中学受験の立体図形「水」｜水位問題の解き方

中学受験の立体図形「水」問題で押さえる基本

この記事では、中学受験の立体図形で頻出する「水」の問題について、水位・容積・物体を沈める問題・水を移す問題の基本から応用まで順を追って解説します。

中学受験算数の立体図形では、水そうや容器に水を入れる問題がよく扱われます。

一見すると種類が多く見えますが、基本はほぼ同じです。

大切なのは、

水の体積＝底面積×水の高さ

という関係です。

水の体積は「底面積×高さ」で考える

例えば、底面積が40㎠の直方体の容器に、水が6cmの高さまで入っているとします。

水の体積は、

40×6＝240㎤

です。

ここで重要なのは、容器全体の高さではなく「水が入っている高さ」を使うことです。

立体図形が苦手な子は、

容器の高さ
水の高さ

を混同しやすいため、図の水面に線を引き、「ここまでが水」と確認すると分かりやすくなります。

水を移しても水そのものの体積は変わらない

同じ水を別の容器へ移しても、水をこぼさない限り体積は変わりません。

先ほどの240㎤の水を、底面積60㎠の容器へ移すなら、

240÷60＝4cm

です。

元の容器では6cmだった水位が、新しい容器では4cmになります。

底面積が大きくなると水位は低くなり、底面積が小さくなると水位は高くなります。

この感覚を持っておくと、答えのおおよその見当もつけやすくなります。

物体を沈めると押しのけた体積だけ水位が上がる

水そうに物体を完全に沈める問題も頻出です。

例えば底面積50㎠の容器へ、体積150㎤の石を完全に沈めたとします。

石が水を押しのける体積は150㎤です。

したがって水位の上昇は、

150÷50＝3cm

です。

「物体の体積＝水位が上がった部分の体積」

と考えます。

ただし物体が完全に水中に入っている場合に使う考え方です。

水位が変わる場所では底面積に注意する

難しい問題では、容器の途中で横幅が変わります。

例えば下側は細く、途中から広がっている容器です。

この場合、同じ100㎤の水を加えても、

細い部分では水位が大きく上がる
広い部分では水位が少ししか上がらない

という違いが出ます。

水位問題では、常に「今、水が広がっている底面積はいくつか」を確認しましょう。

立体図形の水位問題を例題で解こう

基本的な4パターンを具体的に見ていきます。

水を別の容器へ移す基本問題

例題1：底面積30㎠の容器に高さ8cmまで水が入っています。この水を底面積48㎠の容器へすべて移すと、水位は何cmになりますか。

最初の水の体積は、

30×8＝240㎤

です。

移した後も水の体積は240㎤なので、

240÷48＝5cm

となります。

答えは5cmです。

このタイプは、

元の体積を求める
↓
新しい底面積で割る

という2段階です。

物体を完全に沈める問題

例題2：底面積60㎠の水そうに、体積240㎤の直方体を完全に沈めました。水位は何cm上がりますか。

物体が押しのける水の体積は240㎤です。

したがって、

240÷60＝4cm

です。

答えは4cmです。

ここで「水の量が240㎤増えた」と考えないように注意しましょう。

水そのものの量は増えていません。

物体が場所を取った分だけ、水面が上がったのです。

水を加えて水位が上がる問題

例題3：底面積80㎠の容器に400㎤の水を追加しました。水位は何cm上がりますか。

追加した水の体積が400㎤なので、

400÷80＝5cm

です。

答えは5cmです。

物体を沈める問題と見た目は違いますが、

増えた体積÷底面積

という計算は同じです。

この共通点に気づくと、暗記するパターンを減らせます。

途中で底面積が変わる容器の問題

例題4：底から4cmまでは底面積40㎠、それより上は底面積80㎠の容器があります。240㎤の水を入れると水位は何cmになりますか。

まず高さ4cmまで入れるのに必要な水は、

40×4＝160㎤

です。

240㎤のうち残りは、

240－160＝80㎤

です。

上の広い部分では底面積80㎠なので、

80÷80＝1cm

上がります。

したがって水位は、

4＋1＝5cm

