中学受験算数の線分図｜応用問題を解くコツ

線分図の応用問題でつまずく3つの原因

この記事では、中学受験算数の応用問題で線分図を使えない原因と、複数の条件を整理して自力で解くための手順を分かりやすく解説します。

線分図は、和差算や倍数算の基本問題だけで使うものではありません。年齢算、割合、相当算、分配算、売買損益など、複数の数量関係を含む応用問題でも役立ちます。

ただし、基本問題で使った図をそのまま当てはめるだけでは、応用問題には対応できません。

応用問題で求められるのは、複雑な図を覚えることではなく、問題文の条件を一つずつ整理し、必要な部分だけを線で表す力です。

最初から完成図を描こうとせず、「何を比べるのか」「どの量を基準にするのか」「同じ部分はどこか」という順番で考えると、難しく見える問題も整理しやすくなります。

基本の線分図を形だけ覚えている

基本問題では、二本の線を描き、差や合計を書き込めば答えを求められることが多くあります。

例えば、「兄と弟の所持金の合計は2,800円で、兄は弟より400円多い」という和差算では、兄の線を弟より長く描くだけで関係を表せます。

ところが応用問題では、登場する量が三つになったり、途中で割合が変わったりします。基本問題の完成形だけを覚えている子は、見慣れない条件が加わると、どの線から描けばよいか分からなくなります。

線分図は型を当てはめる公式ではありません。

「同じ量は同じ長さ」「多い量は長くする」「差ははみ出した部分」という基本原則を使い、問題に合わせて組み立てる道具です。

家庭では、完成した図を覚えさせるより、「なぜこの線を長くしたの？」「この部分は何を表している？」と図の意味を説明させましょう。

複数の条件を一度に図へ入れようとしている

応用問題には、合計・差・倍数・割合などが同時に登場します。

子どもが問題文を一度読んだだけで、すべての条件を図へ書き込もうとすると、数字の置き場所が分からなくなります。

例えば、次の問題です。

「A、B、Cの3人が合計3,300円を持っています。BはAより300円多く、CはBの2倍持っています」

この問題では、AとBの差、BとCの倍数、3人の合計という三つの条件があります。

最初から完成図を描くのではなく、まずAを一本の線で表します。次に、BをAより300円長く描き、その後でCをBの2本分として加えます。最後に全体へ3,300円と書き込みます。

