中学受験算数の部分分数分解｜解き方を例題で解説

中学受験算数の部分分数分解とは？

この記事では、中学受験算数で使う部分分数分解について、なぜその形に直すのか、基本の解き方、入試での応用パターン、家庭での教え方まで順を追って解説します。

「部分分数分解」と聞くと、中学校や高校で習う難しい計算を想像する保護者もいるかもしれません。

しかし、中学受験算数で扱われる内容は、もっとシンプルです。

代表的なのは、

1／(2×3)

のような分数を、

1／2－1／3

という形に直す考え方です。

難しい名前でもやっていることは分数の変形

まず、

1／2－1／3

を通分してみましょう。

3／6－2／6＝1／6

です。

一方、

1／(2×3)＝1／6

なので、

1／(2×3)＝1／2－1／3

が成り立ちます。

同じように、

1／(3×4)＝1／3－1／4

1／(4×5)＝1／4－1／5

となります。

つまり部分分数分解とは、難しい計算をしているのではなく、1つの分数を、計算しやすい2つの分数に分けていると考えればよいのです。

なぜ分数を2つの分数の差に直すのか

わざわざ分ける理由は、たくさんの分数を足したときに途中の数字が消えるからです。

たとえば、

1／(2×3)＋1／(3×4)＋1／(4×5)

を考えます。

そのまま通分すると面倒ですが、先ほどの形に直すと、

(1／2－1／3)
＋(1／3－1／4)
＋(1／4－1／5)

となります。

ここで、

－1／3と＋1／3
－1／4と＋1／4

がそれぞれ打ち消し合います。

残るのは、

1／2－1／5

だけです。

したがって、

5／10－2／10＝3／10

となります。

長い計算が一気に短くなるのが、部分分数分解の大きな利点です。

中学受験では「公式暗記」より仕組みの理解が大切

子どもに、

1／{n×(n＋1)}＝1／n－1／(n＋1)

とだけ暗記させる方法もあります。

しかし、小学生の場合は文字式だけで覚えると、数字の形が少し変わっただけで使えなくなることがあります。

家庭ではまず、

「右側を通分すると本当に左側になる」

ことを確認させてください。

仕組みが分かれば、忘れても自分で作り直せます。

部分分数分解の基本的な解き方を例題で理解する

部分分数分解は、最初に基本形を完全に理解してから応用へ進むのがおすすめです。

1／(2×3)を2つの分数に分ける

基本形は、

1／(2×3)＝1／2－1／3

です。

なぜなら、

1／2－1／3
＝3／6－2／6
＝1／6

であり、

1／(2×3)＝1／6

だからです。

ここでは「2と3は連続する整数」という点に注目します。

1／(3×4)、1／(4×5)も同じ形になる

同じルールで、

1／(3×4)＝1／3－1／4

となります。

確認すると、

1／3－1／4
＝4／12－3／12
＝1／12

であり、

1／(3×4)＝1／12

です。

さらに、

1／(4×5)＝1／4－1／5

となります。

このように、

分母が「連続する2つの整数の積」になっているときは、2つの単位分数の差に直せる

と覚えておくと便利です。

連続する分数の和は途中が消える

では、次の問題を考えてみましょう。

1／(1×2)
＋1／(2×3)
＋1／(3×4)
＋1／(4×5)

それぞれを変形すると、

(1－1／2)
＋(1／2－1／3)
＋(1／3－1／4)
＋(1／4－1／5)

です。

途中の、

－1／2と＋1／2
－1／3と＋1／3
－1／4と＋1／4

がすべて消えます。

残るのは、

1－1／5＝4／5

です。

このように、途中の項が次々と消えていく計算は、中学受験では数列や規則性の問題でもよく使われます。

中学受験で出る部分分数分解の応用パターン

入試では、いつも「連続する整数」だけが出るとは限りません。

少し形を変えて出題されることがあります。

分母の数字の差が1ではない場合

たとえば、

1／(2×4)

を考えます。

1／2－1／4

とすると、

1／4

になってしまい、元の1／8とは一致しません。

ここで、

1／2－1／4＝1／4

なので、その半分にすれば、

1／(2×4)＝1／2×(1／2－1／4)

となります。

一般に、分母にある2つの数の差が大きくなると、その差に合わせた調整が必要です。

小学生には文字の公式を増やすより、

「まず2つの分数の差を作り、元の分数と比べる」

という考え方を教えるほうが理解しやすいでしょう。

分子が1以外の問題

たとえば、

2／(3×4)

