面積図の応用問題に強くなる算数対策

中学受験算数の面積図応用でつまずく理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の面積図応用問題でつまずく理由と、家庭でできる具体的な練習法を順を追って解説します。

基本の面積図を写すだけでは対応しにくい

中学受験算数で使う面積図とは、長方形を使って数量関係を整理する図です。名前に「面積」とありますが、図形問題だけで使うものではありません。つるかめ算、平均、割合、売買損益、食塩水など、文章題の関係を見える形にするときに使います。

面積図の基本は、「たて×横＝面積」です。ただし、ここでいう面積は、合計金額、合計点、食塩の量、全体量などを表します。

基本問題では、たて・横・面積に何を置けばよいかが比較的分かりやすいです。たとえば、つるかめ算なら、たてに1個あたりの金額、横に個数、面積に合計金額を置きます。

しかし応用問題になると、条件が増えます。全部をどちらで考えるのか、どの差を使うのか、どの全体量を基準にするのかを自分で判断しなければなりません。

解説の面積図を写すだけの学習では、この判断力が育ちにくくなります。応用問題では、完成図を覚えるのではなく、問題文から面積図を作る過程を身につけることが大切です。

応用問題では「何が全体か」が見えにくい

面積図の応用問題で最もつまずきやすいのは、「何が全体量なのか」が見えにくくなることです。

たとえば、平均の問題では、平均点、人数、合計点が関係します。食塩水では、濃さ、食塩水の量、食塩の量が関係します。売買損益では、原価、個数、合計金額、利益などが絡みます。

基本問題なら、どれが全体量かすぐに分かることが多いです。しかし応用問題では、途中で量が増えたり、混ぜたり、条件が変わったりするため、どの長方形の面積を全体として見るのかが分かりにくくなります。

たとえば、食塩水を混ぜる問題では、混ぜる前の食塩の量と、混ぜた後の食塩の量を分けて考える必要があります。ここを一つの長方形に無理にまとめると、図が分かりにくくなります。

面積図の応用では、「この長方形の面積は何を表すのか」を毎回確認することが大切です。

差や不足の面積を読み取る力が必要

面積図の応用問題では、長方形を描くだけでは不十分です。差や不足の面積を読み取り、そこから次に何を求めるかを考える必要があります。

たとえば、80円の商品と120円の商品を合わせて10個買い、合計1000円だったとします。全部を80円の商品だと考えると、80×10＝800円です。実際との差は200円です。1個を120円に変えると40円増えるので、200÷40＝5個と分かります。

この基本の考え方は、応用問題でも変わりません。ただし、応用では差がすぐに見えないことがあります。複数の条件から差を作ったり、基準となる長方形を自分で選んだりする必要があります。

面積図の応用で大切なのは、「差はどこの面積か」「1つあたりの差はいくつか」「その差は何個分か」を順に考えることです。

面積図の応用問題で必要な基本の考え方

まず「単位あたり・数・全体」を分ける

面積図を書く前に、まず問題文から「単位あたり」「数」「全体」を分けます。応用問題ほど数字が多くなるため、いきなり長方形を描き始めると混乱しやすくなります。

単位あたりとは、1個あたりの金額、1人あたりの点数、1Lあたりの濃さ、1個あたりの利益などです。数とは、個数、人数、量などです。全体とは、合計金額、合計点、食塩の量、合計利益などです。

たとえば、売買損益の問題なら、1個あたりの利益、売った個数、全体の利益を面積図で整理できることがあります。食塩水なら、濃さ、食塩水の量、食塩の量を対応させます。

家庭で教えるときは、「1つあたりはどれ？」「何個分・何人分の話？」「全体量は何？」と聞いてみましょう。この3つに分けるだけで、面積図の出発点が見えやすくなります。

長方形のたて・横・面積の意味を決める

面積図では、長方形を描く前に、たて・横・面積が何を表すのかを決めることが大切です。

つるかめ算なら、たては1つあたりの量、横は個数、面積は合計量です。平均なら、たては平均、横は人数、面積は合計です。食塩水なら、たては濃さ、横は食塩水の量、面積は食塩の量です。

応用問題では、この対応が途中で変わることがあります。たとえば、混ぜる前と混ぜた後では、食塩水の量や濃さが変わります。平均の問題でも、人数が増えたり減ったりすると、長方形の横の長さが変わります。

このとき、同じ図の中で何を表しているのかをあいまいにすると、式がずれます。子どもが面積図を描いたら、「このたては何？」「この横は何？」「この面積は何？」と確認しましょう。

差の面積から次に出す量を考える

面積図を書いたら、すぐに答えを出そうとせず、差の面積から次に何を求めるかを考えます。

つるかめ算なら、仮の合計と実際の合計の差を見ます。平均の問題なら、基準より多い部分と少ない部分を見ます。食塩水なら、混ぜる前後の食塩の量や、濃さの差を見ます。

応用問題では、答えを直接出せないことがよくあります。まず1つあたりの差を求めるのか、全体量を求めるのか、人数や個数を求めるのかを判断する必要があります。

家庭では、「この差は何を表している？」「1つ変えるといくつ差が出る？」「次に何が分かる？」と質問するとよいでしょう。面積図を描くだけでなく、図を見て考える力が育ちます。

面積図の応用でよく出る問題パターン

つるかめ算の応用は仮定と差を見る

面積図の応用でよく出るのが、つるかめ算の発展型です。

基本のつるかめ算では、「全部を安い方だと考える」「全部を少ない方だと考える」という仮定をします。そして、実際との差を使って、もう一方の個数を求めます。

応用では、個数だけでなく、合計金額、利益、点数、正解数などに置き換わることがあります。たとえば、「正解すると5点、不正解だと2点引かれる。20問解いて合計70点だった」という問題も、面積図の考え方で整理できます。

