中学受験算数「場合の数」の入試対策と解き方

中学受験算数の入試で場合の数が問われる理由

この記事では、中学受験算数の入試で問われる「場合の数」の頻出形式、解く手順、家庭で進めたい得点対策を順番に解説します。

場合の数は、多くの中学入試で扱われる重要単元です。使う計算は足し算や掛け算が中心ですが、問題文から条件を読み取り、漏れなく数える方法を自分で考えなければなりません。

そのため、単純な計算練習だけでは測りにくい、受験生の整理力や判断力を確認できます。

計算力だけでなく条件整理の力が分かる

場合の数では、計算が速いだけでは正解できません。

たとえば、0・1・2・3の4枚から異なる2枚を使って2桁の整数を作る問題を考えます。単純に4×3＝12通りとすると、01、02、03のような2桁ではない並びまで数えてしまいます。

十の位には0を置けないため、十の位は1・2・3の3通りです。そのそれぞれについて一の位は残り3通りあるので、3×3＝9通りになります。

このように、入試では計算前に条件を処理できるかが問われます。「異なる」「少なくとも」「隣り合う」「必ず通る」などの言葉を正確に読み取る力が必要です。

基本から難問まで差をつけやすい

場合の数は、条件の数を変えることで難易度を調整しやすい単元です。

基本問題なら、3人を一列に並べる通り数を求めます。標準問題では、「Aさんを端にする」「BさんとCさんを隣り合わせる」といった条件が加わります。

さらに難しい問題では、複数の条件が重なり、場合分けや重複の処理が必要になります。

基本問題は確実に得点し、条件の多い問題では解くべきか判断することが重要です。すべての問題を同じ時間で解こうとすると、難問に時間を使いすぎる恐れがあります。

他単元との複合問題を作りやすい

入試では、「場合の数」という題名で出題されるとは限りません。

条件を満たす整数を作る問題では、数の性質と組み合わされます。図形の中にある三角形を数える問題では、平面図形の知識が必要です。サイコロやカードの問題では、規則性や確率につながる考え方も使います。

見た目が整数や図形の問題でも、「条件に合うものを漏れなく数える」必要があれば、場合の数の力が問われています。

単元別教材だけでなく、複合問題の中で数え上げに気づく練習も必要です。

場合の数の入試でよく出る問題

場合の数には多くの出題形式がありますが、中学入試で優先して対策したい型は限られています。まずは次の5つを押さえましょう。

数字や人の並べ方

カードや人を並べる問題は、場合の数の代表的な入試問題です。

A・B・Cの3人を一列に並べるなら、最初の場所は3通り、2番目は残った2通り、最後は1通りです。したがって、3×2×1＝6通りになります。

入試では、ここに条件が加わります。「AとBが隣り合う」「Cを端に置く」「偶数を作る」などです。

AとBが隣り合う場合は、AとBを一つのまとまりとして考えます。偶数を作る場合は、一の位を先に固定します。条件に最も強く関係する位置や人から決めることがポイントです。

人や物の選び方

委員や代表者を選ぶ問題では、順番や役割を区別するかが問われます。

4人から委員長と副委員長を選ぶ場合、委員長は4通り、その後の副委員長は3通りなので、4×3＝12通りです。

一方、4人から単に2人を選ぶ場合、AとBを選ぶことと、BとAを選ぶことは同じです。AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りになります。

「役職」「順位」「並ぶ位置」があれば順番を区別します。「グループ」「組」「代表を数人選ぶ」だけなら、同じ集まりを重ねて数えないよう注意しましょう。

道順と移動の通り数

碁盤の目のような道を最短で進む問題も、入試でよく見られます。

基本的な方法は、各地点までの道順の数を書き込むことです。ある交差点へ左と下から進めるなら、左の地点までの通り数と下の地点までの通り数を足します。

応用問題では、「指定された地点を必ず通る」「通行できない道がある」「途中で遠回りしてよい」などの条件が加わります。

指定地点を必ず通る場合は、出発点から指定地点までと、指定地点から目的地までを分けて数えます。その2つの移動が続けて起こるため、最後に掛け合わせます。

色の塗り分けと図形の数え上げ

隣り合う場所を異なる色で塗る問題や、図の中にある図形の個数を数える問題も頻出です。

横一列の3区画を3色で塗り、隣同士を異なる色にするなら、最初は3通り、2番目は2通り、3番目も2通りです。したがって、3×2×2＝12通りになります。

ただし、円形に並んだ区画では最初と最後も隣り合います。直線状の塗り分けと同じ式では求められません。

図形を数える問題では、大きさや向きを固定して調べます。小さい三角形から数えた後、大きい三角形へ進むなど、基準を一つずつ変えることが漏れを防ぐコツです。

「少なくとも」を含む条件付き問題

「少なくとも1回」「一つ以上含む」「同じものが隣り合わない」といった条件付き問題は、標準以上の入試で差がつきます。

「少なくとも1回」は、1回だけではなく、2回、3回の場合も含みます。

たとえば、硬貨を3回投げて少なくとも1回表が出る場合を考えます。表が1回、2回、3回の場合を直接数えるより、全8通りから一度も表が出ない「裏・裏・裏」の1通りを引く方が簡単です。答えは7通りです。

条件に合う場合を直接数える方法と、全体から反対の場合を引く方法の両方を知っておくと、入試で安全な方法を選べます。

入試で場合の数を解くための4つの手順

問題の見た目が変わっても、解くときの基本手順は共通しています。次の4段階を習慣にしましょう。

何を1通りとして数えるか決める

最初に、何がすべて決まれば1通りになるのかを確認します。

整数を作る問題なら、すべての位が決まって1通りです。選び方なら、必要な人数や物がそろって1通りです。道順なら、出発点から目的地までの経路が完成して1通りになります。

