところはどこ？」

と聞いてみてください。

これだけでも、図を見る視点が変わります。

補助線を引く発想がない

中学受験の正方形問題では、補助線が重要です。

特に、

• 対角線を引く
• 頂点同士を結ぶ
• 平行な線を延ばす
• 同じ高さの三角形を作る

といった操作がよく使われます。

難しい図形問題を見て手が止まったとき、

「何か線を1本引いたら分かりやすくならない？」

と考える習慣をつけましょう。

ただし、闇雲に線を引けばよいわけではありません。

まずは正方形の対角線から考えるのがおすすめです。

面積と辺の比を同じように考えてしまう

これは中学受験で非常に多いミスです。

たとえば、一辺の長さが

2：3

の2つの正方形がある場合。

面積も2：3と思ってはいけません。

面積は、

2×2：3×3
＝4：9

です。

正方形では、

辺の比を2回掛けると面積比になる

と覚えておくとよいでしょう。

一辺が2倍になれば面積は4倍。

一辺が3倍になれば面積は9倍です。

相似や面積比の単元でも非常に重要な考え方です。

家庭で正方形問題を得意にする練習法

正方形の図形問題は、問題数を大量にこなすだけでは伸びにくい分野です。

大切なのは、図から何を読み取ったかを確認することです。

図に分かっている長さを書き込む

問題を見たら、最初に分かる情報を書き込みます。

たとえば、一辺が6cmの正方形なら、4辺すべてに6cmと書いても構いません。

対角線が引かれていれば、

「ここで面積が半分になる」

などとメモします。

頭の中だけで考えるより、分かっていることを図に見える形で残すほうがミスを減らせます。

特に図形が苦手な子には効果的です。

1問を別の方法でも解いてみる

同じ問題を、

「ほかの方法では解けない？」

と考えるのもおすすめです。

たとえば色のついた部分の面積なら、

• 必要な部分を足す
• 全体から不要な部分を引く

という2通りの解き方ができる場合があります。

1問1答で終わらず、

「こっちからも考えられる」

という経験を増やすと、初見問題への対応力も高まります。

間違えた問題は図だけ描き直す

図形問題の解き直しでは、答えや式だけを写しても効果は限定的です。

おすすめは、翌日に

問題の図を簡単に描き直すこと

です。

そのうえで、

「どこが同じ長さ？」
「どこが同じ面積？」
「どの線を引く？」

と考えます。

解説の図を見れば理解できるのに、自分では線を引けないのであれば、まだ完全には身についていません。

図を自分で再現できれば、考え方の理解も深まっています。

まとめ｜正方形は「性質を使う図形」と考えよう

中学受験算数の正方形問題では、

一辺×一辺＝面積

を覚えるだけでは十分ではありません。

大切なのは、

• 4辺がすべて等しい
• 4つの角が90度
• 対角線で同じ面積に分けられる
• 対角線同士は直角に交わる
• 一辺の比から面積比を考えられる

といった正方形の性質を問題の中で使えることです。

正方形は、平面図形、面積比、相似、回転、円との複合問題など、さまざまな単元に登場します。

子どもが解けないときに、

「この公式を使うんだよ」

とすぐ教えるより、

「正方形だから分かることは何？」

と聞いてみてください。

この問いかけによって、子ども自身が図形の性質を探すようになります。

中学受験の図形問題で必要なのは、特殊なひらめきだけではありません。

基本的な性質を正確に覚え、図に書き込み、必要なら補助線を引いて使うことです。

正方形という身近な図形を丁寧に学ぶことが、相似や面積比、複合図形といった難しい問題を解くための土台になります。