中学受験算数「ニュートン算」の解き方とコツ

中学受験算数のニュートン算とは？

この記事では、そんな悩みに対して、ニュートン算の基本的な考え方から典型問題の解き方、つまずく原因、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数には、つるかめ算、仕事算、旅人算など、小学校ではあまり聞かない名前の問題が登場します。

その中でも「ニュートン算」は、算数が苦手な子にとって特につまずきやすい単元です。

理由は単純で、目の前にある量を減らすだけではなく、作業している間にも新しい量が増え続けるからです。

たとえば、

「牧草を牛が食べる間にも、新しい草が生えてくる」

「駅の改札で人を通している間にも、新しい乗客が並ぶ」

といった問題です。

一見すると複雑ですが、考え方はそれほど多くありません。

ポイントは、

最初からある量＋途中で増えた量＝処理した量

という関係を理解することです。

ここが分かれば、ニュートン算は公式を丸暗記しなくても解けるようになります。

増えながら減る量を考える特殊算

ニュートン算とは、ある量が一定の割合で増え続ける一方で、別の力によって減らされていく状況を扱う問題です。

代表例は牧草です。

牧場に草が生えています。

牛が草を食べれば当然減ります。

しかし、牛が食べている間にも草は一定の速さで伸びます。

つまり、

最初にある草
＋毎日生える草
－牛が食べる草

という3つの量を同時に考えなければなりません。

ここが通常の仕事算との大きな違いです。

ニュートン算という名前に難しそうな印象を持つ子もいますが、実際には「増える仕事算」と考えると理解しやすくなります。

仕事算との違いを理解すると分かりやすい

仕事算では、仕事の全体量は基本的に変わりません。

たとえば、

「Aさんなら10日、Bさんなら15日で終わる仕事」

なら、作業中に仕事量が増えることはありません。

ところがニュートン算では違います。

改札に並ぶ人を例にすると、駅員が人を通している間にも新しい人が列へ加わります。

つまり仕事量が増え続けます。

この違いを子どもには、

「仕事算は宿題のプリントが増えない問題。ニュートン算は解いている間にもプリントが追加される問題」

と説明すると分かりやすいでしょう。

ニュートン算でよく出る3つのパターン

中学受験でよく出る設定は主に次のようなものです。

牧草問題
→牛が食べる間にも草が生える

行列問題
→窓口で処理している間にも人が並ぶ

排水問題
→水を抜いている間にも水が流れ込む

見た目は違いますが、考え方は同じです。

「増えているものは何か」

を最初に探してください。

問題文が変わっても、この視点を持てれば対応できます。

ニュートン算の基本的な解き方

まず「増える量」と「減る量」を整理する

ニュートン算を解くとき、いきなり式を作らないことが大切です。

まず問題文から、

増える量
減らす力
最初からある量

の3つを探します。

たとえば牧草なら、

増える量＝毎日生える草
減らす力＝牛が1日に食べる量
最初からある量＝最初に牧場に生えていた草

です。

ここまで言葉で整理できれば、式は後からついてきます。

家庭で教えるときも、

「何が増えているの？」

と最初に聞いてみてください。

この質問だけで、ニュートン算かどうかを見抜く力がつきます。

全体量を人数や機械台数の差から求める

ニュートン算では、異なる人数や台数で何日かかったかという2つの条件が与えられることがよくあります。

この差を利用すると、1日あたりに新しく増える量を求められます。

たとえば、

10頭の牛なら20日で草を食べ尽くす
15頭の牛なら10日で食べ尽くす

とします。

牛1頭が1日に食べる草を「1」と考えます。

10頭が20日で食べる量は、

10×20＝200

15頭が10日で食べる量は、

15×10＝150

となります。

「あれ？日数が長いほうが食べた草が多いの？」

と思うかもしれません。

その差50は、10日長く草が生え続けたために増えた量です。

したがって、

50÷10＝5

となり、1日あたり「牛5頭分」の草が新しく生えていることが分かります。

これがニュートン算の中心となる考え方です。

典型問題を例題で解いてみよう

次の問題を考えます。

ある牧場の草を、10頭の牛なら20日で食べ尽くし、15頭の牛なら10日で食べ尽くします。この草を20頭の牛で食べると何日かかりますか。

牛1頭が1日に食べる草を1とします。

10頭×20日＝200
15頭×10日＝150

この50の差は、

20日－10日＝10日

の間に新しく生えた草です。

したがって1日あたりに生える草は、

50÷10＝5

つまり牛5頭が1日に食べる分です。

次に、最初から生えていた草を求めます。

10頭で20日食べた量は200ですが、その間に、

5×20＝100

の草が新しく生えています。

したがって最初からあった草は、

200－100＝100

です。

20頭で食べる場合でも、毎日牛5頭分の草が生えます。

