中学受験算数の体積問題｜基本と解き方を解説

中学受験算数の体積問題で最初に押さえる基本

この記事では、中学受験算数の体積問題について、基本公式から複合立体、水位変化、切断などの応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、立方体や直方体の体積だけでなく、

複合立体
水そう
水位変化
物体の沈下
立体の切断

など、さまざまな形で体積が出題されます。

難しい問題ほど、特別な公式をたくさん使うように見えます。

しかし土台になる考え方はシンプルです。

まずは、

どの面を底面と見るか
高さはどこか
何cm³になるか

を整理しましょう。

直方体の体積は「たて×横×高さ」

直方体の体積は、

たて×横×高さ

で求めます。

たとえば、

たて5cm
横4cm
高さ3cm

なら、

5×4×3＝60cm³

です。

この公式は、

底面積×高さ

と考えても同じです。

底面が、

5×4＝20cm²

高さが3cmなので、

20×3＝60cm³

となります。

中学受験では、この「底面積×高さ」という考え方のほうが応用しやすくなります。

立方体は1辺を3回掛ける

1辺が4cmの立方体なら、

4×4×4＝64cm³

です。

ここで、

4×4＝16cm²

は1つの面の面積です。

さらに高さ4cmを掛けて、

16×4＝64cm³

となります。

算数が苦手な子は、

面積と体積

を混同することがあります。

面積は「面の広さ」、体積は「立体の中にどれだけ入るか」とイメージさせましょう。

cm³とmL・Lの関係を整理する

水そう問題では、体積と水の量を結び付けます。

重要なのは、

1cm³＝1mL
1000cm³＝1000mL＝1L

という関係です。

たとえば、

2000cm³

なら、

2000mL＝2L

です。

逆に3.5Lなら、

3500cm³

です。

水量問題では、この単位換算ができるかどうかで大きく差がつきます。

体積問題の基本パターンを例題で解説

ここでは、中学受験でよく出る基本形を確認します。

直方体・立方体の体積を求める

例題です。

「たて8cm、横5cm、高さ6cmの直方体の体積を求めなさい」

8×5×6＝240

なので、

240cm³

です。

計算そのものは簡単ですが、

cm
cm²
cm³

を間違えないようにしましょう。

長さはcm、面積はcm²、体積はcm³です。

欠けた立体は「全体－欠けた部分」で考える

たとえば大きな直方体から、小さな直方体を切り取った形があります。

この場合、

残りを直接求めよう

とすると複雑になることがあります。

そこで、

大きな直方体の体積
－
切り取った部分の体積

と考えます。

大きい直方体が、

10×8×6＝480cm³

切り取った直方体が、

4×3×2＝24cm³

なら、

480－24＝456cm³

です。

「足すより引くほうが簡単か」を見ることがポイントです。

複合立体は分けて足す

L字型などの立体では、2つ以上の直方体に分けます。

たとえば、

A部分＝5×4×3＝60cm³
B部分＝2×4×3＝24cm³

なら、

60＋24＝84cm³

です。

分け方は1通りとは限りません。

縦に分けても、横に分けてもよい場合があります。

家庭では、

「どこで切れば直方体になる？」

と聞いてみてください。

柱体は「底面積×高さ」で考える

三角柱や台形柱でも基本は同じです。

たとえば底面が三角形で、

底辺6cm
高さ4cm

なら、底面積は、

6×4÷2＝12cm²

です。

柱の高さが10cmなら、

12×10＝120cm³

となります。

つまり、

体積＝底面積×高さ

です。

「たて×横×高さ」という公式だけでは対応できない問題でも、この考え方なら解けます。

中学受験で出る体積の応用問題

中学受験では、体積そのものを求めるだけでなく、水位や物体の移動と組み合わせた問題が出ます。

水位が上がる問題は増えた体積を見る

たとえば、

底面積が50cm²の水そうに水を入れたところ、水位が4cm上がりました。

増えた水の体積は、

50×4＝200cm³

です。

つまり200mLの水が増えたことになります。

ここで重要なのは、

増えた体積＝底面積×水位の変化

です。

水そう全体の体積を求める必要はありません。

