中学受験算数の組み合わせを解説｜場合の数のコツ

中学受験算数の「場合の数・組み合わせ」とは？

この記事では、中学受験算数の「場合の数・組み合わせ」について、順列との違い、基本的な数え方、間違えやすいポイント、家庭での教え方まで順を追って解説します。

場合の数は、中学受験算数の中でも苦手になりやすい単元の一つです。

計算問題のように式がすぐ見えるわけではなく、

「どこから数えればいいの？」
「これ、さっき数えた？」
「全部書いたつもりなのに答えが合わない」

という状態になりやすいからです。

特に「組み合わせ」は、順番を考える問題と混同しやすく、少し条件が変わっただけで間違いが増えます。

しかし、ポイントはそれほど複雑ではありません。

大切なのは、

順番を区別するのかしないのかを見分けること

そして、

重複なく、漏れなく整理して数えること

です。

「並べる」のか「選ぶ」のかを最初に見分ける

場合の数では、最初に確認したいことがあります。

それは、

「順番に意味があるのか」

です。

たとえばA・B・Cの3人から、委員長と副委員長を1人ずつ選ぶとします。

Aが委員長、Bが副委員長。

Bが委員長、Aが副委員長。

これは役割が違うため、別の選び方です。

一方、

「3人の中から2人を代表として選ぶ」

だけなら、

AとB
BとA

は同じ組み合わせです。

つまり、

並べ方や役割に意味がある→順番を区別する

ただ選ぶだけ→順番を区別しない

という違いがあります。

中学受験算数では、問題を読んだ瞬間に計算を始めるのではなく、

「A・BとB・Aは同じ？別？」

と確認する習慣をつけると、ミスが減ります。

組み合わせでは順番を区別しない

組み合わせの基本を、具体例で見てみましょう。

A・B・C・Dの4人から2人を選びます。

書き出すと、

AとB
AとC
AとD
BとC
BとD
CとD

の6通りです。

ここで、

BとA
CとA
DとA

などを書いていないことに注目してください。

AとBを選ぶことと、BとAを選ぶことは同じだからです。

つまり組み合わせでは、選んだ順序を考えません。

この違いが分からないと、4人から2人を選ぶだけなのに、

4×3＝12通り

としてしまいます。

12通りの中には、

A→B
B→A

のような重複が含まれています。

2人を選ぶだけなら、その2つは1通りとして数える必要があります。

公式より先に書き出す力を身につける

場合の数では、公式を早く覚えさせたくなるかもしれません。

しかし、小学生の段階では、まず整理して書き出せることが重要です。

たとえば4人から2人を選ぶなら、

Aを最初に固定
→AB、AC、AD

次にBを固定
→BC、BD

次にC
→CD

と書けば、重複なく6通り出せます。

このとき重要なのは、ただ思いついた順に書かないことです。

「Aから始まるものを全部」
「次にBから始まるもの」

というようにルールを決めて書きます。

中学受験の難しい場合の数でも、基本はこの延長です。

公式を知っていても、条件のある問題では結局「整理して数える力」が必要になります。

場合の数の組み合わせ問題を基本例題で理解しよう

4人から2人を選ぶ組み合わせ

まずは最も基本的な問題です。

A、B、C、Dの4人から2人を選ぶとき、選び方は何通りあるでしょうか。

先ほどと同じように書き出します。

Aを含むものは、

AB
AC
AD

の3通り。

Aを使い終わったら、次にBから始めます。

BC
BD

の2通り。

最後に、

CD

の1通りです。

合計は、

3＋2＋1＝6通り

です。

ここで、

4×3÷2＝6

と計算することもできます。

4×3では順番つきで2人を選んでいるため、ABとBAを別々に数えています。

そこで2で割ると、同じ組み合わせを1回にできます。

ただし、最初は式だけ覚えず、なぜ2で割るのかまで理解させることが大切です。

5人から3人を選ぶ組み合わせ

次は、

A、B、C、D、Eの5人から3人を選ぶ問題です。

整理して書くと、

ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE

の10通りです。

式で考える場合は、

5×4×3

とすると、3人を順番つきで選んでいます。

ABCという3人組についても、

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

と6通り数えてしまいます。

3人の並べ方は、

3×2×1＝6通り

なので、

5×4×3÷6＝10

です。

つまり、

選ぶ人数の並べ方だけ重複しているので、その分を割る

と考えます。

「組み合わせだから割る」と暗記するより、重複している数を考えさせるほうが応用につながります。

「少なくとも」「必ず含む」がある問題の考え方

入試では、単純に選ぶだけでなく条件がつきます。

たとえば、

「A、B、C、D、Eの5人から3人を選びます。Aを必ず含む選び方は何通りありますか」

という問題です。

Aは必ず選ぶので、残り4人からあと2人選べばよいことになります。

B、C、D、Eから2人選ぶ組み合わせは、

BC
BD
BE
CD
CE
DE

の6通り。

したがって答えは6通りです。

ポイントは、

条件で決まっているものを先に固定する

ことです。

「少なくとも1人」という条件なら、逆に「1人もいない場合」を全体から引く方法が使えることもあります。

