中学受験算数の水位問題｜容器と水量の解き方

中学受験算数の水位問題は何を考える？

この記事では、中学受験算数の水位問題について、基本の考え方から典型問題、家庭での教え方まで順を追って分かりやすく解説します。

中学受験算数の水位問題は、見た目は立体図形ですが、考え方の中心はとてもシンプルです。

基本は、

体積＝底面積×高さ

です。

水を入れる、物体を沈める、容器の形が変わるといった問題でも、最終的には「体積がどれだけ増えたか」と「その体積がどの広さに広がるか」を考えます。

基本は「底面積×高さ＝体積」

たとえば、底面積が40cm²の直方体の容器に200cm³の水を入れたとします。

水の高さは、

200÷40＝5

なので、

5cm

です。

ここで大切なのは、

水の体積÷底面積＝水の高さ

という関係です。

水位問題では、この計算を何度も使います。

算数が苦手な子には、公式として覚えさせるより、

「40cm²の広さに200cm³の水を広げると、高さはいくつ？」

と考えさせると理解しやすくなります。

水位が変わる原因を先に見つける

水位問題では、まず「なぜ水位が変わったのか」を確認します。

主な原因は、

・水を追加した
・水を抜いた
・物体を沈めた
・容器の底面積が途中で変わった
・別の容器へ水を移した

などです。

たとえば物体を沈める問題なら、水そのものが増えたわけではありません。

物体が水の場所を押しのけることで、水位が上がります。

つまり、

水中に入った物体の体積＝押しのけられた水の体積

と考えます。

容器の形が変わる問題は断面積に注目する

水位問題が難しくなるのは、容器の途中で幅が変わる場合です。

たとえば下の部分の底面積が60cm²、上の部分が30cm²なら、同じ60cm³の水を加えても、

下の部分では、

60÷60＝1cm

しか上がりません。

一方、上の部分では、

60÷30＝2cm

上がります。

つまり、狭い部分ほど水位は大きく上昇します。

ここが水位グラフ問題にもつながります。

水位問題の基本パターンを例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る水位問題を例題で確認します。