物体を沈める問題は押しのけた水の体積を考える

水の中に立体を完全に沈めると、その立体の体積分だけ水位が上がります。

たとえば底面積100cm²の水そうで、水位が3cm上がったなら、

100×3＝300cm³

分の水が押しのけられています。

したがって、完全に水中に入った物体の体積は300cm³です。

ただし、物体が途中までしか水に入っていない場合は、沈んでいる部分の体積だけを考えます。

底面積が変わる容器は高さごとに分ける

応用問題では、途中で容器の幅が変わることがあります。

たとえば下の5cmまでは底面積40cm²、その上は底面積70cm²という容器です。

水が下から8cmまで入っているなら、

下の部分
40×5＝200cm³

上の部分
70×3＝210cm³

合計、

200＋210＝410cm³

です。

このような問題では、

水位がどの高さを超えたか

で区切ります。

1つの底面積で最後まで計算しないことが重要です。

立体の切断は断面と残る体積を整理する

難関校では立方体を斜めに切る問題もあります。

切断問題では、いきなり体積を求めるのではなく、

どの辺を通るか
断面が何角形になるか
切り取られる立体は何か

を順番に確認します。

たとえば切り取られた部分が三角柱なら、

三角形の底面積×柱の高さ

で求められます。

複雑な立体でも、知っている柱体へ分解できれば計算できます。

体積問題が苦手な子への家庭での教え方

体積が苦手な子は、公式そのものより「立体を頭の中で見ること」に苦労している場合があります。

公式暗記より箱のイメージを持たせる

直方体なら、

1cm³の小さな立方体が何個入るか

と考えます。

たて4個
横3個

なら1段に、

4×3＝12個

あります。

それが高さ5段なら、

12×5＝60個

です。

だから体積は60cm³になります。

「なぜ掛け算なのか」が分かれば、公式を忘れても考え直せます。

長さ・面積・体積の単位を混同させない

家庭では、

cm＝長さ
cm²＝面積
cm³＝体積

とセットで確認します。

たとえば、

底面積20cm²×高さ5cm

なら、

20×5＝100

単位は、

cm²×cm＝cm³

です。

数値だけでなく単位まで書く習慣をつけると、何を計算しているのか分かりやすくなります。

複雑な立体は補助線を書いて分ける

L字型や段差のある立体では、頭の中だけで分けないようにします。

問題図に、

ここで切る

という線を書き込みます。

そして、

Aの直方体
Bの直方体

と名前を付けます。

たとえば、

A＝120cm³
B＝80cm³

なら、

120＋80＝200cm³

です。

視覚的に整理するだけでミスが減ります。

途中式に「何の体積か」を書く

応用問題では、

200
300
450

と数字だけ並べると、途中で何を求めたか分からなくなります。

そこで、

水そう下部＝200cm³
上部＝210cm³
合計＝410cm³

のように書きます。

家庭では、

「この200は何の200？」

と聞いてみてください。

数字の意味を説明できれば、理解できている可能性が高いです。

まとめ｜体積問題は「底面積×高さ」と分解が基本

中学受験算数の体積問題では、まず、

体積＝底面積×高さ

という基本を押さえることが大切です。

直方体なら、

たて×横×高さ

立方体なら、

1辺×1辺×1辺

です。

また、

1cm³＝1mL
1000cm³＝1L

という単位関係も、水そう問題では必須です。

応用問題では、

複合立体
水位変化
物体の沈下
底面積が途中で変わる容器
立体の切断

などが出題されます。

しかし、難しく見えても考え方は、

直方体や柱体に分ける
↓
底面積を求める
↓
高さを掛ける
↓
必要なら足す・引く

という流れです。

家庭では、

「どれが底面？」
「高さはどこ？」
「直方体に分けられない？」
「この数字は何の体積？」

と問いかけてください。

体積問題は、公式をたくさん覚える単元ではありません。

複雑な立体を、知っている簡単な立体へ分ける力を身につける単元です。

「底面積×高さ」を土台にして、補助線を入れ、何の体積を求めているかを整理する。

この習慣が身につけば、基本的な直方体から水位変化・複合立体・切断まで、中学受験の体積問題に安定して対応できるようになります。