中学受験算数「立体の影」｜解き方とコツを解説

中学受験算数の「立体の影」とは？

この記事では、中学受験算数の「立体の影」とは何か、どこでつまずきやすいのか、問題を解く基本手順と家庭でできる教え方まで順番にわかりやすく解説します。

光源・立体・影の3つの位置関係を考える

中学受験算数の「立体の影」は、光を当てたときに、立体の影が床や壁のどこにできるかを考える問題です。

登場するものは基本的に3つです。

光源
立体
影ができる面

たとえば、机の上に直方体を置き、その上から電球の光を当てるとします。

このとき、立体にさえぎられた光が届かない部分が影になります。

問題では、

「影の長さを求めなさい」
「影の面積を求めなさい」
「光源の高さを求めなさい」

などと聞かれます。

見た目は複雑ですが、基本的な考え方は、

光は光源からまっすぐ進む

という一点です。

まずこの原則を押さえることが、立体の影を理解する第一歩です。

影の問題では光の線をまっすぐ伸ばす

影の端は、適当に決まるわけではありません。

光源から立体の端を通るように線を引き、その線を影ができる面まで伸ばします。

つまり、

光源→立体の頂点→影の端

が一直線になります。

たとえば、高さ10cmの直方体に光を当てたとき、直方体の上の角と光源を結び、その線を床まで延長すると、そこが影の端になります。

この「延長する」という作業が重要です。

影の問題が苦手な子は、

「立体から影へ線を引く」

と考えがちですが、正しくは、

光源から線を引く

と覚えておきましょう。

立体の影では相似が重要になる

光源から立体の頂点へ線を引くと、図の中に三角形ができます。

ここで頻繁に使うのが相似です。

たとえば、

光源から床までの高さ：12cm
立体の高さ：4cm

だったとします。

横から見た図を描くと、

大きな三角形と小さな三角形

ができ、それぞれの対応する辺の比を利用して影の長さを求められます。

中学受験の立体の影は、実は「立体問題」というより、

立体を横から見て、相似の平面図形として解く問題

と考えると理解しやすくなります。

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立体の影でつまずきやすい3つの原因

見えている図だけで考えてしまう

立体の影の問題では、斜めから描かれた立体図が載っていることがあります。

この図をそのまま見て考えようとすると、混乱しやすくなります。

なぜなら、

高さ
奥行き
横の長さ
光の方向

を一度に考えなければならないからです。

そこでおすすめなのが、

横から見る
上から見る

というように、必要な方向だけに分ける方法です。

たとえば影の「長さ」を求めるなら横から見た図、影の「横幅」を確認するなら上から見た図を使います。

立体図を一度平面図に直すだけで、問題がかなり見やすくなります。

光源から引く線の位置を間違える

もう一つ多いのが、

「どの頂点と光源を結べばいいの？」

というつまずきです。

影の端を決めるのは、光が最後に触れる立体の端です。

横から見た図なら、一般的には、

光源と立体の上側の端

を結びます。

そして、その線を地面や壁まで延長します。

家庭で教えるときは、

「影の端は、光がギリギリ通れない場所だよ」

と説明するとイメージしやすいでしょう。

すぐ式を立てるより、まず線を正しく引けるかを確認してください。

相似比と面積比を混同する

立体の影では、相似を使ったあとに影の面積を求める問題も出ます。

ここで注意したいのが、

長さの比と面積の比

です。

たとえば相似比が、

2：3

なら、対応する長さは2：3です。

しかし面積比は、

4：9

になります。

つまり、

相似比を2乗

する必要があります。

影の長さまでは正解できるのに面積で間違える子は、この区別が曖昧な可能性があります。

家庭では、

「今求めているのは長さ？面積？」

と毎回確認するだけでもミスが減ります。

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中学受験の立体の影を解く基本手順

まず光源と立体の頂点を線で結ぶ

立体の影の問題を見たら、最初に式を作ろうとしないことが大切です。

まず、

光源と立体の端を直線で結ぶ

ことから始めます。

たとえば横から見た図で、

光源
立体の上端
床

があるなら、

光源→立体の上端

を結び、その線を床まで伸ばします。

ここでできた点が影の端です。

この補助線を正しく引ければ、問題の半分は整理できたと考えてよいでしょう。

次に影の端の位置を決める

光の線を延長したら、どこまでが影になるかを確認します。

たとえば立体が床の上に置かれているなら、

立体の足元から
光線が床と交わる点まで

が影の長さになります。

