中学受験算数の円の面積｜苦手を克服する解き方

中学受験算数の円の面積は公式だけでは解けない

この記事では、中学受験算数で頻出する円の面積について、基本公式からおうぎ形・組み合わせ図形の考え方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

円の面積は、小学校算数で習う公式だけを見ると難しくありません。

円の面積＝半径×半径×3.14

だからです。

ところが中学受験になると、単純に半径を代入するだけの問題は少なくなります。

半円やおうぎ形になったり、正方形と円を組み合わせたり、図の中から自分で半径を見つけたりする必要があります。

そのため、円の面積が苦手な子に「公式をもっと覚えなさい」と言っても、なかなか解決しません。

大切なのは、公式に数字を入れる前に、

「どの円を見ているのか」
「半径はどこか」
「円全体の何分のいくつなのか」

を整理することです。

円の面積問題を安定して解くには、まず基本を完全にしておく必要があります。

難しい問題で間違える子を見ていると、実は応用力ではなく、半径や公式の確認段階で失点していることも少なくありません。

まず「半径×半径×3.14」を確実にする

円の面積の公式は、

半径×半径×3.14

です。

たとえば半径5cmの円なら、

5×5×3.14
＝25×3.14
＝78.5

答えは78.5㎠です。

ここで大切なのは、

5×2×3.14

としないことです。

これは円周を求めるときに使う、

直径×3.14

と混同した計算です。

円の面積では、半径を2回かける。

まずここを反射的にできる状態にしておきましょう。

直径と半径を取り違えない

中学受験で非常に多いミスが、直径をそのまま公式に入れてしまうことです。

たとえば、

「直径12cmの円の面積」

なら、半径は、

12÷2＝6cm

です。

したがって、

6×6×3.14

と計算します。

12×12×3.14ではありません。

家庭で練習するときは、計算を始める前に、

「半径は何cm？」

と子どもに確認してみてください。

この一言を習慣にするだけでも、円の問題のミスはかなり減らせます。

円周と面積の公式を混同しない

円では、

円周＝直径×3.14

面積＝半径×半径×3.14

という2つの公式が登場します。

算数が苦手な子は、「3.14を使う」という部分だけが強く印象に残り、どちらの公式を使うのか分からなくなることがあります。

そこで、

周りの長さを求める→円周
中の広さを求める→面積

と意味から区別させます。

公式の文字列を暗記するより、

「長さなのか、広さなのか」

を判断できることのほうが大切です。

円の面積でよく出る3つの問題パターン

中学受験では、円そのものよりも「円の一部」や「ほかの図形との組み合わせ」がよく出題されます。

代表的な3パターンを押さえておきましょう。

半円・4分の1円は全体から考える

半円の面積なら、

円全体の面積÷2

で求められます。

半径6cmなら、

6×6×3.14÷2

です。

4分の1円なら、

6×6×3.14÷4

となります。

ここで覚えてほしいのは、新しい公式ではありません。

まず円全体を考えてから必要な割合だけ取る

という考え方です。

半円、4分の1円、8分の1円と形が変わっても、この考え方なら対応できます。

「半円の公式」「4分の1円の公式」と別々に暗記させる必要はありません。

おうぎ形は中心角の割合で求める

おうぎ形では、

円全体のうち何度分か

を考えます。

円1周は360度です。

たとえば中心角90度なら、

90÷360＝1/4

なので、円全体の4分の1です。

半径8cmなら、

8×8×3.14×90/360

で求められます。

中心角120度なら、

120÷360＝1/3

です。

中学受験では、

60度→1/6
90度→1/4
120度→1/3
180度→1/2

など、よく出る角度はすぐ割合に直せるようにしておくと計算が速くなります。

ただし、「90度だから4で割る」と丸暗記するだけでは危険です。

必ず、

90÷360＝1/4

という理由も理解しておきましょう。

円と正方形の組み合わせは足す・引くで整理する

中学受験でよく見るのが、正方形の中に円が入った図形です。

たとえば一辺10cmの正方形の中に、直径10cmの円がぴったり入っているとします。

正方形の面積は、

10×10＝100㎠

円の半径は、

10÷2＝5cm

なので、

5×5×3.14＝78.5㎠

です。

正方形から円を除いた部分なら、

100－78.5＝21.5㎠

となります。

複雑に見える図でも、

大きな図形－小さな図形

と考えると簡単になります。

逆に、複数の半円などを合わせる問題では、

必要な図形を足す

こともあります。

図を見たらすぐ計算せず、

「足す問題か、引く問題か」

を先に判断しましょう。

中学受験で円の面積が難しくなる理由

基本問題では解けるのに、模試になるとできない。

その場合は、円の公式そのものではなく別のところでつまずいている可能性があります。