条件付きの場合の数では、全部を一気に考えるより、

「まず条件を処理する」

と整理すると解きやすくなります。

中学受験の組み合わせでよくある3つのミス

同じ組み合わせを2回数えてしまう

組み合わせで最も多いミスが重複です。

たとえば4人から2人選ぶとき、

AB
AC
AD
BA
BC
BD…

と書き始めると、ABとBAを両方数えてしまいます。

これを防ぐには、

一度使った人には戻らない

というルールで書くと分かりやすくなります。

AからはB、C、D。

BからはC、D。

CからはD。

この順序で書けば、逆向きの重複は生まれません。

場合の数が苦手な子には、「とにかく全部書いて」と言うより、「書く順番を決めよう」と教えるほうが効果的です。

順列と組み合わせを混同する

「3人を選ぶ」と「1位・2位・3位を決める」では答えが大きく違います。

5人から3人を選ぶだけなら10通り。

しかし5人の中から1位・2位・3位を決めるなら、

5×4×3＝60通り

です。

同じ3人でも、

A・B・C
A・C・B

は順位が違うので別の結果になります。

問題を読んだら、

「選ばれたメンバーが同じなら、順番が違っても同じ？」

と確認してみましょう。

YESなら組み合わせ。

NOなら順番も考える問題です。

この確認を式の前に入れるだけで、多くの間違いを防げます。

条件を見落として数え漏れ・数えすぎになる

場合の数では、計算より文章の読み取りで失点することも多くあります。

たとえば、

「男子3人、女子2人から3人選ぶ。ただし女子を少なくとも1人含む」

という問題です。

「5人から3人だから10通り」としてしまうと、男子だけ3人の組み合わせまで含まれています。

全体10通りから、

男子3人だけの1通り

を引いて、

9通り

です。

こうした問題では、条件に線を引いておくとよいでしょう。

特に、

必ず
少なくとも
ちょうど
以上
以下

などの言葉は答えを大きく変えます。

計算の前に条件を日本語で言い直す習慣をつけてください。

家庭でできる場合の数・組み合わせの教え方

最初は樹形図より「整理した書き出し」から

場合の数というと、すぐ樹形図を思い浮かべることがあります。

もちろん樹形図は便利ですが、組み合わせの基本段階では必ずしも最初から使う必要はありません。

まず、

AB
AC
AD
BC
BD
CD

のように、一定の規則で書き出せることが大切です。

樹形図は「順番のある場合」には特に便利ですが、組み合わせでは重複も見やすくする必要があります。

算数が苦手な子なら、最初は小さな数字で、

3人から2人
4人から2人
5人から2人

と実際に書き出してみましょう。

その中で、

3人→3通り
4人→6通り
5人→10通り

と増えていく様子を見ることも、場合の数への理解につながります。

「固定する」考え方を身につける

場合の数を得意にするうえで重要なのが「固定する」考え方です。

たとえば5人から3人を選ぶなら、

まずAを選ぶ場合

に限定します。

Aを選んだとき、残り4人から2人選ぶことを考える。

その後、

Aを選ばない場合

を考える。

このように1つの条件を固定すると、複雑な問題でも整理しやすくなります。

道順や数字を作る問題でも同じです。

「百の位が1の場合」
「百の位が2の場合」

のように一つずつ固定して考えます。

中学受験の難問ほど、「一気に全部数える」のではなく「場合分けして固定する」力が必要になります。

基本→条件付き→複合問題の順に練習する

場合の数が苦手な子には、いきなり難しい入試問題を与えないことが大切です。

まず、

「4人から2人選ぶ」

といった単純な組み合わせ。

次に、

「Aを必ず含む」
「男子を少なくとも1人含む」

などの条件付き問題。

そのあとで、

カード
サイコロ
道順
図形

などと組み合わされた問題に進みます。

一度解けた問題も、数日後にもう一度解いてください。

その際、

「どうしてこれは順番を考えないの？」

と聞いてみます。

「選ばれた人が同じなら同じだから」

と答えられれば、考え方を理解しています。

答えだけでなく、数えるルールを説明できる状態を目指しましょう。

まとめ｜組み合わせは「重複なく、漏れなく」が基本

中学受験算数の「場合の数・組み合わせ」は、公式をたくさん覚える単元ではありません。

最初に確認したいのは、

順番を区別するのか、しないのか

です。

たとえばAとBを選ぶ場合、

ABとBAを同じと考えるなら組み合わせ。

別と考えるなら、順番まで考える問題です。

そして組み合わせを数えるときに最も重要なのは、

重複なく、漏れなく数えること

です。

そのためには、

思いついた順に書くのではなく、

Aから始めるもの
次にBから始めるもの
次にCから始めるもの

というように、決めた順番で整理します。

条件付き問題では、

「Aを必ず含むならAを先に固定する」

など、条件を処理してから残りを考えることも大切です。

家庭で教えるとき、子どもが間違えたらすぐ式を直すのではなく、

「ABとBAは同じ？別？」
「同じものを2回数えていない？」
「ほかに漏れているものはない？」

と問いかけてみてください。

場合の数は、計算力だけでは解けません。

一定のルールを決めて整理する力が得点を左右します。

この力が身につけば、単純な組み合わせだけでなく、道順・カード・サイコロ・数字の作り方など、さまざまな中学受験算数の問題にも応用できるようになります。