中学受験算数の切断問題｜断面図の考え方とコツ

中学受験算数の切断問題が難しく感じる理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の切断問題でつまずく理由から、断面図の基本ルール、典型問題の解き方、家庭でできる練習まで順を追って解説します。

中学受験算数の中でも、立体の切断は苦手意識を持つ子が多い単元です。

問題には立方体や直方体が描かれ、

「3点を通る平面で切ったときの断面を求めなさい」

といった形で出題されます。

平面図形と違い、見えていない部分まで考える必要があるため、「空間認識が苦手だから無理」と感じてしまうこともあります。

しかし、切断問題はセンスだけで解くものではありません。

いくつかの基本ルールに沿って、切断面が通る面を順番に追えば、かなり整理して考えられるようになります。

立体を頭の中だけで切ろうとしている

切断問題が苦手な子に多いのが、立体全体を頭の中だけで回転させ、切断面を一気に想像しようとすることです。

これでは空間図形が得意な子でも混乱しやすくなります。

例えば、立方体の3つの辺上に点A・B・Cがある場合でも、

「A・B・Cを通る面はどんな形になるだろう」

と最初から完成形を考える必要はありません。

まず、

AとBは同じ面にあるか
BとCは同じ面にあるか

と1面ずつ確認します。

切断問題では「立体を見る」より、「面を見る」意識が重要です。

切断面は「点を結べばよい」と思い込んでいる

問題図に点が3つあると、

「とりあえず3点を結べば三角形」

と思ってしまう子がいます。

しかし、立体の表面上で直接線を引けるのは、同じ1つの面にある点同士だけです。

立方体の表側の点と裏側の点を、立体の表面を無視して線で結ぶことはできません。

そのため、

「この2点は同じ面にある？」

という確認を必ず行います。

ここを丁寧にするだけで、間違った断面を描くことがかなり減ります。

見えない面の交わり方を想像できていない

問題図では、立体の裏側や底面が見えないことがあります。

そのため、途中まで線を引けても、

「次はどこへつながるの？」

と止まってしまいます。

ここで必要なのは、見えない部分を感覚で当てることではありません。

切断面は1枚の平面なので、ある面を横切ったら、必ず隣の面へ続きます。

「どの面から入り、どの面へ出るか」を追うことで、見えない部分も整理できます。

立体の切断で覚えておきたい基本ルール

同じ面上にある2点は直線で結べる

切断問題の最も基本的なルールです。

同じ正方形の面の上に2点があれば、その2点は直線で結ぶことができます。

例えば、立方体の前面の辺上に点Aと点Bがあれば、

A―B

と直線を引けます。

この線が、切断面と前面との交わりです。

まずは「同じ面の2点を探す」ことから始めると、最初の1本が見つけやすくなります。

平行な面では切り口の線も平行になる

立方体には、

前面と後面
左面と右面
上面と下面

という3組の平行な面があります。

1枚の平面が、平行な2つの面を横切るとき、それぞれの面にできる切り口の線は平行になります。

これは中学受験の切断問題で非常に重要なルールです。

例えば前面に斜めの切り口ができたら、後面にも同じ方向の線ができることがあります。

「次にどこへ線を引けばよいか分からない」ときに、この平行関係が手がかりになります。

切断面は1枚の平面としてつながっている

切断面は、途中で切れたり、別の場所に飛んだりすることはありません。

必ず1枚の平面としてつながっています。

例えば、

前面→右面→後面→左面

と立体の周囲をぐるりと通る場合もあります。

このとき、それぞれの面に現れる線分がつながって、1つの多角形を作ります。

三角形になることもあれば、四角形、五角形、六角形になることもあります。

まず通過する面を順番に確認する

切断問題では、最初から断面の名前を考えるより、

「今どの面を通っているか」

を確認します。

例えば、

前面でAとBを結ぶ
↓
Bから右面へ進む
↓
右面の別の辺と交わる
↓
さらに後面へ進む

というように、面を1つずつ追います。

この順番を守ると、複雑な断面でも迷いにくくなります。

中学受験でよく出る切断問題の解き方

立方体を3点で切る基本問題

基本問題では、立方体の3本の辺上に点A・B・Cがあり、

「3点を通る平面で切断したときの断面を求めなさい」

と出題されます。

まず確認するのは、

AとBが同じ面上にあるか
BとCが同じ面上にあるか
CとAが同じ面上にあるか

です。

3組すべてが同じ面で結べる場合、断面は三角形になります。

しかし、1組が同じ面にない場合は、途中に別の交点が必要になります。

この違いを見抜くことが最初のポイントです。

切断面が三角形・四角形になる問題