ここで気をつけたいのは、

光源から影の端までの長さ

と、

立体から影の端までの長さ

を混同しないことです。

問題文が何を求めているのかを確認し、求める部分に印をつけるとミスを減らせます。

長さは相似を使って求める

補助線を引くと、相似な三角形が見つかります。

たとえば、

光源の高さ：15cm
立体の高さ：5cm
光源から立体までの距離：8cm

とします。

横から見たとき、

大きな三角形の高さは15cm、
小さな三角形の高さは15－5＝10cm

となる場合があります。

このとき、

高さの比
＝横方向の長さの比

として計算できます。

ここで最も大切なのは、いきなり数字を並べないことです。

まず、

どの三角形とどの三角形が相似なのか

を確認しましょう。

そして、

「15に対応する長さはどれ？」
「10に対応する長さはどれ？」

と整理してから比例式を作ります。

影の面積は最後に計算する

影の面積を求める問題でも、いきなり面積公式を使わないようにしましょう。

先に、

影の縦の長さ
影の横の長さ

をそれぞれ求めます。

たとえば影が長方形になるなら、

縦×横

で面積を求めます。

影が相似な図形として拡大されている場合は、

相似比を求める
↓
必要な長さを求める
↓
面積を求める

という順番です。

算数が苦手な子ほど、1つの式ですべて解こうとしないことが大切です。

1段階ずつ分けるほうが、途中で間違えても原因を見つけやすくなります。

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家庭でできる立体の影の教え方

懐中電灯と箱で実際に影を作る

立体の影が苦手な子には、紙の問題だけを繰り返すより実物を使うほうが理解しやすいことがあります。

家庭では、

懐中電灯
小さな箱
白い紙

があれば十分です。

机に白い紙を置き、その上に箱を置きます。

少し離れた場所から懐中電灯を当てて、

「光を高くすると影はどうなる？」
「光を箱に近づけると影はどうなる？」

と観察します。

実際に動かすと、

光源の位置が変わると影の大きさも変わる

ことが感覚的に分かります。

そのあと問題集へ戻ると、図がただの線ではなく、実際の光の動きとして見えやすくなります。

最初は立体ではなく平面図から練習する

立体の影が難しい場合、いきなり立体全体を考える必要はありません。

最初は横から見た図だけ使って、

光源
棒
影

の関係を考えます。

たとえば、

高さ6cmの棒に光を当てると影が9cm

というような平面的な問題から始めます。

相似を使って影の長さを求められるようになったら、

直方体
立方体

へ進みましょう。

平面の影→立体の影

という順番にすると、つまずきが少なくなります。

「どの線が光の道か」を子どもに説明させる

家庭で理解度を確認するときは、

「答えは？」

だけで終わらせないことが大切です。

たとえば、

「この線は何？」

と聞きます。

子どもが、

「光源から立体の角を通って影の端まで進む光の線」

と説明できれば、かなり理解できています。

さらに、

「どうしてこの2つの三角形が相似なの？」

と聞いてみましょう。

説明できない場合は、式だけを覚えている可能性があります。

保護者がすべての解法を教えなくても、

「その線は何を表している？」

と問いかけるだけで、子ども自身が図を整理するきっかけになります。

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まとめ｜立体の影は「光の線」と「相似」で整理しよう

中学受験算数の「立体の影」は、一見すると複雑な立体図形の問題に見えます。

しかし、基本はシンプルです。

まず、

光源→立体の端→影の端

が一直線になるように補助線を引きます。

次に立体を横や上から見て、平面図として整理します。

そして、

相似な三角形を見つける
↓
長さの比を使う
↓
影の長さを求める
↓
必要なら面積を求める

という順番で解きます。

苦手な子が特につまずきやすいのは、

・立体図をそのまま考える
・光源から線を引いていない
・相似比と面積比を混同する

という3点です。

家庭では、紙の問題だけで理解させようとしなくても構いません。

懐中電灯と箱を使って実際に影を作り、

「光はどこを通っている？」
「影の端はどう決まる？」

と確認すると、図と現実がつながりやすくなります。

立体の影は、公式をたくさん暗記する単元ではありません。

光はまっすぐ進む
↓
補助線を引く
↓
相似を見つける

この3段階を身につければ、複雑に見える問題でも少しずつ整理できるようになります。

難問を何問も解くより、まずは1問について、

「なぜここに線を引くのか」

を説明できるようにすること。

それが、中学受験の立体の影を得意にする近道です。