ここが曖昧なまま数え始めると、途中の選択を答えに含めたり、完成していないものを数えたりします。

問題用紙の余白に「3人の並びが完成して1通り」のように短く書くと、何を数えているのか見失いにくくなります。

順番を区別するか確認する

次に、順番を入れ替えたとき、別の結果になるかを確認します。

Aが1番、Bが2番の場合と、Bが1番、Aが2番の場合は別です。しかし、AとBを同じ係として選ぶだけなら、順番を変えても同じ組です。

迷ったら、実際に入れ替えてみましょう。役割、位置、作られる数が変わるなら別の1通りです。選ばれた集まりが変わらないなら、同じ1通りとして扱います。

「順番あり」「順番なし」と書いてから解くだけでも、答えが2倍になる重複ミスを減らせます。

固定する条件と場合分けを決める

漏れなく数えるためには、一つの条件を固定します。

整数を作るなら先頭や一の位、人を並べるなら特定の人の位置、色を塗るなら最初の場所の色を固定します。

特に、偶数を作る問題では一の位を固定し、先頭に0を置けない問題では最高位を先に考えると整理しやすくなります。

場合分けは、互いに重ならない条件で行うことが重要です。「一の位が0の場合」と「一の位が2の場合」のように、同時には起こらない分け方なら、最後に足し合わせられます。

漏れと重なりを別の方法で点検する

答えが出た後は、計算だけでなく数え方を確認します。

樹形図なら、途中で枝を省略していないかを見ます。表なら、空欄にしたマスが本当に条件に合わないかを確認します。書き出しなら、固定した条件を最後まで順番に変えたかを見直します。

場合が少なければ、別の方法でも確かめましょう。書き出しで12通り、掛け算でも12通りと一致すれば、答えの信頼性が高まります。

入試本番では、答え全体をやり直すより、「固定した条件を全部調べたか」「同じものを二度数えていないか」の2点を確認する方が効率的です。

場合の数を入試の得点源にする対策法

入試対策では、難問ばかりを解く必要はありません。取るべき問題を確実に正解し、難しい問題に時間を使いすぎない力が求められます。

基本・標準・発展の3段階で練習する

最初は、条件の少ない基本問題で、書き出しや樹形図を正確に使えるようにします。

次に、「偶数を作る」「特定の人を端に置く」など、条件が一つ加わった標準問題へ進みます。最後に、複数の条件や他単元を含む発展問題へ取り組みます。

目安として、基本問題を5問中4問以上、数え方を説明しながら正解できてから標準問題へ進みましょう。

発展問題で解説を覚えるより、基本・標準問題を翌日にも再現できる方が、入試での得点は安定します。

正解率より失点原因を記録する

場合の数の間違いは、主に「漏れ」「重なり」「条件ミス」「方法選択」の4種類に分けられます。

数えるべきものを落としたら漏れ、同じ場合を二度数えたら重なりです。問題文の制約を守らなかったら条件ミス、樹形図が複雑になりすぎたなどは方法選択のミスです。

ノートには、「条件ミス・0を先頭に置いた」のように一行で記録します。

3～5問分を並べると、子どもの弱点が見えます。失点原因に合わせて練習内容を変える方が、過去問を何度も解き直すより効率的です。

過去問では解く時間と撤退時間を決める

場合の数の入試問題は、書き出しが増えると時間を使いやすい単元です。

過去問を解くときは、正解したかだけでなく、最初の方針を決めるまでの時間と、解答全体にかかった時間を記録します。

基本・標準問題なのに10分以上手が止まる場合は、整理方法が定まっていない可能性があります。反対に、複雑な発展問題で場合分けが増え続けるなら、いったん後回しにする判断も必要です。

本番では、最初の2～3分で樹形図や場合分けの方針が立たなければ印をつけ、他の問題へ進む方法があります。戻る時間も含めて過去問で練習しておきましょう。

家庭では答えより整理の根拠を確認する

家庭で親が難しい解法を教える必要はありません。

子どもが解き終えたら、「何を1通りとしたの？」「何を固定したの？」「順番を入れ替えたら別になる？」「すべての場合を調べた？」と聞いてください。

正解していても説明できなければ、偶然正解した可能性があります。反対に不正解でも、整理の方針が正しければ、最後の漏れだけを直せばよい場合があります。

「十の位を固定した考え方は合っているね」と、正しかった手順を具体的に認めると、次の問題でも同じ方法を再現しやすくなります。

まとめ｜場合の数は入試でも整理の基本が得点を支える

中学受験算数の入試では、数字や人の並べ方、選び方、道順、色の塗り分け、「少なくとも」を含む条件付き問題がよく出題されます。

見た目は異なっても、何を1通りとするか決め、順番を区別するか確認し、一つの条件を固定して数えるという基本は共通しています。

入試対策では、基本・標準・発展の順に進み、正解率だけでなく「漏れ」「重なり」「条件ミス」「方法選択」のどこで失点したかを記録しましょう。

過去問では、解答時間も確認します。方針が立たない難問へ時間を使いすぎず、確実に取れる問題を先に得点する判断も大切です。

家庭では答えや式をすぐに教えず、「何を固定したの？」「順番を変えたら別？」「数えていない場合はない？」と問いかけてください。

場合の数は、特別なひらめきだけで解く単元ではありません。条件を読み、一つずつ整理する基本を積み重ねれば、算数が苦手な子でも入試で安定した得点につなげられます。