立方体の3つの辺を切断面が通れば、断面は三角形になることがあります。

4つの辺を通れば、四角形になることがあります。

ただし、

「点が3つだから三角形」

とは限りません。

与えられた3点の間をつなぐ途中で、別の辺と交わる場合があるからです。

例えばAとBを結べても、BからCへ直接結べず、途中でDという交点が必要なら、

A→B→D→C

となり、四角形になる可能性があります。

断面の頂点の数は、「切断面が何本の辺と交わるか」で考えると分かりやすくなります。

六角形の断面になる問題の考え方

難関校では、立方体の6本の辺と交わり、断面が六角形になる問題もあります。

この場合も特別な解法が必要なわけではありません。

1本ずつ、

前面
右面
後面
左面
上面
下面

など、切断面が通る場所を追います。

立方体の切断面は最大で6つの面と交わるため、六角形になることがあります。

「六角形を最初から想像しよう」とすると難しくなります。

まず1面につき1本ずつ線を見つけ、結果として6本つながった、と考えれば十分です。

切断後の体積を求める問題

切断問題では、断面を描くだけで終わらず、

「切り取られた部分の体積を求めなさい」

と続くことがあります。

この場合、まず断面を正しく描くことが大前提です。

例えば、立方体の1つの頂点を3つの辺の中点を通る平面で切り落とすとします。

切り取られた部分は三角すいになります。

元の立方体の1辺を6cmとし、3辺の中点を通るなら、切り取られる三角すいの3方向の長さはそれぞれ3cmです。

体積を求める場合は、

底面積×高さ÷3

という三角すいの体積の考え方を使います。

切断問題では、

断面を決める
↓
できた立体の種類を判断する
↓
体積を計算する

という順番を守ることが重要です。

切断問題が苦手な子への家庭での教え方

透明ケースや豆腐を使って立体を体感する

立体の切断が苦手な子には、紙の問題だけを何十問も解かせるより、実物を見せる方が理解が早いことがあります。

例えば透明な立方体ケースを使い、輪ゴムやテープで切断面をイメージする方法があります。

また、家庭では豆腐やスポンジを立方体に近い形に切り、

「ここからここを通って切ったら、切り口はどんな形になる？」

と実際に切ってみるのも分かりやすい方法です。

予想してから実物で確かめると、立体と断面の関係がつかみやすくなります。

展開図より先に面同士のつながりを確認する

切断問題が苦手だからと、すぐ展開図に直そうとする子もいます。

しかし、切断では必ずしも展開図を書く必要はありません。

それより先に、

前面の右側には右面がある
右面の奥には後面がある

という面同士のつながりを確認してください。

小さな箱を手に持ち、

「この面の隣はどの面？」

と質問するだけでも、立体感覚を育てる練習になります。

1本ずつ線を増やして考える

切断問題で最も避けたいのは、完成した断面を一気に当てようとすることです。

家庭では、

「最初に引ける線はどれ？」

と聞きます。

1本引けたら、

「この線はどの面に続く？」

と次を考えます。

1本→2本→3本と増やしていけば、複雑な問題でも負担が小さくなります。

答えの形より「なぜその辺ができるか」を説明させる

たまたま正しい断面図を描けても、理由を理解していなければ次の問題では解けないことがあります。

そこで、

「どうしてこの2点を結べるの？」

と聞いてみてください。

「同じ面にあるから」

と答えられれば、基本ルールを理解しています。

また、

「どうしてこっちの線と平行なの？」

と聞き、

「平行な面を同じ切断面が通っているから」

と説明できれば、かなり理解が深まっています。

家庭学習では正解・不正解だけでなく、「説明できるか」を確認することが大切です。

まとめ｜切断問題は「面を追う」と見えやすくなる

中学受験算数の切断問題は、最初は「立体を頭の中で自由に動かせないと解けない」と感じやすい単元です。

しかし、実際には基本ルールを使って1面ずつ追えば解ける問題が多くあります。

特に大切なのは、

同じ面上の2点を結ぶ
平行な面の切り口は平行になる
切断面は1枚につながっている
通過する面を順番に追う

という4点です。

また、

「3点だから三角形」

と決めつけないことも重要です。

切断面が途中で別の辺と交われば、四角形や五角形、六角形になる場合があります。

家庭では、頭の中だけで考えさせず、箱やスポンジなど実物を使ってみてください。

そのうえで、

「最初の1本はどこ？」
「次はどの面へ進む？」

と小さく質問すると、子ども自身が断面を組み立てやすくなります。

切断問題は、完成形を当てる問題ではありません。

「面と面を順番につなぐ問題」と捉えると、算数が苦手な子でも取り組みやすくなります。

まずは基本的な三角形や四角形の断面から、1本ずつ線を引く練習を積み重ねていきましょう。