です。

途中で形が変わる場合は、区切りまでの体積を先に求めることがポイントです。

中学受験で差がつく「水」の応用問題のコツ

応用問題になると、容器の形や物体の入り方が複雑になります。

水の体積を先に求めてから考える

水位だけを追いかけると混乱しやすくなります。

まず、

「水は何㎤あるのか」

を求める癖をつけましょう。

例えば底面積50㎠、水位7cmなら、

50×7＝350㎤

です。

この350㎤を基準にすれば、容器を変えても、傾けない限り体積そのものは変わりません。

物体の一部だけが水に入る場合は体積を分ける

例えば高さ10cmの直方体のうち、下から4cmだけ水中に入っている場合、押しのけるのは物体全体ではありません。

水中に入った部分だけです。

底面積が20㎠なら、

20×4＝80㎤

だけ水を押しのけます。

「物体の体積を全部使う」と思い込まないようにしましょう。

複雑な容器は高さごとに区切る

段差のある容器や、途中で幅が変わる容器では、

0～4cm
4～7cm
7cm以上

のように高さごとに区切ります。

各部分について、

底面積×高さ

で容量を求めていけば、複雑な形でも処理できます。

「変わるところで区切る」という考え方は、立体図形全般で有効です。

グラフ問題は「水位の上がり方」に注目する

水を一定の速さで入れたときの水位をグラフにする問題もあります。

底面積が小さい部分では、少ない水でも高さが大きく増えます。

つまりグラフは急に上がります。

反対に、底面積が大きい部分では水位の上昇がゆるやかになります。

例えば同じ60㎤の水を入れる場合、

底面積20㎠なら3cm上昇
底面積60㎠なら1cm上昇

です。

グラフの傾きと底面積の大小を結びつけると理解しやすくなります。

水位問題が苦手な子への家庭での教え方

水の問題は、身近なものを使って理解しやすい単元です。

公式ではなくコップや箱で意味を確認する

透明な保存容器や計量カップを使って、

同じ水を細い容器へ移す
広い容器へ移す

と、水位の違いを実際に確認できます。

「底が広いほど水位は低くなる」

という感覚があれば、計算結果の見直しもしやすくなります。

図に水面と高さを書き込む

問題文を読んだら必ず、

水面の線
水の高さ
底面積

を書き込みます。

例えば、

底面積50㎠
水位6cm

なら、図の中へ直接書きます。

水そう全体の高さと区別できるよう、水面を横線で明確に示しましょう。

単位をそろえてから計算する

水位問題では、

cm
㎠
㎤
L
mL

などが混ざる場合があります。

基本として、

1㎤＝1mL
1000㎤＝1L

を確認しておきましょう。

例えば2Lなら、

2000㎤

です。

単位がそろわないまま掛け算・割り算を始めないことが大切です。

基本→物体→複合容器の順に練習する

家庭学習では、

第1段階
直方体の容器で水を移す

第2段階
物体を沈めて水位が変わる

第3段階
途中で底面積が変わる容器やグラフ

の順に進みます。

基本問題10問のうち8問程度を自力で解けるようになってから、次の段階へ進むと安定します。

いきなり複雑な水位グラフへ行く必要はありません。

まとめ｜水位問題は「体積がどう変わったか」を追おう

中学受験の立体図形で「水」が出てきたときの基本は、

水の体積＝底面積×高さ

です。

水を別の容器へ移しても、こぼさなければ体積は変わりません。

物体を沈めた場合は、物体が水中で占める体積だけ水面が押し上げられます。

問題では、

水を移す
物体を沈める
水を追加する
途中で容器の広さが変わる
水位をグラフで表す

といった形で出題されます。

しかし、どの問題でも、

今ある水の体積はいくつか
↓
増えた・押しのけた体積はいくつか
↓
その場所の底面積はいくつか
↓
高さ＝体積÷底面積

と整理すれば考えやすくなります。

家庭では、実際の容器に水を入れて水位の変化を確認しながら、図と計算を結びつける方法も効果的です。

中学受験の立体図形「水」の問題は、水面だけを追うと難しくなります。「水や物体が何㎤の場所を占めているか」という体積に置き換えることが、安定して解くための最大のコツです。