条件を問題文に出てきた順番で一つずつ追加すれば、複雑な関係も整理できます。

図を描いた後の計算につなげられない

線分図は描けていても、そこから式を作れない子もいます。

原因は、図を完成させること自体が目的になっているからです。

図を描いた後は、「分かっている部分を除くと何が残るか」「同じ長さがいくつあるか」を確認します。

先ほどの問題であれば、Aを1本分とすると、Bは1本分と300円、CはBの2倍なので、Aの2本分と600円です。

3人の合計は、Aの4本分と900円になります。

したがって、

（3,300－900）÷4＝600

となり、Aは600円です。

線分図から式を作るには、余分な部分を取り除き、同じ長さを何本分にそろえられるかを見ることがポイントです。

中学受験算数で線分図を応用する基本手順

求める量と基準になる量を決める

応用問題では、最初に「何を求めるのか」を確認します。

問題文の質問部分に線を引き、求める量へ丸をつけましょう。

次に、線分図の基準となる量を決めます。基本的には、最も少ない量や、ほかの量と比較されているものを一本の線として描くと整理しやすくなります。

例えば「BはAより300円多い」「CはBの2倍」なら、最初の基準はAです。

基準を途中で変えると、線の長さや数字の意味が分かりにくくなります。最初に一本分を決め、それをもとにほかの量を加えていくことが大切です。

条件を一つずつ線分図に加える

基準となる線を描いたら、問題文の条件を一つずつ追加します。

一文目でAとBの差が分かったら、その関係だけを描きます。次の文でCがBの2倍だと分かったら、Bと同じ長さをもう一本加えます。

子どもが途中で混乱したら、問題文に①、②、③と番号を振り、図にも同じ番号を書いてみてください。

どの文から、どの線や数字が加わったのかが分かります。

応用問題では、問題文を読み終えてから図を描くのではなく、一つの条件を読んだら図へ反映する進め方が有効です。

同じ量をそろえて差を見つける

線分図を使う計算では、異なる長さの線から余分な部分を取り除き、同じ長さへそろえることがよくあります。

例えば、姉が妹の3倍より200円少なく、二人の合計が3,000円という問題を考えます。

妹を1本分とすると、姉は3本分から200円を引いた長さです。二人の合計は4本分より200円少ないので、合計へ200円を足せば、同じ長さ4本分になります。

式は、

（3,000＋200）÷4＝800

となり、妹は800円です。

問題文に「少ない」とあるから、必ず引き算になるわけではありません。

線分図を見て、何を加えれば同じ長さになるのか、何を除けば同じ長さになるのかを判断しましょう。

図の一部分がいくつ分かを考える

応用問題では、差として示された数字が、基準となる線の何本分に当たるかを考える場面があります。

例えば、「父の年齢は子の4倍で、年齢差は36歳」という問題では、子を1本分、父を4本分として表します。

父と子の差は3本分です。その3本分が36歳なので、

36÷3＝12

となり、子は12歳です。

重要なのは、4倍だから36を4で割るのではなく、差が何本分なのかを図で確認することです。

数字と計算方法を機械的に結びつけるのではなく、「この数字は図のどの部分に当たるか」と考える習慣が応用力につながります。

線分図が役立つ応用問題の代表パターン

条件が3つ以上ある分配算

分配算の応用では、3人以上の量を異なる条件で比べます。

例えば、「A、B、Cの3人に4,200円を分けます。BはAより300円多く、CはAの2倍より200円少なく受け取ります」という問題です。

Aを1本分とすると、Bは1本分と300円、Cは2本分から200円を引いた量です。

3人の合計は、Aの4本分に100円を加えた量になります。

したがって、

（4,200－100）÷4＝1,025

となり、Aは1,025円です。

条件が多い分配算では、全員の量を最も少ない人や基準となる人へそろえることがポイントです。

年齢差と倍数を組み合わせた年齢算

年齢算の応用では、現在・過去・未来の年齢と倍数関係が組み合わされます。

例えば、「現在、母は38歳、子は8歳です。母の年齢が子の年齢の3倍になるのは何年後ですか」という問題です。

母と子の年齢差は現在30歳で、この差は何年後でも変わりません。

母が子の3倍になるとき、子を1本分、母を3本分とすると、差は2本分です。

30÷2＝15

そのときの子は15歳なので、現在の8歳から7年後だと分かります。

年齢算では、毎年変わる年齢そのものより、変わらない年齢差を線分図に残すことが重要です。

基準が変わる割合・相当算

割合の応用問題では、文ごとに基準となる量が変わることがあります。

例えば、「AはBの80％で、BはCの75％です。Aが120個のとき、Cはいくつですか」という問題です。

Bを100％とすると、Aは80％です。一方、Cを100％とすると、Bは75％になります。

基準が違うため、80％と75％をそのまま同じ線の上に並べることはできません。

まず、

120÷0.8＝150

としてBを求め、次に、

150÷0.75＝200

としてCを求めます。

線分図には、それぞれ「Bを100％」「Cを100％」と基準を明記します。割合の応用では、何を一本全体としているのかを書き忘れないことが大切です。

増減を逆算する売買損益

売買損益では、原価、定価、売価が異なる割合で結ばれています。

例えば、「原価に25％の利益を加えて定価をつけ、定価の20％引きで売ったところ、売価は2,000円でした。原価はいくらですか」という問題です。

定価を100％とすると、売価は80％です。

2,000÷0.8＝2,500

よって、定価は2,500円です。

次に原価を100％とすると、定価は125％なので、

2,500÷1.25＝2,000

となります。

この問題では結果的に売価と原価が同じですが、「25％増やしてから20％減らすと元に戻る」と暗記してはいけません。増減の基準が異なるからです。

線分図で各段階の100％が何を表すか確認すると、割合の基準を取り違えにくくなります。

家庭で応用力を育てる線分図の練習法

基本問題に条件を一つ加えて練習する

基本から応用へ進むときは、難易度を急に上げないことが大切です。

まずは、子どもが解ける基本問題へ条件を一つだけ加えます。

「兄と弟の合計と差」から始めたなら、次は「兄は弟の2倍より300円多い」という条件に変えます。

一度に登場人物、割合、時間変化をすべて増やすと、どこでつまずいたのか分かりません。

基本の図に何が追加されたのかを確認しながら、条件を一つずつ増やしましょう。

計算せず線分図だけを描く

応用問題の練習では、毎回答えまで求める必要はありません。

問題文を読んで線分図だけを描く練習なら、1回10分で2～3問に取り組めます。

確認するのは、基準の線を決められたか、条件を正しい順番で加えたか、差や割合を正しい場所に書けたかの3点です。

計算の負担を外すことで、文章から図へ変換する力に集中できます。

図が正しく描けるようになってから、式を説明する練習へ進みましょう。

間違えた図を部分的に直す

線分図を間違えたとき、すべて消して最初から描き直させると、子どもは図を描くこと自体を嫌がる場合があります。

まず、「どこまでは合っているか」を確認してください。

AとBの大小関係が合っているなら、その部分は残します。割合の基準だけが違うなら、基準を書き直します。

「全部違う」ではなく、「この線の長さは合っている。数字の場所だけ直そう」と具体的に伝えると、子どもは修正点を理解しやすくなります。

応用問題では、間違いを消すことより、自分で不整合に気づいて直す力が重要です。

初見問題では30秒考えてから描く

線分図を習慣にすると、問題を読んですぐ線を引き始める子もいます。

しかし、応用問題では、何を基準にするか決めずに描き始めると、途中で図が足りなくなることがあります。

初見問題では、最初の30秒で次の3点を確認します。

何を求めるのか、何と何を比べるのか、どの量を1本分にするのかです。

この3点を決めてから線を描くと、書き直しが減ります。

入試本番でも、すぐに計算へ進むより、短時間で問題の構造を見抜いたほうが、結果的に速く正確に解けます。

まとめ

中学受験算数の線分図を応用問題で使うには、複雑な完成図を暗記する必要はありません。

応用問題でつまずく主な原因は、基本の形だけを覚えていること、複数の条件を一度に書こうとすること、図から計算へつなげられないことです。

まず求める量と基準となる量を決め、問題文の条件を一つずつ線分図へ加えてください。

図が完成したら、余分な部分を加減して同じ長さへそろえ、分かっている数字が何本分に当たるかを考えます。

線分図は、条件が3つ以上ある分配算、年齢差と倍数を扱う年齢算、基準が変わる割合・相当算、増減を逆算する売買損益などで特に役立ちます。

家庭学習では、基本問題へ条件を一つだけ追加し、計算をせずに図だけを描く練習も取り入れましょう。

間違えたときは図をすべて否定せず、正しく描けた部分と直す部分を分けて伝えることが大切です。

応用問題とは、特別な解法を使う問題ではなく、基本となる数量関係が複数組み合わされた問題です。

一つの条件を一つの線や印に置き換える習慣が身につけば、長い問題文でも落ち着いて整理できるようになります。線分図を答えを出すための型ではなく、複雑な条件をほどくための道具として使える状態を目指しましょう。