中学受験の立体図形公式｜体積・表面積まとめ

中学受験の立体図形で覚えたい基本公式

この記事では、中学受験の立体図形で覚えておきたい公式を整理し、使い方・間違えやすいポイント・家庭での覚え方まで分かりやすく解説します。

中学受験の立体図形では、公式を知らなければ解けない問題があります。

ただし、すべてをバラバラに覚える必要はありません。

基本は、

柱の体積＝底面積×高さ
すいの体積＝底面積×高さ÷3

の2つに整理できます。

直方体・立方体の体積

直方体の体積は、

たて×横×高さ

です。

例えば、

たて4cm
横3cm
高さ5cm

なら、

4×3×5＝60

なので、

体積は60㎤です。

これは、

底面積＝4×3＝12㎠

を、

高さ5cm分積み重ねる

と考えても、

12×5＝60㎤

になります。

立方体は、

1辺×1辺×1辺

です。

一辺5cmなら、

5×5×5＝125㎤

です。

「直方体と立方体で別の公式」と考えるより、どちらも「底面積×高さ」と理解すると覚えやすくなります。

角柱・円柱の体積

角柱も円柱も公式は同じです。

底面積×高さ

です。

例えば三角柱で、底面となる三角形が、

底辺6cm
高さ4cm

なら、

底面積＝6×4÷2＝12㎠

です。

柱の高さが10cmなら、

12×10＝120㎤

です。

円柱なら、底面が円なので、

円の面積＝半径×半径×3.14

を使います。

半径3cm、高さ8cmなら、

3×3×3.14×8
＝226.08㎤

です。

中学受験では、「どの面が底面なのか」を見抜くことが重要です。

角すい・円すいの体積

角すい・円すいの体積は、

底面積×高さ÷3

です。

例えば底面積24㎠、高さ9cmの角すいなら、

24×9÷3＝72㎤

です。

円すいなら、

半径3cm
高さ6cm

の場合、

3×3×3.14×6÷3
＝56.52㎤

です。

柱体と最も違うのは、

最後に3で割る

ところです。

ここは中学受験でも非常に多いミスなので、必ず確認しましょう。

表面積は「すべての面を足す」と考える

表面積には立体ごとの形がありますが、基本は単純です。

外側に見えているすべての面の面積を足す

だけです。

例えば一辺4cmの立方体なら、

1面＝4×4＝16㎠

面は6枚あるので、

16×6＝96㎠

です。

直方体なら、

たて×横
横×高さ
たて×高さ

の3種類の面が、それぞれ2枚ずつあります。

公式だけを暗記するより、「外側の面を全部足している」と理解することが大切です。

立体図形の公式を例題で使ってみよう

公式は、問題の中で使えるようになって初めて意味があります。

直方体の体積と表面積

たて6cm、横4cm、高さ3cmの直方体を考えます。

体積は、

6×4×3＝72㎤

です。

表面積は、

6×4×2
＋4×3×2
＋6×3×2

＝48＋24＋36
＝108㎠

です。

体積と表面積を混同する子は、

体積＝中身の大きさ
表面積＝外側を包む広さ

と意味を確認するとよいでしょう。

円柱の体積と表面積

半径2cm、高さ5cmの円柱を考えます。

体積は、

2×2×3.14×5
＝62.8㎤

です。

表面積は、

上の円
下の円
側面

を足します。

円2枚は、

2×2×3.14×2
＝25.12㎠

です。

側面は、円柱を開くと長方形になります。

横の長さは円周なので、

2×2×3.14＝12.56cm

高さ5cmだから、

12.56×5＝62.8㎠

です。

したがって表面積は、

25.12＋62.8＝87.92㎠

です。

角すい・円すいは「3分の1」を忘れない

底面積30㎠、高さ12cmの角柱なら、

30×12＝360㎤

です。

同じ底面積と高さの角すいなら、

30×12÷3＝120㎤

です。

つまり、同じ底面と高さなら、

角すいの体積は角柱の3分の1

です。

円柱と円すいでも同じ関係になります。

この関係を理解しておくと、「÷3」をただ暗記するより忘れにくくなります。

複合立体は足すか引くかで考える

中学受験では、直方体が組み合わさった立体もよく出ます。

例えばL字型の立体なら、

小さい直方体を2つに分けて足す

方法があります。

または、

大きな直方体
－欠けている部分

で求めることもできます。

