中学受験算数｜面積図が頻出する単元と対策

中学受験算数で面積図が頻出する理由

この記事では、中学受験算数で面積図が頻出する単元と、問題を見分けるポイント、家庭で優先して行いたい対策を順を追って解説します。

割合と合計量の関係を一つの図で整理できる

面積図は、2つの量を掛けてできる数量を、長方形の面積として表す図です。

たとえば平均算では、

人数×平均点＝合計点

という関係があります。

横を人数、縦を平均点、面積を合計点にすると、人数と平均点の関係を一つの長方形で整理できます。

食塩水なら、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

です。

仕事算なら、

時間×1時間当たりの仕事量＝終わった仕事量

となります。

これらの単元に共通するのは、2つの量を掛けて全体量を求める点です。

式だけで考えると、何を掛け、何で割るのかを迷いやすくなります。面積図なら、縦・横・面積のどこを求めたいかが見えるため、計算の意味を理解しやすくなります。

複数の条件を視覚的に比較できる

中学入試では、1つの集団や1種類の食塩水だけを扱うとは限りません。

男子と女子の平均点を合わせる問題、異なる濃度の食塩水を混ぜる問題、2人で同じ仕事を進める問題など、複数の条件を比較する出題が多く見られます。

たとえば、男子20人の平均点が70点、女子30人の平均点が80点なら、それぞれを別の長方形で表します。

男子の合計点は、

20×70＝1,400点

女子の合計点は、

30×80＝2,400点

です。

2つの面積を合わせると、全体の合計点3,800点が求められます。

面積図を使えば、人数が多い集団ほど全体平均への影響が大きいことも見て理解できます。

複数の量を一度に整理できるため、条件が複雑になる入試問題でも使われやすいのです。

入試では面積図を使う単元名が示されない

塾の教材では、「平均算」「食塩水」「仕事算」と単元名が書かれています。

そのため、子どもは単元名を見て「面積図を使う問題だ」と判断できます。

しかし、入試問題には単元名がありません。問題文を読み、数量関係から面積図が使えるかを自分で決める必要があります。

面積図を検討する目安は、「何かと何かを掛けると、全体量になる関係」があるかどうかです。

たとえば、

人数×平均＝合計
全体量×割合＝部分量
時間×速さ＝道のり

といった関係です。

ただし、掛け算の関係があるからといって、必ず面積図が最適とは限りません。速さの時間変化なら、ダイヤグラムの方が整理しやすい場合もあります。

頻出問題に対応するには、面積図の書き方だけでなく、使うべき場面を判断する力が必要です。

面積図が頻出する代表的な単元

平均算は人数・平均・合計の関係を表す

平均算は、面積図が頻出する代表的な単元です。

基本となる関係は、

人数×平均＝合計

です。

たとえば、40人の平均点が72点なら、合計点は、

40×72＝2,880点

となります。

面積図では、横40人、縦72点、面積2,880点として表します。

入試では、複数の集団を合わせる問題や、1人増えた後の平均点を求める問題がよく出されます。

このとき重要なのは、平均点そのものを足し引きするのではなく、一度合計点へ戻すことです。

たとえば、平均70点の20人に、90点の1人が加わるなら、元の合計点は1,400点です。90点を加えて1,490点となり、21人で割れば新しい平均が求められます。

