中学受験算数の図形公式一覧｜面積・体積を総整理

中学受験算数の図形公式一覧｜まず覚えたい平面図形

この記事では、中学受験算数で必要になる図形公式を一覧で整理し、覚えるだけで終わらず入試問題で使えるようにする方法まで分かりやすく解説します。

中学受験の図形問題を解く土台になるのが、面積や周りの長さを求める基本公式です。

難関校の複雑な図形問題でも、最終的には三角形、四角形、円などの基本図形へ分けて考えることが少なくありません。

まずは、平面図形の公式を確実に整理しておきましょう。

正方形・長方形・平行四辺形の面積公式

基本となる四角形の公式は次の通りです。

・正方形の面積＝一辺×一辺
・正方形の周りの長さ＝一辺×4
・長方形の面積＝たて×横
・長方形の周りの長さ＝（たて＋横）×2
・平行四辺形の面積＝底辺×高さ

特に注意したいのが平行四辺形です。

「底辺×斜めの辺」と計算してしまう子がいますが、面積に使うのは斜めの辺ではなく、底辺に垂直な「高さ」です。

たとえば底辺が8cm、高さが5cmなら、

8×5＝40

となり、面積は40㎠です。

家庭で確認するときは、公式を言わせるだけではなく、

「この図で高さはどこ？」

と図を指さしてもらいましょう。

中学受験では、公式を覚えているかより「どの長さを公式に入れるか」が重要になります。

三角形・台形・ひし形の面積公式

次に、中学受験で特に出番が多い3つの公式です。

・三角形の面積＝底辺×高さ÷2
・台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2
・ひし形の面積＝対角線×対角線÷2

