中学受験算数の入試で線分図を使う問題と対策

中学受験算数の入試で線分図が重要な理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の入試で線分図が役立つ問題、書くべき場面の見分け方、家庭で得点力につなげる方法を順番に解説します。

線分図は文章中の数量関係を整理する道具

線分図は、文章題に出てくる数量を線の長さで表し、大小、差、全体と部分、倍や比の関係を見えるようにする図です。

たとえば、次の問題を考えてみましょう。

「兄と弟の所持金は合わせて3,000円で、兄は弟より600円多く持っています」

線分図にすると、次のようになります。

兄　｜――――――｜＋600円
弟　｜――――――｜
合計　3,000円

兄の余分な600円を合計から取り除くと、同じ長さの部分が2本残ります。

3,000－600＝2,400
2,400÷2＝1,200

弟は1,200円、兄は1,800円です。

入試で大切なのは、線分図をきれいに描くことではありません。文章に隠れた関係を整理し、式を立てやすくすることです。

条件の多い入試問題ほど効果を発揮する

塾の基本問題では、文章が短く、使う数字も少ないため、線分図を書かなくても解けることがあります。

しかし、入試では条件が増えます。

・最初の人数と後から増えた人数
・もとの金額と値上げ後の金額
・使う前と使った後の残り
・現在と数年後の年齢
・全体に対する割合と残りに対する割合

こうした問題を頭の中だけで処理すると、「何を基準にした割合か」「どの数字が合計か」を取り違えやすくなります。

線分図を書けば、問題文を何度も読み直さなくても、条件を図の上で確認できます。

一見すると遠回りに見えますが、立式のやり直しを減らせるため、結果的に解答時間を短くできる場合があります。

途中式や考え方を残す手段にもなる

入試では、答えだけでなく式や考え方を書かせる学校もあります。

そのような問題では、線分図が考え方を伝える材料になります。

たとえば、比が2対3で合計が40個という問題なら、

A　｜――｜――｜
B　｜――｜――｜――｜
合計　40個

と書くことで、全部を5つ分と考えたことが伝わります。

そのうえで、

40÷5＝8

と書けば、1つ分を求めた理由が明確です。

途中の計算を間違えた場合でも、考え方が正しく残っていれば、部分点を得られる可能性があります。

また、見直しの際にも、図が残っていると自分がどこで考え違いをしたか確認しやすくなります。

入試で線分図を使う頻出問題

和差算・年齢算では差を見えるようにする

和差算では、二つの量の合計と差を線分図で表します。

「AとBの合計が2,400で、AはBより400大きい」という条件なら、差を取り除いて同じ部分を二つ作るのが基本です。

年齢算でも、差に注目します。

「現在、母は42歳、娘は12歳です。母の年齢が娘の2倍になるのは何年後ですか」

現在の年齢差は、

42－12＝30歳

です。

母が娘の2倍になるときは、次のように表せます。

母　｜――――｜――――｜
娘　｜――――｜
差　　　　30歳

差の1つ分が30歳なので、そのとき娘は30歳です。

30－12＝18

したがって18年後です。

年齢算では、親子とも毎年1歳ずつ増えるため、年齢差は変わりません。線分図でこの差を残すと、現在と未来の関係を整理しやすくなります。

比・割合では同じ1つ分をそろえる

比の問題では、同じ大きさのまとまりを何個分ずつ持つかを表します。

「赤と白の玉の比が2対3で、合計が45個」という問題なら、

赤　｜――｜――｜
白　｜――｜――｜――｜
合計　45個

全部で5つ分なので、

45÷5＝9

1つ分は9個です。

赤は18個、白は27個となります。

割合の問題では、まず100％にあたる基準量を決めます。

「定価の20％引きで買うと2,400円でした」という問題では、定価が100％、売価が80％です。

売価の80％が2,400円なので、

2,400÷0.8＝3,000

定価は3,000円です。

割合で線分図を使うと、「何をもとにした20％なのか」を確認でき、基準量の取り違えを防げます。

売買損益・相当算では基準量を整理する

売買損益では、原価、定価、売価という三つの量が登場します。

たとえば、原価に20％の利益を加えて定価をつけ、そこから10％引きで販売する問題です。

ここでは、20％は原価を基準にし、10％は定価を基準にしています。

同じ割合でも、もとになる量が違います。

原価　100％
定価　原価の120％
売価　定価の90％

この関係を線分図や簡単な帯状の図で整理すると、どの量に割合を掛けるか分かりやすくなります。

相当算でも、「全体の3分の1を使い、その残りの4分の1を使った」のように、途中で基準が変わります。

2回目の4分の1は、全体ではなく残りに対する割合です。

線分図を途中で分けることで、全体と残りを混同せずに考えられます。

複数単元の組み合わせ問題にも使える

実際の入試では、単元名がすぐに分からない問題も出題されます。

たとえば、人数の比が途中で変化する問題や、お金を分けた後に一部を移動させる問題です。

このような問題では、「これは和差算の公式」「これは比の公式」と決めつけるより、変化の前後を線分図で表すほうが有効です。

最初　A｜――｜――｜――｜
　　　B｜――｜――｜

移動後A｜――｜――｜
　　　B｜――｜――｜――｜

このように二つの状態を並べると、何が増え、何が減ったかを確認できます。

入試で問われるのは、覚えた図を再現する力だけではありません。問題の条件に合わせて、線分図を組み替える力です。

入試で線分図を書くべき問題の見分け方

数量の大小や差が文章だけでは見えない

線分図を書くべきか迷ったら、問題文を読んだときに数量の大小や差がすぐ分かるか確認します。

次のような言葉がある問題では、線分図が役立ちます。

・より多い、より少ない
