中学受験算数の相似比を攻略！図形問題の解き方

中学受験算数の相似比とは？まず押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の相似比について、基本の考え方から典型問題の解き方、家庭での練習方法まで順を追って分かりやすく解説します。

中学受験算数の図形問題では、「相似」は非常によく使われる考え方です。

特に小5後半から小6になると、相似だけの単純な問題ではなく、

相似＋面積比
相似＋比
相似＋平行線
相似＋高さ

など、複数の考え方を組み合わせた問題が増えてきます。

そのため、公式だけを覚えるのではなく、「なぜその比になるのか」を理解することが重要です。

相似は「形が同じで大きさだけ違う図形」

相似とは、簡単にいうと、

形は同じで、大きさだけが違う図形

のことです。

たとえば、辺の長さが

3cm・4cm・5cm

の三角形と、

6cm・8cm・10cm

の三角形を比べてみます。

すべての辺が2倍になっています。

3：6＝1：2
4：8＝1：2
5：10＝1：2

このように、対応する辺の長さの比がすべて同じになるとき、2つの三角形は相似です。

中学受験では、まずこの「対応している辺」を正しく見つけることがスタートになります。

相似比は対応する辺どうしの比

相似している2つの三角形で、対応する辺の長さの比を相似比と呼びます。

たとえば、小さい三角形の辺が4cm、大きい三角形の対応する辺が6cmなら、

4：6＝2：3

なので、相似比は

2：3

です。

ここで大切なのは、「見た目が近い辺」を比べるのではなく、同じ位置に対応する辺を比べることです。

図形が回転していたり、上下が逆になっていたりすると、子どもは対応関係を見失いやすくなります。

相似比と面積比は同じではない

相似問題で非常に多いミスが、

「相似比2：3だから、面積比も2：3」

としてしまうことです。

面積は、

たて×よこ

で求めます。

つまり、長さが2倍になれば、面積は

2×2＝4倍

になります。

そのため相似比が

2：3

なら、面積比は

2×2：3×3
＝4：9

です。

つまり、

相似比＝辺の比
面積比＝相似比を2乗した比

と覚えておきましょう。

ここは中学受験算数で頻出です。

相似比の問題でつまずく3つの原因

相似比が苦手な子を見ていると、計算そのものよりも「図形の見方」でつまずいているケースが多くあります。

特に次の3つはよく見られる原因です。

対応する辺を正しく見つけられない

相似問題では、同じ形の三角形が同じ向きに並んでいるとは限りません。

たとえば、

△ABC
△ADE

が相似だったとしても、図では一方が逆向きになっている場合があります。

すると子どもは、

「上にある辺と上にある辺」

を対応させようとしてしまいます。

しかし、対応関係は位置ではなく角の大きさで決まります。

そのため、

A↔A
B↔D
C↔E

のように、対応する頂点を先に確認するとミスが減ります。

相似の三角形そのものを発見できない

入試問題では、

「この2つの三角形は相似です」

とは書かれていません。

自分で見つける必要があります。

特に頻出なのが、平行線を使った問題です。

たとえば三角形ABCの中にDEという線があり、

DE∥BC

となっていれば、

△ADEと△ABC

が相似になります。

なぜなら、平行線によって同じ大きさの角ができるからです。

相似比が苦手な子には、まず「平行線が出てきたら相似を疑う」という視点を持たせるとよいでしょう。

辺の比と面積比を混同してしまう

もう一つ多いのが、

相似比
面積比

を途中で混同するミスです。

たとえば相似比が

3：5

だった場合、

辺の長さは3：5ですが、

面積は

9：25

です。

ところが問題を解いている途中で、

「3：5だったから面積も3：5」

としてしまう子は少なくありません。

家庭学習では、

「今求めているのは長さ？面積？」

と確認するだけでも、かなりミスを防げます。

中学受験算数の相似比を解く基本手順

相似比の問題は、毎回感覚で解くより、手順を決めてしまう方が安定します。

おすすめは次の流れです。

手順1｜相似な三角形を見つける

まず図の中から、形が同じ三角形を探します。

特に注目したいのは、

平行線
共通する角
対頂角

です。

たとえばX型に交わっている図形では、交点にできる向かい合う角は同じ大きさになります。

この「対頂角」は、相似を見つける重要なヒントです。

問題を見たらいきなり式を作らず、

「相似な三角形はどれ？」

と探す習慣をつけましょう。

手順2｜対応する頂点と辺をそろえる

相似な三角形を見つけたら、対応関係を書きます。