三角形の公式は、図形問題の中でも特に重要です。

たとえば底辺6cm、高さ4cmの三角形なら、

6×4÷2＝12

で、面積は12㎠になります。

ここで大切なのは、「どの辺でも底辺にできる」ということです。

底辺を変えれば、それに対応する高さも変わります。

また台形では、「上底と下底は平行な2辺」であることを確認しましょう。

数字が4つ書かれているからといって、適当に2辺を足すわけではありません。

公式と同時に、

三角形→底辺と高さは垂直
台形→上底と下底は平行
ひし形→2本の対角線を使う

という特徴までセットで覚えると、実際の問題で使いやすくなります。

円・おうぎ形の面積と周りの長さの公式

円の問題では、円周率3.14を使う計算が多くなります。

中学受験で覚えておきたい基本公式は次の通りです。

・円周＝直径×3.14
・円周＝半径×2×3.14
・円の面積＝半径×半径×3.14

たとえば半径5cmの円なら、

面積は、

5×5×3.14＝78.5

となり、78.5㎠です。

おうぎ形は「円全体の何分のいくつか」と考えるのが基本です。

中心角が90度なら、360度の4分の1なので、

・おうぎ形の面積＝円の面積×90÷360
・弧の長さ＝円周×90÷360

と求められます。

一般化すると、

・おうぎ形の面積＝半径×半径×3.14×中心角÷360
・弧の長さ＝半径×2×3.14×中心角÷360

です。

ただし、式を丸暗記するより、

「円全体を求めてから必要な割合だけ取る」

と理解したほうが忘れにくくなります。

中学受験で必要な立体図形の公式一覧

小5から小6にかけては、平面図形だけでなく立体図形も重要になります。

立体は公式が増えたように見えますが、基本原理を理解すると覚える量を減らせます。

直方体・立方体の体積と表面積

まずは基本となる直方体と立方体です。

・直方体の体積＝たて×横×高さ
・立方体の体積＝一辺×一辺×一辺

表面積は、外側に見えているすべての面の面積を足します。

直方体なら、

（たて×横＋横×高さ＋たて×高さ）×2

で求めることができます。

立方体の場合は6面すべてが同じ正方形なので、

一辺×一辺×6

です。

たとえば一辺4cmの立方体なら、

体積は、

4×4×4＝64㎤

表面積は、

4×4×6＝96㎠

となります。

体積と表面積では単位も違うため、㎤と㎠の取り違えにも注意しましょう。

柱体の体積は「底面積×高さ」

中学受験では、三角柱や円柱などさまざまな柱体が登場します。

しかし、それぞれ別の体積公式を暗記する必要はありません。

基本はすべて、

柱体の体積＝底面積×高さ

です。

たとえば底面が面積12㎠の三角形で、柱の高さが10cmなら、

12×10＝120

となり、体積は120㎤です。

円柱なら、まず底面の円の面積を求めます。

半径3cm、高さ5cmなら、

底面積＝3×3×3.14＝28.26

そこへ高さ5cmを掛けて、

28.26×5＝141.3

となります。

「三角柱の公式」「円柱の公式」と別々に暗記するより、

「同じ形の底面がそのまま積み重なった立体は、底面積×高さ」

と覚えたほうが応用できます。

すい体の体積は「底面積×高さ÷3」

円すいや四角すい、三角すいなどの体積では、

すい体の体積＝底面積×高さ÷3

を使います。

柱体との違いは最後の「÷3」です。

たとえば底面積24㎠、高さ9cmの四角すいなら、

24×9÷3＝72

なので、体積は72㎤です。

ここで頻出なのが、

「÷3を忘れる」

というミスです。

家庭では、

「柱はそのまま、すいは3分の1」

と対比して覚えさせると整理しやすくなります。

また、すいの「高さ」は頂点から底面へ垂直に下ろした長さです。

斜めの辺を高さとして使わないよう注意しましょう。

図形公式を覚えても問題が解けない3つの原因

ここまでの公式をすべて言えるのに、テストでは図形問題が解けない子もいます。

これは珍しいことではありません。

中学受験では公式を知っているだけでなく、「どの公式を、どこで使うか」を判断する必要があるからです。

公式と図形の特徴が結びついていない

たとえば、

「台形の面積は？」

と聞けば、

（上底＋下底）×高さ÷2

と答えられる子でも、複雑な図の中に台形が隠れていると気づけないことがあります。

これは公式暗記と図形認識が別々になっている状態です。

対策としておすすめなのが、図を見せて、

「これは何の図形？」
「どの公式が使える？」

と聞く練習です。

公式から図形を思い出すだけでなく、図形を見て公式を選ぶ練習も行いましょう。

高さ・半径・底面積を正しく見つけられない

図形問題では「必要な長さを見抜く力」が求められます。

三角形なら底辺に垂直な高さ。

円なら中心から円周までが半径。

柱体なら、まず底面がどこなのか。

ここを取り違えると、公式を完璧に覚えていても正解できません。

特に立体図形では、紙に描かれた斜めの線が実際には直角になっているなど、平面の図だけでは分かりにくい場合があります。

公式を復習するときは、文字だけの暗記カードではなく、簡単な図とセットにするのがおすすめです。

複合図形を一つの公式で解こうとしている

中学入試では、公式をそのまま1回使えば答えが出る問題ばかりではありません。

たとえばL字型の面積なら、

長方形2つに分けて足す

あるいは、

大きな長方形－欠けた長方形

と考えます。

円と正方形を組み合わせた図形なら、

正方形－円
円－三角形

など複数の面積を組み合わせます。

公式一覧を覚えたあとに必要なのは、

「どの基本図形に分けるか」

という力です。

難しい図を見たら、いきなり計算を始めず、

「三角形・四角形・円のどれに分けられる？」

と考える習慣をつけましょう。

中学受験の図形公式を定着させる家庭学習法

図形公式は、テスト前日に一気に暗記するより、短時間で何度も思い出すほうが定着しやすくなります。

家庭学習では「覚える時間」を長くするのではなく、「思い出す回数」を増やすことを意識してください。

公式を隠して図から言わせる

公式一覧をただ眺めるだけでは、覚えたつもりになりやすいものです。

たとえば三角形の絵だけを見せて、

「面積はどう求める？」

と聞きます。

次に台形、円、円柱と続けます。

5～10問程度なら数分で確認できます。

答えられなかった公式だけ翌日にもう一度確認すれば、効率よく弱点を見つけられます。

公式と「使う条件」をセットで覚える

家庭で作る公式一覧には、式だけでなく短い注意点も加えてください。

たとえば、

三角形：底辺×高さ÷2
→底辺と高さは垂直

台形：（上底＋下底）×高さ÷2
→上底と下底は平行

円：半径×半径×3.14
→直径なら2で割って半径にする

すい：底面積×高さ÷3
→最後の÷3を忘れない

といった形です。

この一言があるだけで、「公式は知っていたのに使い方を間違えた」という失点を減らせます。

週1回5分の公式チェックを続ける

図形公式は、一度覚えれば永久に忘れないわけではありません。

特に小5では、速さ、比、割合など別単元の学習が進むうちに、以前習った公式を忘れることがあります。

そこでおすすめなのが、週1回5分程度の確認です。

たとえば日曜日に、

三角形
台形
円
おうぎ形
直方体
柱体
すい体

の公式を何も見ずに書いてみます。

全部できれば終了です。

間違えたものだけ、その週に2～3回確認します。

公式のために毎日長時間勉強する必要はありません。

短くても定期的に思い出す仕組みを作ることが、中学受験まで知識を維持するコツです。

まとめ｜図形公式一覧は「覚える」から「使える」へ

中学受験算数でまず押さえたい図形公式は、

正方形・長方形
平行四辺形
三角形
台形
ひし形
円・おうぎ形
直方体・立方体
柱体
すい体

です。

公式だけをまとめると、

正方形の面積＝一辺×一辺
長方形の面積＝たて×横
平行四辺形の面積＝底辺×高さ
三角形の面積＝底辺×高さ÷2
台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2
ひし形の面積＝対角線×対角線÷2
円の面積＝半径×半径×3.14
円周＝直径×3.14
柱体の体積＝底面積×高さ
すい体の体積＝底面積×高さ÷3

となります。

ただし、中学受験で点を取るためには、これを唱えられるだけでは足りません。

「高さはどこか」
「どこが底面か」
「何の図形に分けられるか」

まで判断できて、初めて公式が使える知識になります。

算数が苦手な子の場合、公式を一度に大量暗記させるより、まず三角形・四角形・円など頻繁に使うものから確実にしてください。

家庭では、

「公式を言って」

だけではなく、

「この図なら何を使う？」
「なぜその公式なの？」

まで聞くことがポイントです。

公式一覧は、覚えるためだけの表ではありません。

問題を見た瞬間に「この図ならこの考え方」と判断するための土台です。

公式と図形の特徴をセットで身につければ、複雑に見える中学受験の図形問題でも、基本図形へ分けて落ち着いて考えられるようになります。