中学受験算数の旅人算を攻略！基本と解き方のコツ

中学受験算数の旅人算が苦手になる3つの理由

この記事では、中学受験算数の旅人算が苦手になる理由から、出会い・追いつき・往復問題の基本的な解き方、家庭でできる練習方法まで順番に解説します。

旅人算は、中学受験算数の「速さ」の中でも苦手になりやすい単元です。

「A君とB君が同時に出発する」「何分後に出会う」「途中から追いかける」といった文章を読んだだけで、何を計算すればよいのか分からなくなる子も少なくありません。

しかし、旅人算は問題の種類を整理すると、考え方そのものはそれほど多くありません。

基本は、

向かい合うなら速さを足す
同じ方向なら速さの差を見る

という2つです。

さらに、文章だけで考えず線分図に直せるようになると、応用問題にも対応しやすくなります。

旅人算が苦手だからといって、速さ全体が苦手とは限りません。まず「どこで分からなくなっているか」を確認していきましょう。

旅人算でつまずく子の多くは、計算そのものよりも問題の状況整理に苦戦しています。

誰がいつどこから動くのか整理できない

旅人算では登場人物が2人以上出てくるため、文章を読みながら頭の中だけで状況を覚えようとすると混乱します。

たとえば、

「A君は午前9時にP地点を出発し、B君は午前9時10分にQ地点からA君に向かって進んだ」

という問題では、

誰が先に出たのか
どちら向きに進んでいるのか
10分間に何が起きているのか

を整理しなければなりません。

ここで文章を何度も読み直している子は、まず図を書く習慣をつける必要があります。

P地点とQ地点を一本の線で結び、AとBの位置、進む方向、時刻を書き込むだけでも状況がかなり見えやすくなります。

旅人算は、文章題というより図に直してから考える問題だと捉えると理解しやすくなります。

速さ・時間・道のりの関係が曖昧

旅人算以前に、

道のり＝速さ×時間
速さ＝道のり÷時間
時間＝道のり÷速さ

の関係が安定していないケースもあります。

たとえば分速80mで15分歩いた距離を聞かれて、80÷15としてしまうなら、旅人算の応用へ進む前に速さの基本へ戻る必要があります。

家庭では公式だけ暗記させるより、

「1分で80m進むなら、15分では80mが15個分」

と意味から確認してください。

80×15＝1200m

と理解できれば、「なぜ掛け算なのか」まで分かります。

旅人算ではこの基本計算を何度も使うため、ここが曖昧だと途中で止まりやすくなります。

公式だけ覚えて問題ごとの違いに対応できない

「旅人算は速さを足す」とだけ覚えてしまう子もいます。

しかし、いつでも足せばよいわけではありません。

向かい合って近づく場合は速さを足しますが、同じ方向に進んで追いつく場合は速さの差を使います。

公式を覚えるより、

「2人の間の距離は1分ごとに何m縮まる？」

と考えるほうが本質的です。

この問いを毎回使えば、足すのか引くのかを丸暗記しなくても判断できます。

旅人算の基本は「出会う」と「追いつく」の2つ

中学受験の旅人算では、まず2つの基本パターンを確実に身につけましょう。

向かい合って進む問題は速さを足す

A君とB君が1200m離れた2地点から向かい合って同時に出発するとします。

A君は分速70m、B君は分速50mです。

1分後には、

A君が70m
B君が50m

進むので、2人の間の距離は合計120m縮まります。

したがって、

1200÷（70＋50）
＝1200÷120
＝10

となり、10分後に出会います。

ここで大切なのは、「向かい合うから足す」とだけ覚えないことです。

1分で2人の間の距離が何m縮まるか

を考えます。

この考え方が理解できれば、数字や設定が変わっても対応できます。

同じ方向へ進む問題は速さの差を使う

次は追いつきの問題です。

B君がA君より300m前を歩いていて、A君が分速90m、B君が分速60mで同じ方向へ進んでいるとします。

1分間にA君は90m進みますが、B君も60m進みます。

つまり、A君が実際に縮められる距離は、

90－60＝30m

です。

300mの差を毎分30mずつ縮めるので、

300÷30＝10

となり、10分後に追いつきます。

追いつき算では、

速い人の速さ－遅い人の速さ

を使います。

ただし、これも「追いつきだから引く」と暗記するより、「1分で差が何m縮まるか」と考えることが重要です。

線分図を書けば条件が見える

旅人算が苦手な子ほど、式を先に作ろうとします。

家庭では、式を書く前に必ず一本の線を引かせてみましょう。

たとえば出会いの問題なら、

P地点　A →　　　← B　Q地点

という程度で十分です。

追いつきなら、

A →　　B →

と位置関係を書きます。

さらに、

A：分速90m
B：分速60m
差：300m

と横に書き込めば、何を求めればよいか分かりやすくなります。

きれいな図である必要はありません。

情報を頭の外に出すことが目的です。

中学受験の旅人算でよく出る応用パターン

基本ができるようになると、時間差や往復、速さの比を使った問題へ進みます。

時間差がある問題は先に進んだ距離を求める