たとえば、

△ABC∽△DEF

なら、

A↔D
B↔E
C↔F

です。

したがって辺は、

AB↔DE
BC↔EF
CA↔FD

と対応します。

ここを曖昧にしたまま比例式を作ると、ほぼ確実にミスが起こります。

算数が苦手な子ほど、

「頭の中で分かっているから書かなくていい」

と省略しがちですが、実際には書いた方が速く正確です。

手順3｜比例式を作って未知の長さを求める

たとえば相似な三角形で、

AB＝6cm
DE＝9cm
BC＝8cm
EF＝□cm

だったとします。

対応関係から、

6：9＝8：□

となります。

6：9＝2：3なので、

8：□＝2：3

です。

8が2にあたるので、

1あたりは4。

したがって、

□＝12cm

となります。

中学受験では比例式を複雑に作るより、

「何倍になっているか」

を考えた方が理解しやすい子もいます。

この場合、

6→9は1.5倍

なので、

8×1.5＝12

と求めても構いません。

手順4｜面積を求めるときは比を2乗する

次に面積問題です。

相似比が

2：5

なら、

面積比は

4：25

です。

たとえば小さい三角形の面積が12㎠なら、

12：□＝4：25

となります。

4にあたる面積が12なので、

1あたりは3。

したがって大きい三角形は、

25×3＝75㎠

です。

ここでは、

「相似比を2乗してから面積比を作る」

という順番を固定すると迷いにくくなります。

相似比が苦手な子におすすめの家庭学習法

相似比は、問題数を大量にこなすだけではなかなか定着しません。

大切なのは「図を見る手順」を身につけることです。

図形に同じ印を書き込む習慣をつける

まずおすすめなのが、等しい角に印を書く方法です。

たとえば、

同じ角には○
別の同じ角には△

というように印をつけます。

すると、

○と△を持つ三角形が2つある
↓
相似

と視覚的に気づきやすくなります。

特に図形を頭の中で回転させるのが苦手な子には効果的です。

相似比から面積比までセットで練習する

相似比だけを練習して終わるのではなく、

相似比2：3
↓
面積比4：9

という変換をセットで練習しましょう。

たとえば保護者が、

「相似比が3：4なら面積比は？」

と聞き、

子どもが

「9：16」

とすぐ答えられるようにします。

さらに、

「相似比5：7なら？」

「25：49」

というように繰り返します。

1日2〜3分でも十分です。

この変換が自動化すると、応用問題で考える負担が大きく減ります。

複雑な問題ほど小さな三角形から探す

難しい図形問題では、大きな図全体を見てしまうと混乱します。

そんなときは、

「三角形を1つずつ探してみよう」

と声をかけてください。

たとえば複雑な図の中に、

小さい三角形
中くらいの三角形
大きい三角形

が重なっている場合があります。

その中から、

「この2つは同じ角を持っている」

と見つけられれば、相似につながります。

実際、中学受験の図形問題では、一見難しそうでも「相似な三角形を1組見つける」と一気に解ける問題が少なくありません。

家庭で教えるときも、

「答えは何？」

ではなく、

「相似な三角形はどこにある？」

と聞く方が、子どもの見る力を伸ばせます。

まとめ｜相似比は「対応関係」が分かれば得点源になる

中学受験算数の相似比は、図形問題の中でも特に重要な単元です。

最初は、

「どの三角形が相似なのか分からない」
「どの辺とどの辺を比べるの？」
「面積比になると混乱する」

という子も珍しくありません。

しかし、相似比の問題には基本的な流れがあります。

まず相似な三角形を探す。
次に対応する頂点をそろえる。
対応する辺から相似比を作る。
面積なら相似比を2乗する。

この順番を毎回守るだけでも、正答率は安定しやすくなります。

特に重要なのは、

相似比が2：3なら、対応する辺は2：3、面積比は4：9

という違いを確実に理解することです。

相似は、それ単独で終わる単元ではありません。

面積比、比、平行線、図形の移動など、多くの問題に組み込まれます。

だからこそ小5〜小6の段階で、「公式を覚えている」ではなく、「どの図形とどの図形が対応しているか説明できる」状態を目指しましょう。

家庭学習では、答えをすぐに教えるよりも、

「同じ角はどこ？」
「対応する頂点はどれ？」
「今使っているのは辺の比？面積比？」

と一つずつ確認してみてください。

相似比は、一度図形の見方が身につくと、複雑な問題でも使える強力な武器になります。

焦って難問に進むより、まずは対応関係を正しく見つける練習から積み重ねることが、中学受験算数で相似を得点源にする近道です。