中学受験算数の面積図｜基本の書き方と使い方

中学受験算数で使う面積図の基本

この記事では、面積図が何を表す図なのかを基本から整理し、正しい書き方と代表的な問題への使い方を順を追って解説します。

面積図は3つの量の関係を表す

面積図とは、掛け算で結びつく3つの量を、長方形の縦・横・面積に置き換えて表す図です。

長方形の面積は、

縦×横＝面積

で求めます。

中学受験算数では、この関係を文章題に当てはめます。

たとえば、割合の問題では、

もとにする量×割合＝比べる量

という関係があります。

800円の25％を求める場合は、

800×0.25＝200

です。

面積図では、800円と0.25を長方形の縦と横に置き、掛け算の答えである200円を長方形の中に書きます。

面積図の基本は、図形の面積を求めることではありません。文章題に出てくる3つの量が、どのような掛け算で結びついているかを見える形にすることです。

長方形の面積を文章題に置き換える

面積図は、単元によって縦・横・面積が表すものが変わります。

割合なら、

• もとにする量
• 割合
• 比べる量

平均なら、

• 個数
• 平均
• 合計

食塩水なら、

• 食塩水全体の重さ
• 濃度
• 食塩の重さ

です。

それぞれ見た目は異なる問題ですが、共通しているのは、2つの量を掛けると3つ目の量になる点です。

たとえば平均なら、

個数×平均＝合計

食塩水なら、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

となります。

この共通点が分かると、面積図を単元ごとに別の解法として覚える必要がなくなります。

線分図と面積図の違いを知る

線分図と面積図の違いが分からず、混乱する子もいます。

線分図は、主に量の大小、差、合計、比を線の長さで表します。

たとえば、

「姉は妹より500円多く持っている」

という問題なら、姉を長い線、妹を短い線で表します。

一方、面積図は、掛け算でつながる3つの量を長方形で表します。

使い分けの目安は次のとおりです。

• 差や合計を比べたいときは線分図
• 3つの量の掛け算関係を整理したいときは面積図

ただし、割合の問題などは、線分図でも面積図でも解ける場合があります。

どちらが正しいかを決めるより、子どもが数量関係を理解しやすい図を選ぶことが大切です。

面積図の基本的な書き方

手順1は問題に出てくる3つの量を探す

面積図を書くときは、いきなり長方形を描かないようにします。

最初に、問題文に出てくる3つの量を探します。

次の問題を例に考えてみましょう。

「1冊120円のノートを8冊買いました。代金はいくらですか」

この問題の3つの量は、

• 1冊当たりの値段
• 冊数
• 代金

です。

関係は、

1冊当たりの値段×冊数＝代金

となります。

120×8＝960

なので、代金は960円です。

面積図の練習では、まず「何と何を掛けると何になるか」を言葉で確認します。

手順2は縦・横・面積の役割を決める

3つの量を見つけたら、長方形の縦・横・面積に割り当てます。

先ほどのノートの問題なら、たとえば、

• 横を冊数
• 縦を1冊当たりの値段
• 面積を代金

とします。

縦と横を入れ替えても、掛け算の答えは変わりません。

ただし、学習中に毎回位置を変えると混乱しやすいため、同じ種類の問題では書き方をそろえましょう。

面積図が苦手な子にとって大切なのは、縦と横の位置を丸暗記することではありません。

「この辺は何を表しているのか」
「長方形の中は何の量なのか」

を説明できることが重要です。

手順3は分かっている数字を書き込む

次に、問題文で分かっている数字を面積図へ書き込みます。

たとえば、

「600円の30％はいくらですか」

という問題なら、

• もとにする量は600円
• 割合は30％
• 比べる量は不明

です。

長方形の横に600円、縦に30％を書きます。

式にするときは、

30％＝0.3

に直し、

600×0.3＝180

と求めます。

面積図に数字を書くときは、数字だけでなく「円」「人」「g」などの単位も付けると、何の量なのか分かりやすくなります。

手順4は求める場所に「？」を付ける

面積図を書いたら、求める場所に「？」を付けます。

先ほどの問題では、比べる量が不明なので、長方形の中に「？」を書きます。

すると、縦と横が分かっているため、掛け算で求めると判断できます。

一方、

「180円は600円の何％ですか」

という問題なら、割合が不明です。

長方形の中に180円、横に600円を書き、縦に「？」を付けます。

式は、

180÷600＝0.3

となり、答えは30％です。

面積図では、

• 面積が「？」なら掛け算
• 縦や横が「？」なら割り算

と考えられます。

求める場所を明確にすることが、正しい式を選ぶための基本です。

面積図を使う代表的な問題

割合は「もとにする量×割合」で考える

割合の基本関係は、

もとにする量×割合＝比べる量

です。

たとえば、

「定価2,000円の商品を20％引きで買いました。代金はいくらですか」

という問題を考えます。

定価2,000円が100％です。

値引き額は、

2,000×0.2＝400円

です。

代金は、

2,000－400＝1,600円

となります。

また、支払う割合を、

100％－20％＝80％

と考え、

2,000×0.8＝1,600円

としても構いません。

面積図では、長方形全体を100％として、値引き部分20％と支払う部分80％に分けます。

割合では、「何の20％なのか」を最初に確認することが大切です。

