中学受験算数の容積とは？体積との違いと解き方

中学受験算数の容積は「入る量」と考えると分かりやすい

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数で出てくる容積の意味から、体積との違い、単位換算、水そう問題への応用まで順を追って解説します。

中学受験算数では、「容積」という言葉が水そうや立体図形の問題でよく登場します。

ところが子どもにとっては、

体積
容積
水の量
高さ
リットル
立方センチメートル

が一度に出てくるため、何を求めているのか分からなくなりがちです。

特に、

「容積＝体積と同じでしょ？」

と思っていると、厚みのある箱や水そうの問題で間違いやすくなります。

まずは意味を整理し、そのあとで計算方法を確認していきましょう。

容積と体積の違いを整理する

体積とは、物体そのものが占めている大きさです。

一方、容積とは、

「容器の中にどれくらい入るか」

を表します。

たとえば箱があるとします。

箱そのものの大きさを考えるのが体積です。

その箱の中に、

「水をどれだけ入れられるか」

を考えるのが容積です。

家庭では、

「体積は物の大きさ、容積は中に入る量」

と説明すると分かりやすいでしょう。

中学受験では、この違いを言葉だけで覚えるより、牛乳パックや保存容器など実物を見ながら説明するほうが理解しやすくなります。

直方体の容積は内側の長さで求める

直方体の容積を求める基本は、

たて×横×高さ

です。

ただし、大切なのは、

「内側の長さ」

を使うことです。

たとえば、内側の長さが、

たて20cm
横15cm
高さ10cm

の水そうなら、

20×15×10＝3000

なので、容積は3000㎤です。

一方、外側の長さが同じ20cm、15cm、10cmでも、容器に厚みがあれば中に入る量は小さくなります。

容積問題では、

「これは外側の長さ？」
「それとも内側の長さ？」

を最初に確認する習慣をつけましょう。

1L＝1000㎤を必ず押さえる

中学受験の容積問題で非常に重要なのが単位換算です。

基本となるのは、

1L＝1000㎤
1mL＝1㎤
1000mL＝1L

です。

先ほどの3000㎤なら、

3000÷1000＝3

なので、

3L

となります。

ここで大切なのは、ただ暗記することではありません。

1Lの立方体を考えると、

10cm×10cm×10cm＝1000㎤

です。

そのため、

1L＝1000㎤

となります。

「10cm四方の立方体に1L入る」

とイメージできると、単位換算を忘れにくくなります。

中学受験の容積問題で間違えやすいポイント

外側の長さと内側の長さを混同する

典型的な問題が、厚みのある水そうです。

たとえば、

外側のたて22cm
外側の横17cm
外側の高さ12cm
板の厚さ1cm

という箱があるとします。

内側のたては、

22－1－1＝20cm

横は、

17－1－1＝15cm

となります。

上が開いている箱なら、内側の高さは底板の厚みだけを引き、

12－1＝11cm

です。

したがって容積は、

20×15×11＝3300㎤

です。

子どもがよくする間違いは、

22×17×12

と外寸をそのまま使うことです。

厚みのある容器を見たら、まず「内側の長さを出す」と決めておくとミスが減ります。

cm・㎤・mL・Lの単位換算で迷う

容積問題では、

長さはcm
体積は㎤
水量はmLやL

と、単位が途中で変わります。

ここで混乱しやすい子には、

長さ→cm
面積→㎠
体積→㎤
水量→mL・L

と整理させましょう。

特に、

1㎤＝1mL

を覚えておくと便利です。

たとえば水の体積が2500㎤なら、

2500mL＝2.5L

です。

問題文の答えが「Lで答えなさい」となっている場合は、最後に必ず単位を直します。

水の高さと容積を同じものと考えてしまう

水そう問題では、

「水の高さが5cm」

と書かれていることがあります。

ここで5cmをそのまま水量だと考えてはいけません。

高さはあくまで長さです。

水の体積を求めるには、

底面積×水の高さ

を計算します。

たとえば底面が、

20cm×10cm

なら底面積は、

20×10＝200㎠

です。

水の高さが5cmなら、

200×5＝1000㎤

となります。

つまり水量は1Lです。

水そう問題では、

高さ
と
水量

を必ず分けて考えましょう。

容積問題の基本的な解き方

まず底面積を求める

容積や水量の問題で最も使いやすい考え方が、

底面積×高さ

です。

直方体なら、

たて×横×高さ

でも構いません。

ただし、水そう問題になると、

「底面積×高さ」

と考えたほうが応用しやすくなります。

たとえば、

底面が30cm×20cm
高さ15cm

なら、

底面積は、