全部正解だったら何点か。実際との差はいくつか。1問を正解から不正解に変えると何点差が出るか。このように考えると、面積図で整理しやすくなります。

つるかめ算の応用では、問題の見た目が変わっても、「仮に全部同じなら」「実際との差は」「1つ変えると差はいくつ」という流れを保つことが大切です。

平均の応用は合計をならした図で考える

平均の応用問題でも、面積図は有効です。

平均は、全体を同じ高さにならしたものです。たとえば、5人の平均点が72点なら、合計点は72×5＝360点です。これを、たて72点、横5人、面積360点の長方形として考えます。

応用では、「何人か増えた」「1人の点数が分からない」「平均が変わった」といった条件が加わります。このとき、変化前と変化後の長方形を分けて描くと整理しやすくなります。

たとえば、4人の平均と5人の平均が分かっている問題では、それぞれの合計点を面積として考えます。5人の合計から4人の合計を引けば、増えた1人分の点数が分かります。

平均の応用では、平均だけを見るのではなく、必ず合計に戻して考えることが大切です。面積図は、その合計を見える形にしてくれます。

割合・食塩水の応用は全体量をそろえる

割合や食塩水の応用では、全体量をそろえて考えることが重要です。

食塩水では、「濃さ×食塩水の量＝食塩の量」と考えます。たとえば、10％の食塩水200gなら、食塩の量は20gです。面積図では、たてを濃さ、横を食塩水の量、面積を食塩の量として見ます。

応用では、食塩水を混ぜたり、水を加えたり、蒸発させたりする問題が出ます。このとき、変わる量と変わらない量を分けて考える必要があります。水を加えると食塩水全体の量は増えますが、食塩の量は変わりません。蒸発では水が減っても、食塩の量は変わらない場合があります。

割合の応用でも、「何に対する割合なのか」を確認する必要があります。基準となる全体量がずれると、面積図も式もずれてしまいます。

家庭では、「全体量は何？」「変わらない量はどれ？」「この面積は何を表す？」と聞くと、応用問題を整理しやすくなります。

家庭でできる面積図応用問題の練習法

基本問題の面積図を自力で再現する

応用問題に取り組む前に、まず基本問題の面積図を自力で再現できるか確認しましょう。

解説を見れば分かるけれど、自分では描けない子は少なくありません。この状態で応用問題に進むと、条件が増えたときに手が止まりやすくなります。

家庭では、解説を読んだ後に、問題文だけを見てもう一度面積図を描かせてみましょう。答えまで出せなくても構いません。たて・横・面積に何を置いたか、差の部分はどこか、求めるものはどこかを確認します。

つるかめ算なら、仮の長方形と実際との差が見えるか。平均なら、平均と人数から合計を面積にできるか。食塩水なら、濃さ・量・食塩の量の関係が見えるかを見ます。

基本の面積図を自力で作れるようになると、応用問題でも最初の一歩が出やすくなります。

途中までの面積図から続きを考える

面積図の応用練習では、途中までの図から続きを考える方法も効果的です。

たとえば、親が長方形だけを描き、子どもにたて・横・面積の意味を書かせます。つるかめ算なら、全部を安い方で考えた長方形だけを描き、実際との差を子どもに書かせます。平均なら、変化前の長方形だけを描き、変化後の長方形を子どもに作らせます。

この練習をすると、面積図は最初から完成させるものではなく、分かるところから書き足していくものだと分かります。

応用問題で大切なのは、白紙のまま悩み続けるのではなく、分かる量を長方形に入れて考えを進めることです。途中図から続きを考える練習は、初見問題への対応力を高めます。

「この面積は何？」と親が質問する

家庭で面積図の応用問題を教えるときは、答えが合ったかどうかだけで判断しないことが大切です。

子どもが面積図を描いたら、「この面積は何を表している？」と聞いてみましょう。

「全部を80円の商品だと考えた合計」
「5人分の合計点」
「食塩水に含まれる食塩の量」
「実際との差」
「増えた分の合計」

このように説明できれば、面積図を意味で理解できています。反対に、説明できない場合は、図を写しているだけの可能性があります。

応用問題では、図の意味を言葉にすることが特に大切です。親はすぐに正しい図を描くのではなく、「たては何？」「横は何？」「面積は何？」と確認しながら、子ども自身が考える時間を作りましょう。

まとめ｜面積図の応用は意味を図にできれば伸びる

中学受験算数の面積図応用問題は、基本問題よりも条件が増え、何を全体量として見るのか、どの差を使うのかが分かりにくくなります。そのため、基本の面積図を写すだけでは対応しにくく、問題文から自分で数量関係を整理する力が必要です。

面積図の基本は、「たて×横＝面積」です。たてに単位あたりの量、横に個数や人数、面積に全体量を置くことで、文章題の意味を見える形にできます。応用問題では、まず「単位あたり・数・全体」を分け、長方形のたて・横・面積の意味を決めることが大切です。

つるかめ算の応用では、仮に全部同じと考え、実際との差を見ます。平均の応用では、合計をならした長方形で考えます。割合や食塩水の応用では、全体量や変わらない量を確認しながら面積図を作ります。

家庭では、基本問題の面積図を自力で再現する練習から始めましょう。慣れてきたら、途中までの面積図から続きを考える練習を取り入れると効果的です。そして、答え合わせでは「この面積は何を表している？」と確認してください。

面積図の応用は、特別なひらめきではなく、数量の意味を長方形に置き換える力です。今日からは、答えだけでなく「図の意味を説明できるか」に目を向けて、文章題に強い算数の土台を育てていきましょう。