なら、

1／(3×4)＝1／3－1／4

なので、

2／(3×4)
＝2×(1／3－1／4)

と考えられます。

つまり、

2／3－2／4

です。

このような問題でも、基本形を先に作ってから分子の数をかければ対応できます。

最初から新しい公式として覚える必要はありません。

規則性や数列の問題と組み合わされる場合

中学受験では、

1／(1×2)＋1／(2×3)＋……＋1／(99×100)

のような長い式が出ることがあります。

一見すると99個近い分数を足す必要があるように見えます。

しかし変形すると、

(1－1／2)
＋(1／2－1／3)
＋……
＋(1／99－1／100)

となり、途中がすべて消えます。

残るのは、

1－1／100＝99／100

です。

入試で問われているのは、計算量ではなく、規則を見つけて計算を簡単にできるかどうかです。

どの問題で部分分数分解を使うか見抜くコツ

使える可能性が高いのは、次のような式です。

・分母が2つの整数の積になっている
・その整数が連続している
・同じ形の分数が何個も並んでいる
・分母が2×3、3×4、4×5のように規則的に増えている

特に長い足し算を見たら、

「全部通分するしかないのかな？」

と考える前に、

「分数を差に直したら途中が消えないか」

と疑ってみることが大切です。

部分分数分解が苦手な子への家庭での教え方

部分分数分解が苦手な子は、「公式が難しい」のではなく、なぜ変形してよいのかが分かっていないケースが少なくありません。

家庭では変形の意味を確かめるところから始めましょう。

最初は展開ではなく通分して確かめる

1／(2×3)＝1／2－1／3

を見せたとき、

「これを覚えて」

だけで終わらせないことが重要です。

右側を通分させ、

1／2－1／3＝1／6

になることを本人に確認させます。

「本当に同じ数なんだ」と納得できれば、変形への抵抗感が減ります。

「消える数字」を線で追わせる

長い式では、途中で何が消えるのか見失いやすくなります。

たとえば、

(1／2－1／3)
＋(1／3－1／4)
＋(1／4－1／5)

と書いたら、

－1／3と＋1／3
－1／4と＋1／4

に同じ印をつけさせます。

最初は実際に斜線を引いて消しても構いません。

目で確認できると、「なぜ最初と最後だけ残るのか」が理解しやすくなります。

公式を増やしすぎず基本形から広げる

苦手な子ほど、公式を何種類も覚えさせると混乱します。

まず、

1／(2×3)＝1／2－1／3

を完全に理解させましょう。

そこから、

1／(3×4)
1／(5×6)
1／(10×11)

と数字を変えて練習します。

基本形を自在に扱えるようになってから、数字の差が2以上の問題へ進むほうが効率的です。

解き直しでは変形理由を説明させる

正解したかどうかだけでなく、

「どうしてこの形に直したの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「途中の分数が消えるから」

「分母が連続する2つの数の積だから」

と説明できれば、理解が深まっています。

反対に、

「そういう公式だから」

しか言えない場合は、似た問題では解けても形が変わると止まりやすい状態です。

中学受験算数では、解き方を覚えるだけでなく、「なぜその方法を選んだか」を言葉にできることが応用力につながります。

まとめ｜部分分数分解は仕組みが分かれば得点源になる

中学受験算数で使われる部分分数分解は、名前ほど難しいものではありません。

基本となるのは、

1／(2×3)＝1／2－1／3

という変形です。

さらに、

1／(3×4)＝1／3－1／4
1／(4×5)＝1／4－1／5

と続けていくと、足し算をしたときに途中の分数が打ち消し合います。

そのため、本来なら通分が大変な長い分数の和も、最初と最後の項だけを使って短時間で求められます。

家庭学習では、公式をそのまま暗記させるより、

「右側を通分すると元の分数になる」
「なぜ途中が消えるのか」
「なぜこの問題で使えるのか」

を一つずつ確認してください。

特に、

分母が2つの数の積になっている
連続する形が並んでいる
長い分数の足し算になっている

という問題を見たら、部分分数分解を使えないか考える習慣をつけることが大切です。

一度仕組みを理解すると、部分分数分解は暗記項目ではなく「面倒な計算を短くする便利な道具」に変わります。

規則性や数列にもつながるため、中学受験算数ではぜひ得点源にしておきたい考え方です。