たとえばA君が午前9時に分速60mで出発し、B君が10分後に分速90mで同じ地点から追いかける問題を考えます。

まず見るべきなのは、B君が出発するまでの10分間です。

その間にA君は、

60×10＝600m

進んでいます。

つまり、B君が出発した瞬間には600mの差があります。

その後は、

90－60＝30m

ずつ差が縮まるので、

600÷30＝20分

で追いつきます。

時間差がある問題では、いきなり追いつく時間を求めないことがポイントです。

まず先に出発した人が何m進んでいるかを出す

と整理しやすくなります。

往復する問題は出会う場所を整理する

難関校になると、A君がP地点からQ地点へ進み、到着したら折り返すといった問題も出ます。

この場合、子どもは「どちら向きに進んでいるのか」が途中で分からなくなりがちです。

おすすめは、出来事ごとに図を書き直す方法です。

出発時
1回目に出会ったとき
A君が折り返したとき
2回目に出会ったとき

というように分けます。

一枚の図にすべて書き込もうとすると混乱しやすいため、場面ごとに小さな線分図を作るほうが安全です。

また、往復問題では「2人が合計で何m進んだか」に注目すると解けることもあります。

速さの比を使うと計算が簡単になる

旅人算では、速さの比が非常に重要です。

同じ時間進んだ場合、

進んだ道のりの比＝速さの比

になります。

たとえばA君とB君の速さの比が3：2で、同時に出発して出会ったなら、それまでに進んだ距離の比も3：2です。

全体の道のりが1000mなら、

3＋2＝5

なので、

A君は1000×3/5＝600m
B君は1000×2/5＝400m

進んだことになります。

難しい旅人算になるほど、速さそのものを求めず「比」で処理する場面が増えます。

そのため、旅人算が急に難しくなったと感じたら、比の理解が十分か確認することも大切です。

旅人算が苦手な子を伸ばす家庭学習法

旅人算は大量に問題を解くより、基本パターンを確実に身につけることが重要です。

最初は公式を隠して図から考える

問題集の解説に、

出会いの時間＝距離÷速さの和

と書いてあっても、最初から公式だけ覚えさせる必要はありません。

まず図を書き、

「1分で2人の距離は何m縮まる？」

と聞いてみてください。

分速60mと40mなら、

「100m縮まる」

と答えられれば十分です。

その後で、

「だから距離を100で割れば時間が分かるね」

とつなげます。

公式は理解した結果として覚えるほうが、応用問題でも使いやすくなります。

1問を3回解いて解き方を定着させる

旅人算が苦手な子に、1日20問やらせる必要はありません。

むしろ同じ問題を時間を空けて解くほうが効果的です。

たとえば、

1回目：解説を見ながら理解する
2回目：翌日に何も見ずに解く
3回目：1週間後にもう一度解く

という方法です。

翌日に解けなければ、前日に「分かった」と感じても、まだ自力で使える状態ではありません。

特に旅人算は、数字だけ変えた類題で解き方を再現できるか確認するとよいでしょう。

間違いを「図・式・計算」に分けて直す

旅人算で間違えたときに、すべて「速さが苦手」で片づけないことも重要です。

ミスを、

図：状況を読み違えた
式：足す・引くを間違えた
計算：式は正しいが計算ミス

の3種類に分けてみてください。

たとえば式まで正しいのに割り算を間違えただけなら、旅人算そのものの理解不足ではありません。

逆に、線分図で進む方向が逆になっているなら、文章を図にする練習が必要です。

3～5問の間違いを並べると、同じ原因が繰り返されていることがあります。

原因を一つずつ直したほうが、「旅人算を最初から全部やり直す」より効率的です。

まとめ｜旅人算は図を書けば考え方が整理できる

中学受験算数の旅人算は、一見すると複雑に見えます。

しかし、基本は大きく分けて、

向かい合うときは、2人で距離を縮める
同じ方向なら、速い人が差を縮める

という2つです。

まずはこの意味を理解してください。

そのうえで、

出会い
追いつき
時間差
往復
速さの比

と少しずつ問題の種類を増やしていきます。

旅人算が苦手な子に最も避けたいのは、文章を読んですぐ式を作ろうとすることです。

最初に一本の線を書き、

「誰がどこにいる？」
「どちらへ進む？」
「いつ出発する？」
「2人の距離は1分でどう変わる？」

と整理するだけで、問題はかなり見やすくなります。

家庭学習では、新しい問題を次々と解くより、一度間違えた基本問題を翌日、さらに1週間後に解き直してみてください。

旅人算は「分かった」と「自分で解ける」の差が出やすい単元だからです。

そして応用問題で急につまずくようになったら、旅人算だけでなく、

速さの基本
割合
比

まで確認してみましょう。

特に速さの比を使えるようになると、入試レベルの旅人算でも計算を大幅に簡単にできる場面があります。

旅人算攻略の第一歩は、公式をたくさん覚えることではなく、問題の動きを一本の線に表せるようになることです。

図を書き、距離がどう変化するかを考える。

この習慣が身につけば、旅人算は「何をすればよいか分からない問題」から、「順番に整理すれば解ける問題」へ変わっていきます。