実質的に草を減らせるのは、

20－5＝15頭分

です。

よって、

100÷15＝6と2/3日

となります。

ここで重要なのは公式ではありません。

「20頭で食べても、5頭分は毎日生えて元に戻る」

と考えることです。

ニュートン算でつまずく原因と克服のコツ

「最初からある量」を忘れない

ニュートン算でよくあるミスは、途中で増えた量だけを考えてしまうことです。

実際には、

最初から存在する量
＋途中で増える量

を合わせたものを牛や機械が処理しています。

家庭で解説するときは、紙に横長の長方形を描き、

左側＝最初からある量
右側＝途中で増えた量

と分けてみてください。

図を書くことで「最初の分」が抜けにくくなります。

1分あたりの増加量を先に求める

ニュートン算では、多くの場合「毎日何頭分増えるのか」「1分間に何人増えるのか」を求めることが最初の山場です。

ここが求まれば、その後は仕事算に近くなります。

たとえば、

窓口10個で20分
窓口15個で10分

という条件なら、

10×20
15×10

を比較します。

その差を時間差で割れば、1分あたりに新しく並ぶ人数を求めることができます。

問題を見るたび、

「まず増える速さを求められないかな？」

と考える習慣をつけると安定します。

公式暗記ではなく図と単位で考える

ニュートン算を公式だけで覚えようとすると、数字の配置が少し変わっただけで解けなくなります。

そこでおすすめしたいのが「単位」を書くことです。

10頭×20日
＝200頭・日

といった具合に、「何を掛けているのか」を意識します。

小学生に難しい単位表記を覚えさせる必要はありません。

ただ、

「これは牛10頭が20日で食べた草の量だよ」

と言葉にするだけでも違います。

式だけを追わず、式が何を意味するのかを説明させてください。

家庭でニュートン算を教えるときのポイント

いきなり式を書かせず状況を言葉にする

算数が苦手な子ほど、問題文を見るとすぐ数字を掛けたり割ったりしようとします。

しかしニュートン算では、それが混乱の原因になります。

まず、

「牛が食べている間、草はどうなる？」

と聞きます。

子どもが、

「また生えてくる」

と答えれば第一段階はクリアです。

次に、

「じゃあ牛10頭が食べた草は、最初からあった草だけかな？」

と聞きます。

「途中で生えた草も食べた」

と答えられれば、ニュートン算の仕組みを理解し始めています。

簡単な数字に置き換えて仕組みを理解する

難しい問題で分からなくなったら、数字を簡単にします。

たとえば、

最初に草が10個ある
毎日2個増える
牛は毎日5個食べる

とします。

1日目終了時は、

10＋2－5＝7

2日目終了時は、

7＋2－5＝4

となります。

つまり実際には毎日、

5－2＝3

ずつ草が減っています。

これが、

「牛5頭いても、草が2頭分生えるなら、実質3頭で減らしている」

というニュートン算の基本です。

この小さな例を理解してから入試問題へ戻ると、子どもの表情が変わることがあります。

3段階の反復で典型問題を定着させる

ニュートン算は、1回理解しただけでは忘れやすい単元です。

家庭学習では、

1日目：解説を見ながら解く
3日後：同じ問題を何も見ずに解く
1週間後：数字を変えた類題を解く

という3段階がおすすめです。

特に重要なのは3日後です。

その場で解けても、数日後に再現できなければ定着したとは言えません。

間違えたときも、

「どうして忘れたの？」

ではなく、

「まず何が増えているか探そう」

と最初の考え方へ戻します。

ニュートン算は公式の記憶力ではなく、問題の構造を見抜く力を育てる単元です。

一度仕組みを理解できれば、牧草から行列、排水など設定が変わっても同じ考え方で解けるようになります。

まとめ｜ニュートン算は「増える量」を見抜けば解きやすい

中学受験算数のニュートン算は、初めて見ると難しく感じます。

しかし本質は、

最初からある量＋途中で増える量＝処理した量

という非常にシンプルな関係です。

解くときは、

何が増えているのか
誰が減らしているのか
1日あたりどれだけ増えるのか
最初からどれだけあったのか

の順番で整理してください。

特に重要なのは、「増える量」を最初に求めることです。

たとえば草が毎日牛5頭分生えるなら、牛20頭で食べても、実際に草を減らしている力は、

20－5＝15頭分

と考えられます。

この感覚が身につけば、複雑に見えるニュートン算も仕事算に近い問題として処理できるようになります。

家庭で教える場合も、難しい公式を説明する必要はありません。

「食べている間にも草が生えているね」

「じゃあ実際には何頭分ずつ減っているのかな？」

という問いかけから始めてください。

中学受験算数では、特殊算の名前や公式をたくさん覚えることよりも、問題文の中で何が増え、何が減っているのかを整理する力のほうが重要です。

ニュートン算が苦手な子ほど、式を急がず、図と言葉で状況を整理するところから始めてみましょう。