・合わせて
・残り
・何倍
・何対何
・増えた、減った
・同じになった

これらは、量どうしの関係を表す言葉です。

文章を2回読んでも、「誰が多いのか」「差はどこにあるのか」が分からない場合は、短い線を1本書いてみましょう。

最初から完成図を描く必要はありません。比べる量を2本の線にするだけでも、情報を整理できます。

割合の基準が途中で変わる

線分図が特に有効なのは、割合の基準が途中で変わる問題です。

「全体の30％を使い、残りの20％を使った」という問題では、最初の30％は全体が基準です。

一方、次の20％は、残りが基準です。

この違いを文章だけで考えると、両方を全体に対する割合として計算してしまうことがあります。

全体　｜――――――――――｜
使用　｜―――｜30％
残り　　　｜―――――――｜
追加使用　残りの20％

このように段階を分ければ、基準が変わる場所が見えます。

「その残り」「残ったうち」「さらに」といった表現が出たら、線分図を分けて書くことを検討しましょう。

登場する量や条件が3つ以上ある

二つの量だけなら、簡単な式で処理できることがあります。

しかし、三人の所持金、三種類の商品、変更前・変更後・合計など、登場する量が増えると混乱しやすくなります。

次の条件に当てはまる場合は、図を書く価値があります。

・登場人物が3人以上
・差や比が2組以上ある
・前後で数量が変化する
・合計と残りが同時に出る
・求めるまでに計算が2段階以上必要

すべてを一つの線分図に詰め込む必要はありません。

変化前と変化後を分ける、必要な二つの量だけを先に書くなど、複数の簡単な図に分ける方法もあります。

簡単な問題には無理に書かない

線分図は便利ですが、すべての問題に書けばよいわけではありません。

たとえば、「800円の25％はいくらですか」という基本問題なら、

800×0.25＝200

とすぐ式が立つ子は、無理に線分図を書く必要はありません。

入試では時間配分も重要です。

次のような問題では、式だけで進めてもよいでしょう。

・条件が一つしかない
・使う数字と計算がすぐ分かる
・図を書かなくても説明できる
・計算が一段階で終わる

線分図を書く目的は、解答時間を増やすことではなく、誤読や立式ミスを防ぐことです。

「必ず書く」ではなく、「書いたほうが速く正確になる問題で使う」と考えましょう。

線分図を入試得点につなげる家庭学習

基本問題で書く手順を固定する

入試問題だけを使って線分図を練習すると、問題の難しさに意識を取られ、書き方が定着しにくくなります。

まずは基本問題で、次の手順を固定します。

1. 求めるものを確認する
2. 何と何を比べるか決める
3. 線の左端をそろえる
4. 同じ量を同じ長さで表す
5. 数字・単位・疑問符を書く
6. 図から最初に分かることを式にする

和差算、比、割合の基本問題を1日1～2問使い、同じ手順を繰り返します。

線分図の形を暗記するのではなく、書く順番を身につけることが大切です。

過去問では図を書く判断も振り返る

過去問演習では、正解か不正解かだけでなく、線分図を使う判断も振り返ります。

間違えた問題について、次の点を確認しましょう。

・図を書かなかったため、条件を読み落としたか
・図を書いたが数字の位置を間違えたか
・図は正しかったが式につながらなかったか
・図を書くのに時間をかけすぎたか
・線分図ではなく表のほうが適していたか

たとえば、割合の基準を間違えたなら、図を書く前に「100％にあたるもの」を確認する練習が必要です。

図は書けても式が出ないなら、「図から最初に分かること」を言葉にする練習を行います。

過去問は答え合わせだけで終わらせず、図の使い方を改善する教材として活用しましょう。

簡略図を30秒から1分で書く練習をする

入試本番では、線分図を丁寧に書きすぎると時間が足りなくなります。

家庭学習では、基本を理解した後に簡略図を書く練習をします。

必要なのは、次の情報です。

・比べる量の名前
・大小関係
・同じ部分の数
・差や合計
・数字と単位
・求める場所

定規を使う必要はありません。長い線も、問題を考えられる程度の長さで十分です。

まずは1分以内を目安にし、慣れてきたら30秒程度で骨組みを書けるようにします。

ただし、速さだけを優先して数字を落とすと意味がありません。正確さが保てる範囲で短くすることが大切です。

図・式・答えを一続きで説明させる

線分図を入試得点につなげるには、図を書いて終わりにしないことが重要です。

子どもに、次の順番で説明させます。

「この線は何を表している？」
「どの部分が差や比なの？」
「図から最初に何が分かる？」
「そのためにどの式を使う？」
「求めた答えは問題の何にあたる？」

たとえば和差算なら、

「600円の差を取ると同じ部分が二つ残るので、3,000－600をします。その後、2で割って弟の金額を求めます」

と説明できれば、図と式が結びついています。

口頭で説明できる問題は、条件が少し変わっても対応しやすくなります。

まとめ

中学受験算数の入試で線分図が重要なのは、数量の大小、差、合計、比、割合といった関係を見えるようにできるからです。

特に、和差算、年齢算、比、割合、売買損益、相当算、複数単元を組み合わせた問題で役立ちます。

問題文を2回読んでも関係が見えない、割合の基準が途中で変わる、登場する量や条件が3つ以上ある場合は、線分図を書くことを検討しましょう。

一方、式がすぐ立ち、計算が一段階で終わる基本問題では、無理に書く必要はありません。

家庭学習では、まず基本問題で書く手順を固定します。その後、過去問を使って、どの問題で線分図を選ぶか、図が失点防止に役立ったかを振り返りましょう。

入試本番では、美しい図よりも、30秒から1分で数量関係を整理できる簡略図が役立ちます。

線分図を「書くこと」だけで終わらせず、図から式を立て、答えまで説明できるようにすることが、得点につなげるためのポイントです。