例えば全体が、

10×6×4＝240㎤

欠けている部分が、

4×2×4＝32㎤

なら、

240－32＝208㎤

です。

複雑な形でも、基本公式そのものは変わりません。

中学受験で公式だけでは解けない立体図形

立体図形では、公式を覚えただけでは対応できない問題も多くあります。

切断問題は断面の形を見つける

立方体を平面で切る問題では、

どんな切り口になるか

を先に考えます。

三角形
四角形
五角形
六角形

など、切り方によって変わります。

切断面が分からなければ、その後の面積や体積も求められません。

つまり、

公式を使う前に図形を正しく見る力

が必要です。

水量問題は底面積と高さに注目する

水そう問題では、

体積＝底面積×高さ

を逆に使います。

例えば底面積20㎠の容器に100㎤の水を入れるなら、

高さ＝100÷20＝5cm

です。

つまり、

高さ＝体積÷底面積

と考えられます。

途中で底面積が変わる容器では、水位の上がり方も変わるため注意が必要です。

回転体は回す前の図形を見る

長方形を1辺のまわりに回転させると円柱になります。

直角三角形を1辺のまわりに回すと円すいになります。

このとき、

どの辺を軸に回しているか

を確認します。

例えば、

長方形の横4cm
縦6cm

を縦6cmの辺を軸に回せば、

半径4cm
高さ6cm

の円柱です。

そこから、

4×4×3.14×6

と体積を求めます。

相似と体積比は比の考え方を使う

相似な立体では、

長さの比
面積の比
体積の比

がつながっています。

例えば相似比が、

2：3

なら、

面積比＝4：9

体積比＝8：27

です。

体積比は、

2×2×2：3×3×3

だからです。

中学受験では、この関係を使って高さや体積を求める問題がよくあります。

立体図形の公式を定着させる家庭学習法

公式は「覚えたつもり」になりやすいので、家庭では使い方まで確認しましょう。

公式を丸暗記せず意味まで説明する

例えば、

柱体の体積＝底面積×高さ

なら、

「なぜ掛けるの？」

と聞いてみます。

子どもが、

「同じ形の底面が高さの分だけ重なっているから」

と説明できれば、意味を理解しています。

すい体なら、

「同じ底面積と高さの柱体の3分の1」

と説明できるとよいでしょう。

単位を必ず書いて確認する

立体図形では、

cm
㎠
㎤

の取り違えもよくあります。

長さ＝cm
面積＝㎠
体積＝㎤

です。

答えが125と出ても、

125cm
125㎠
125㎤

では意味がまったく違います。

途中から単位を意識する習慣をつけましょう。

公式一覧だけでなく基本問題を解く

公式表を毎日眺めるだけでは、問題で使えるようになりません。

例えば、

直方体
円柱
角すい

を1問ずつ解くだけでも十分です。

「どの公式を使うか」を自分で選ぶことが重要です。

公式名を書いた問題だけでなく、立体の図を見て判断する問題にも取り組みましょう。

翌日に何も見ず公式を再現する

その日に覚えても、翌日に出てこなければまだ定着していません。

翌日に、

柱の体積は？
すいの体積は？
立方体の表面積は？

と聞いてみます。

答えだけでなく、

「どうしてそうなるの？」

まで説明させると理解度を確認できます。

まとめ｜立体図形の公式は形と意味をセットで覚えよう

中学受験の立体図形でまず覚えたい基本公式は、次のように整理できます。

柱体の体積
＝底面積×高さ

すい体の体積
＝底面積×高さ÷3

直方体の体積
＝たて×横×高さ

立方体の体積
＝1辺×1辺×1辺

表面積
＝外側にあるすべての面の面積の合計

です。

さらに、

円の面積
相似比
面積比
体積比

なども組み合わせて使います。

ただし、中学受験の立体図形は公式暗記だけでは解けません。

切断なら断面を見つけ、水量なら底面積に注目し、回転体なら回転軸を確認する必要があります。

立体図形の公式は「数字を入れる箱」として覚えるのではなく、「なぜその計算になるのか」を立体の形とセットで理解することが大切です。

家庭では、公式を言えるかだけでなく、

どの面が底面か
なぜ3で割るのか
体積と表面積の違いは何か

まで説明させてみてください。

意味が分かれば、公式を忘れにくくなり、複雑な中学受験の立体図形にも対応しやすくなります。