平均算では、「平均」より「合計」に注目することが面積図活用の基本です。

食塩水は全体量・濃度・食塩量を整理する

食塩水も、中学受験算数で面積図が頻出する単元です。

関係は、

食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

です。

たとえば、8％の食塩水300gに含まれる食塩は、

300×0.08＝24g

となります。

面積図では、横300g、縦8％、面積24gです。

入試では、水を加える、食塩を加える、異なる濃度を混ぜる、一部を取り出すといった条件が加わります。

10％の食塩水400gへ水を100g加える場合、食塩の重さ40gは変わりません。一方、全体量は500gになります。

そのため、

40÷500＝0.08

となり、新しい濃度は8％です。

食塩水では、何が変わり、何が変わらないかを面積図で確認することが得点につながります。

仕事算は時間・仕事率・仕事量を表す

仕事算でも面積図が使われます。

基本関係は、

時間×仕事率＝仕事量

です。

仕事率とは、1時間や1日で全体のどれだけを終えられるかを表す量です。

たとえば、Aさんが1時間で全体の6分の1、Bさんが12分の1の仕事を進めるとします。

2人が一緒に働くと、1時間で、

6分の1＋12分の1＝4分の1

の仕事が終わります。

3時間働けば、

3×4分の1＝4分の3

です。

面積図では、横が時間、縦が仕事率、面積が終わった仕事量になります。

仕事算の入試問題では、途中から1人で働く、機械が追加される、休憩を挟むなどの変化が加わります。

時間帯ごとに長方形を分けることで、どこまで仕事が進んだかを整理できます。

売買損益や速さでも使える場合がある

面積図は、平均算・食塩水・仕事算以外でも使える場合があります。

売買損益なら、

個数×1個当たりの利益＝全体の利益

という関係を面積として表せます。

たとえば、1個当たり80円の利益が出る商品を50個売れば、

50×80＝4,000円

の利益です。

速さでは、

時間×速さ＝道のり

を面積図として考えられます。

ただし、2人が出会う問題や、移動の様子を時間順に追う問題では、線分図やダイヤグラムの方が分かりやすいことがあります。

面積図が使えるかどうかは、2つの量の積を合計や差として比べる必要があるかで判断します。

無理に面積図を当てはめず、問題に合う整理方法を選ぶことが大切です。

頻出問題で面積図を使う基本手順

掛け算でつながる3つの量を見つける

面積図を書く前に、問題文に登場する3つの量を探します。

平均算なら、人数・平均・合計です。

食塩水なら、全体量・濃度・食塩量です。

仕事算なら、時間・仕事率・仕事量となります。

家庭では、図を書く前に、

「何×何＝何になる？」

と子どもに聞いてください。

この関係を答えられない状態では、縦や横の位置を覚えても自力で使えるようになりません。

面積図の頻出問題に強くなるには、単元名ではなく、掛け算で結ばれる3つの量を見つける習慣が必要です。

同じ種類の量を縦と横にそろえる

面積図では、同じ種類の量を同じ向きにそろえます。

平均算なら、すべての長方形で横を人数、縦を平均点にします。

食塩水なら、横を重さ、縦を濃度に統一します。

縦と横は入れ替えても掛け算の結果は同じですが、問題の途中で向きを変えてはいけません。

男子の人数を横に書いたのに、女子の人数を縦へ書くと、長方形同士を比較できなくなります。

数字だけでは混乱しやすいため、「20人」「70点」「300g」「8％」のように単位も添えるとよいでしょう。

面積の合計・差・変化に注目する

面積図を書いた後は、長方形の面積がどのように変化したかを確認します。

複数の集団を合わせる平均算では、面積を足します。

食塩水を混ぜる問題でも、それぞれに含まれる食塩量を足します。

一方、途中で一部を取り出す問題では、面積を引く必要があります。

水を加える食塩水では、横の全体量は増えますが、面積の食塩量は変わりません。

問題ごとに、

何を足すのか
何を引くのか
何が変わらないのか

を確認しましょう。

面積図は、数字を置くだけでなく、面積の変化を読み取って初めて式につながります。

図から式の理由を説明する

面積図を完成できても、式の理由を説明できなければ、応用問題で止まりやすくなります。

たとえば、300gの8％を求める、

300×0.08＝24

という式では、300が横、0.08が縦、24が面積です。

食塩量24gと全体量300gから濃度を求める、

24÷300＝0.08

では、面積を横で割って縦を求めています。

家庭学習では、「なぜ掛けるの？」「なぜ300で割るの？」と質問してください。

「面積を求めるから掛ける」「面積から縦を求めるから横で割る」と説明できれば、図と式が結びついています。

面積図の頻出問題に強くなる家庭学習法

単元ごとに基本型を3～5問固める

面積図が頻出するからといって、最初から入試問題を大量に解く必要はありません。

まずは単元ごとの基本型を固めます。

平均算なら、1集団の合計、2集団の平均、人数の増減という順番です。

食塩水なら、食塩量を求める、水を加える、異なる濃度を混ぜるという順番がよいでしょう。

仕事算なら、1人の仕事率、2人の仕事率、途中で条件が変わる問題へ進みます。

1つの型につき3～5問程度を目安にし、図を迷わず書けるようになったら次へ進みます。

問題文だけで面積図を作る練習をする

塾の解説を見ながら面積図を書けても、入試では使えません。

家庭では、問題文だけを見て図を作る練習を行いましょう。

最初は答えを求めなくても構いません。

掛け算でつながる3つの量を探す。
縦・横・面積を決める。
分かっている数字を入れる。

ここまでを1問2～3分で行います。

計算を分けることで、問題文の読み取りと面積図の作成に集中できます。

翌日と1週間後に類題で確認する

解説を見た直後に解き直せても、考え方が定着したとは限りません。

間違えた問題は翌日に、問題文だけで面積図を再現します。

さらに1週間後には、数字や設定が違う類題へ取り組みます。

たとえば、男子と女子の平均点を扱った後に、2つのクラスの平均身長を扱います。

見た目が変わっても、

人数×平均＝合計

の関係は同じです。

類題でも自力で面積図を書ければ、問題の型を理解できています。

面積図を使わない判断も練習する

入試で大切なのは、すべての問題に面積図を書くことではありません。

問題に応じて、線分図、表、ダイヤグラムなどを選ぶ必要があります。

家庭学習では、問題を解いた後に、

「なぜ面積図を使ったの？」
「別の図の方が分かりやすくない？」

と確認してください。

2つの量の積を整理するなら面積図、差や比を比較するなら線分図という判断ができれば、初見問題にも対応しやすくなります。

まとめ

中学受験算数で面積図が頻出するのは、割合や平均、仕事量など、2つの量を掛けてできる合計量を整理しやすいからです。

特に頻出する単元は、平均算、食塩水、仕事算です。売買損益や速さでも、条件によっては面積図を使えます。

面積図を書くときは、最初に掛け算でつながる3つの量を探し、同じ種類の量を同じ向きにそろえます。その後、面積の合計・差・変化に注目して式を作ります。

家庭学習では、単元ごとに基本型を3～5問練習し、問題文だけで図を作る時間を設けましょう。

間違えた問題は翌日に図を再現し、1週間後に設定を変えた類題で確認します。

面積図の頻出問題に強くなるために必要なのは、長方形の形を暗記することではありません。問題文から3つの量の関係を見つけ、面積図を使うべきか判断し、図から式の意味を説明できることです。