30×20＝600㎠

です。

容積は、

600×15＝9000㎤

です。

つまり9L入ります。

底面積×高さで水の体積を求める

同じ水そうに、水を高さ8cmまで入れたとします。

底面積は600㎠なので、

600×8＝4800㎤

です。

したがって水量は、

4.8L

となります。

容器全体の高さが15cmでも、水が8cmしか入っていなければ、

600×15

とはしません。

「何の高さを使うのか」

を確認することが大切です。

家庭では、

「今求めたいのは箱全部？それとも水だけ？」

と聞いてみると理解を確認できます。

厚みのある容器は内寸を求めてから計算する

厚みがある場合は、

外寸
↓
内寸
↓
容積

の順で求めます。

この順番を守るだけでもかなり解きやすくなります。

たとえば、

外寸24cm×18cm×11cm
厚さ1cm
上面は開いている

なら、

内側のたて＝22cm
内側の横＝16cm
内側の高さ＝10cm

です。

したがって、

22×16×10＝3520㎤

となります。

容積は3.52Lです。

水を入れたときの高さの変化も底面積から考える

「水を1200㎤入れたら、高さは何cm上がるか」

という問題もあります。

底面積が300㎠なら、

1200÷300＝4

となり、水面は4cm上がります。

これは、

体積＝底面積×高さ

を変形しただけです。

高さ＝体積÷底面積

と考えれば解けます。

公式として別に覚える必要はありません。

「300㎠の底面に、1200㎤を広げると何cmの厚さになる？」

と考えましょう。

容積を水そう問題へ応用するコツ

水量が一定なら底面積と高さは反比例する

同じ量の水を形の違う容器に移す問題があります。

たとえば水量が1200㎤だとします。

底面積が300㎠なら、

1200÷300＝4cm

です。

底面積が150㎠なら、

1200÷150＝8cm

です。

底面積が半分になると、水の高さは2倍になります。

水の量が同じなら、

底面積が大きいほど水面は低くなり、
底面積が小さいほど水面は高くなる

ということです。

この感覚が分かると、水そう問題がかなり解きやすくなります。

物体を沈めたときは押しのけた水の体積を見る

中学受験では、

「水そうに石や直方体を沈めたら水面が上がった」

という問題も頻出です。

このとき増えた水の体積は、

沈めた物体が水中で占めた体積

と同じです。

たとえば底面積200㎠の水そうで、水面が3cm上がったなら、

200×3＝600㎤

です。

つまり、物体の水中に入った部分の体積は600㎤です。

全部沈んでいるなら、その物体の体積が600㎤と分かります。

「水が増えた」のではありません。

物体が水を押しのけたため、水面が上がったのです。

ここを理解すると、暗記しなくても解けます。

グラフ問題では底面積が変わる場所に注目する

難関校では、水を一定の割合で入れたときの、

時間
と
水面の高さ

の関係をグラフで出すことがあります。

同じ量ずつ水が入っているなら、

底面積が小さい場所では水面が速く上がり、
底面積が大きい場所では水面がゆっくり上がります。

つまりグラフの傾きが変わったら、

「容器の形が変わったのでは？」

と考えます。

たとえば途中に段差がある水そうでは、ある高さを超えると水が広い部分にも流れ込み、底面積が大きくなります。

すると水面の上昇はゆるやかになります。

水そうグラフは難しそうに見えますが、

水量＝底面積×高さ

という基本から考えれば理解できます。

まとめ｜中学受験算数の容積は「底面積×高さ」と単位換算が基本

中学受験算数の容積で大切なのは、公式をたくさん覚えることではありません。

まず、

体積＝物体そのものの大きさ
容積＝容器の中に入る量

という違いを理解しましょう。

そのうえで、

容積＝底面積×高さ

を基本に考えます。

さらに、

1㎤＝1mL
1000㎤＝1L

という単位換算も重要です。

特に中学受験では、

厚みのある容器
水面の高さ
物体を沈める問題
別の容器へ水を移す問題
水量と高さのグラフ

などに発展します。

しかし、どれも中心にあるのは同じです。

「底面積がどれくらいあって、そこにどれだけの高さまで水があるか」

を考えます。

家庭で教えるときも、

「公式は何？」

と聞くより、

「この箱の中に水が入る場所はどこ？」
「底面積はいくつ？」
「水は何cmの高さまである？」

と順番に聞いてみてください。

容積問題が苦手な子は、計算そのものより、体積・水量・高さを混同していることが多くあります。

意味を一つずつ分け、図に数値を書き込みながら考える。

それだけでも、問題の見え方は大きく変わります。

基本の「底面積×高さ」をしっかり身につけることが、水そう・水量変化・立体図形など、より難しい中学受験算数へ進むための土台になります。