図の中に半径が隠れている

入試問題では、

「半径5cmです」

とは書かれていないことがあります。

たとえば正方形の一辺が12cmで、その中に円がぴったり入っているなら、

円の直径＝12cm

です。

したがって半径は6cmです。

また、複数の円が並んでいる問題では、

直径が正方形の一辺の半分

になることもあります。

つまり難しい円の問題では、

面積を計算する前に半径を見つける

という段階があります。

計算ができないのではなく、半径を読み取れていないケースも多いのです。

複数の図形を分けて考える必要がある

円の面積の難問は、一つの公式だけでは解けません。

正方形
三角形
半円
おうぎ形

などが組み合わされています。

このとき、図全体を一気に見て考えると混乱しやすくなります。

まず、

「この部分は正方形」
「ここは4分の1円」
「残りは引き算」

というように、簡単な図形へ分けてみます。

中学受験算数では、「複雑な図形を簡単な図形の集まりとして見る力」が非常に重要です。

円の面積は、その練習にも適した単元です。

3.14を含む計算でミスが増える

円の問題では3.14を何度も使うため、計算ミスが増えます。

たとえば、

8×8×3.14－4×4×3.14

をそのまま別々に計算すると、

64×3.14－16×3.14

となり、計算量が増えます。

ここでは、

（64－16）×3.14
＝48×3.14

とまとめることができます。

中学受験では、

3.14を最後まで残す

という工夫が非常に有効です。

同じように、

25×3.14＋15×3.14

なら、

（25＋15）×3.14
＝40×3.14

とまとめられます。

速くなるだけでなく、計算ミスも減らせます。

家庭でできる円の面積の効果的な勉強法

円の面積が苦手な子には、難問を何十問も解かせるより、考える順序を決めるほうが効果的です。

公式を暗記する前に意味を確認する

「半径×半径×3.14」を言えるだけでは十分ではありません。

子どもに、

「この5は何？」
「なぜ2回かけるの？」
「答えの単位は何になる？」

と聞いてみてください。

少なくとも、

半径を使う
広さを求める
答えは㎠になる

ことを説明できれば、公式を意味と結びつけて理解できています。

公式をただ唱える勉強から一段進めましょう。

図に半径と中心を書き込む

円の問題では、図への書き込みが非常に重要です。

おすすめは問題を見るたびに、

中心に点を打つ
半径に線を引く
半径の長さを書く

という習慣です。

たとえば直径10cmなら、図に、

「半径5」

と書きます。

おうぎ形なら、

「中心角90度→1/4」

と書き込みます。

頭の中だけで処理するより、見える形にしたほうが条件を整理しやすくなります。

3.14は最後にまとめて計算する

円の面積では、計算の工夫も得点力につながります。

たとえば、

10×10×3.14÷4－6×6×3.14÷4

なら、

（100－36）×3.14÷4

と整理できます。

64÷4＝16なので、

16×3.14

まで簡単になります。

難しい問題ほど、このように式を整理してから計算しましょう。

「式を立てたらすぐ掛け算する」のではなく、

「まとめられるところはない？」

と一度確認する習慣がおすすめです。

基本から応用へ3段階で練習する

円の面積を苦手克服するなら、問題を次の3段階に分けると進めやすくなります。

第1段階は、

半径や直径から円の面積を求める基本問題。

第2段階は、

半円、おうぎ形、円と正方形などの標準問題。

第3段階は、

複数の円や図形が重なった中学受験レベルの応用問題です。

基本問題で毎回ミスしている状態で、第3段階へ進む必要はありません。

目安として、基本問題を10問解いて8〜9問安定して正解できるようになってから、組み合わせ問題へ進むとよいでしょう。

難問を解く力も、結局は基本を迷わず使えることから生まれます。

まとめ｜円の面積は「半径・割合・図形分解」で考える

中学受験算数の円の面積は、

半径×半径×3.14

という公式を覚えるだけでは対応しきれません。

重要なのは、

半径を正しく見つける
円全体の何分のいくつかを考える
複雑な図形を簡単な図形へ分ける
3.14をまとめて計算する

という4つの考え方です。

特に算数が苦手な子は、問題を見るとすぐ公式に数字を入れようとします。

しかし中学受験では、計算の前の「図を見る時間」が大切です。

まず中心を探す。

次に半径を確認する。

円全体なのか、おうぎ形なのかを見る。

必要なら正方形や三角形に分ける。

ここまで整理できれば、難しそうに見えた問題でも、基本的な面積計算の組み合わせに変わります。

家庭で教えるときも、

「公式は何？」

だけではなく、

「半径はどこ？」
「円全体の何分のいくつ？」
「どの図形を足したり引いたりすればよい？」

と問いかけてみてください。

円の面積は、公式暗記の単元ではなく、図形を整理して考える力を育てる単元です。

基本問題から一つずつ積み上げれば、中学受験の複雑な円の面積問題にも十分対応できるようになります。