平均は「個数×平均＝合計」で考える

平均の問題では、

個数×平均＝合計

という関係を使います。

たとえば、A組は20人で平均70点、B組は30人で平均80点だったとします。

A組の合計点は、

20×70＝1,400点

B組の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

全体の合計点は、

1,400＋2,400＝3,800点

人数は、

20＋30＝50人

なので、全体の平均は、

3,800÷50＝76点

です。

70点と80点を足して2で割ると75点になりますが、人数が異なるため正しくありません。

面積図を使うと、平均を考えるときは一度合計量へ戻す必要があると分かります。

食塩水は食塩の重さを面積で表す

食塩水の問題では、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

という関係を使います。

たとえば、

「300gの8％食塩水に含まれる食塩は何gですか」

という問題なら、

300×0.08＝24

となり、食塩は24gです。

面積図では、

• 横が食塩水全体の重さ300g
• 縦が濃度8％
• 面積が食塩の重さ24g

となります。

ここで注意したいのは、長方形の中が食塩水全体の重さではなく、含まれている食塩の重さを表す点です。

複数の食塩水を混ぜる問題でも、それぞれに含まれる食塩の重さを求めてから合計します。

売買損益にも基本の形を応用できる

売買損益の問題でも、面積図の基本関係を使えます。

たとえば、

「原価2,000円の商品に、原価の30％の利益を見込んで定価を付けました」

という問題です。

利益は、

2,000×0.3＝600円

です。

したがって定価は、

2,000＋600＝2,600円

となります。

この場合、

原価×利益率＝利益

という関係を面積図に表せます。

売買損益で間違いやすいのは、何に対する30％なのかを取り違えることです。

「原価の30％」なら原価が基準です。「定価の20％引き」なら定価が基準です。

面積図を書く前に、「何を100％と考えるのか」を確認しましょう。

家庭で面積図の基本を定着させる方法

最初は計算の簡単な問題を使う

面積図の基本を学ぶときは、計算が複雑な問題を使う必要はありません。

たとえば、

• 100円の20％
• 10人の平均が50点
• 200gの5％食塩水

など、暗算でも計算できる問題から始めます。

数字が簡単なら、計算に気を取られず、縦・横・面積の関係に集中できます。

基本的な図を自分で書けるようになってから、小数や分数、複数の長方形を使う問題へ進みましょう。

図を書く前に3つの量を言葉にする

家庭学習では、問題を読んですぐに面積図を書かせないことが大切です。

まず、問題に出てくる3つの量を言葉で確認します。

割合なら、

「もとにする量、割合、比べる量」

平均なら、

「個数、平均、合計」

食塩水なら、

「食塩水、濃度、食塩」

です。

保護者は、

「何と何を掛けると何になる？」
「この数字は何の量？」

と質問してください。

3つの量を言葉で整理してから図を書くと、数字の置き間違いを減らせます。

1日10分で同じ型を繰り返す

面積図は、一度説明を聞いただけでは定着しません。

家庭では、1日10分、2～3問程度を目安に取り組みましょう。

毎回異なる単元を扱うのではなく、割合だけを3日、平均だけを2日というように、同じ型を続けます。

1問目は保護者と一緒に整理し、2問目は質問だけで支え、3問目は子どもだけで取り組ませる方法がおすすめです。

3問目を自力で書けなければ、次の単元へ急がず、翌日も同じ型を繰り返して構いません。

保護者は正解より式の意味を確認する

答えが合っていても、面積図を理解しているとは限りません。

公式や数字の並びを覚えて正解している場合もあります。

家庭では、次のように確認しましょう。

「長方形の中は何を表している？」
「なぜ掛け算になるの？」
「この割り算では何を求めている？」
「答えの単位は何？」

たとえば、

300×0.08＝24

という式なら、「300gの食塩水に8％の食塩が含まれているので、24gは食塩の重さ」と説明できることが大切です。

完成した図を先に見せるのではなく、子どもが自分の言葉で数量関係を説明できるように支えましょう。

まとめ

中学受験算数の面積図は、掛け算でつながる3つの量を、長方形の縦・横・面積で表す方法です。

基本となる考え方は、

縦×横＝面積

です。

文章題では、これを次のような関係に置き換えます。

• もとにする量×割合＝比べる量
• 個数×平均＝合計
• 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ
• 原価×利益率＝利益

面積図を書く手順は次の4つです。

1. 問題に出てくる3つの量を探す
2. 縦・横・面積の役割を決める
3. 分かっている数字を書き込む
4. 求める場所に「？」を付ける

長方形の中が不明なら掛け算、縦や横が不明なら割り算を使います。

家庭学習では、計算の簡単な問題から始め、1日10分ほど同じ型を繰り返しましょう。

保護者は縦と横の位置を覚えさせるのではなく、「何と何を掛けると何になるの？」と問いかけてください。

面積図の目的は、きれいな長方形を書くことではありません。一見異なる割合、平均、食塩水などの問題から、共通する掛け算の関係を見つけることです。

3つの量の意味を丁寧に確認できれば、算数が苦手な子でも、公式だけに頼らず式を考えられるようになります。