例題1｜水を加えたときの水位

【問題】

底面積が50cm²の直方体の容器に、水が4cmの高さまで入っています。さらに150cm³の水を加えると、水位は何cmになりますか。

【解き方】

最初の水の体積は、

50×4＝200cm³

です。

そこへ150cm³加えるので、

200＋150＝350cm³

になります。

水位は、

350÷50＝7cm

です。

答えは、

7cm

です。

別の考え方として、増えた150cm³だけを使い、

150÷50＝3cm

水位が3cm上がったと考えてもよいでしょう。

4＋3＝7cm

となります。

例題2｜物体を沈めたときの水位上昇

【問題】

底面積が40cm²の容器に水が入っています。体積120cm³の直方体を完全に水の中へ沈めました。水位は何cm上がりますか。

【解き方】

物体が完全に沈むと、その体積120cm³の分だけ水が押しのけられます。

したがって、

120÷40＝3

答えは、

3cm上がる

です。

この問題では、

「物体の体積＝増えた水の部分の体積」

と考えます。

子どもが混乱していたら、

「物体が入った場所に、もともと水は置ける？」

と聞いてみてください。

物体が場所を取るので、その分だけ水が上へ押し上げられることがイメージできます。

例題3｜一部が細くなる容器の水位

【問題】

高さ10cmまでは底面積60cm²、それより上は底面積30cm²の容器があります。

この容器に720cm³の水を入れると、水位は何cmになりますか。

【解き方】

まず高さ10cmまで入る水の体積を求めます。

60×10＝600cm³

全体では720cm³なので、残りは、

720－600＝120cm³

です。

高さ10cmより上では底面積が30cm²です。

したがって、

120÷30＝4cm

さらに水位が上がります。

10＋4＝14cm

答えは、

14cm

です。

このタイプでは、容器全体を一度に考えず、

「形が変わる場所で分ける」

ことがポイントです。

例題4｜水位と時間のグラフ問題

一定の割合で水を入れているのに、水位の上がり方が途中で変化するグラフが出ることがあります。

たとえば、

最初はゆっくり上昇
途中から急に上昇

というグラフなら、途中から容器が細くなった可能性があります。

同じ量の水を毎分入れているなら、

底面積が大きい
→水位はゆっくり上がる

底面積が小さい
→水位は速く上がる

という関係です。

グラフの傾きが急になったら、

「水を入れる量が増えた」

と決めつけず、

「容器の広さが変わった可能性は？」

と考えることが大切です。

水位問題で間違えやすいポイント

水位問題では、計算そのものより「何の体積を考えているのか」で間違えることが多くあります。

水の体積と容器全体の体積を混同する

容器の高さが10cmだからといって、必ず高さ10cmまで水が入っているとは限りません。

たとえば底面積50cm²、高さ10cmの容器なら、容器全体の体積は、

50×10＝500cm³

です。

しかし水が200cm³しか入っていなければ、

200÷50＝4cm

までしか入りません。

「容器の高さ」と「水の高さ」を別々に考えましょう。

沈めた物体の体積を足す意味が分からない

物体を沈める問題で、

「どうして物体の体積を使うの？」

と疑問に思う子もいます。

たとえば100cm³の物体を完全に沈めると、物体が100cm³分の場所を取ります。

その場所には水が存在できないので、水100cm³分が上に押し出されます。

だから、

物体の体積÷底面積

で水位上昇を求められるのです。

ただし、物体が完全に沈んでいない場合は、水中に入っている部分の体積だけを考えます。

底面積が変わる場所を見落とす

複雑な容器では、

高さ6cmまでは広い
高さ6cmから上は細い

といった形が出ます。

この場合、最初から最後まで同じ底面積で割ってはいけません。

まず境目までに必要な体積を求め、

その後は新しい底面積を使います。

問題文や図を見たら、

「どこで形が変わる？」

を最初に確認しましょう。

cm・cm²・cm³の単位を混同する

水位問題では、

長さ：cm
面積：cm²
体積：cm³

が同時に出てきます。

たとえば、

体積÷底面積＝高さ

なので、

cm³÷cm²＝cm

となります。

子どもが式を迷ったときは、

「答えはcm？cm²？cm³？」

と単位を確認させると、計算方法に気づけることがあります。

家庭でできる水位問題の教え方

水位問題は、実物を使うと理解しやすい分野です。

家庭でも無理なく練習できます。

まず「増えた体積」を求める

水位が何cm上がったかを聞かれたとき、いきなり高さを考えないことがポイントです。

まず、

「何cm³増えた？」

を求めます。

その後、

増えた体積÷底面積

で水位上昇を出します。

たとえば底面積30cm²の容器に90cm³の水を追加したなら、

90÷30＝3cm

上がります。

この順番を習慣にすると、複雑な問題にも対応しやすくなります。

図に底面積と高さを書き込む

水位問題では、図の横に数字を書き込ませましょう。

例えば、

底面積：40cm²
最初の高さ：5cm
追加した水：120cm³

と書くだけで、情報整理ができます。

容器が途中で細くなる場合は、

下：60cm²
上：30cm²

のように書いておきます。

算数が苦手な子ほど、頭の中だけで数字を管理しないことが重要です。

ペットボトルや容器で実際に確かめる

家庭では、透明な容器に水を入れて実験すると理解しやすくなります。

たとえば、

広い容器
細いコップ

に同じ100mLの水を入れてみます。

細いコップのほうが水位は高くなります。

これだけでも、

「同じ体積なら、底面積が小さいほど水位が高くなる」

という感覚が身につきます。

積み木などを水に沈める実験も、物体が水を押しのけるイメージづくりに役立ちます。

翌日と1週間後に類題を解き直す

水位問題は、解説を読んだ直後は理解できても、数日後に同じ考え方が使えないことがあります。

おすすめは、

当日：例題を理解
翌日：数字を変えた類題
1週間後：容器の形や条件を変えた問題

という流れです。

1週間後にも、

「まず増えた体積を出す」

と自分で判断できれば、理解が定着してきています。

まとめ｜中学受験算数の水位は「体積の変化」で考える

中学受験算数の水位問題は、図が複雑になると難しく見えます。

しかし基本は、

体積＝底面積×高さ

の関係です。

問題を見たら、

何が変わったのか
↓
体積は何cm³増減したのか
↓
その部分の底面積は何cm²か
↓
体積÷底面積で高さを求める

という順番で考えましょう。

物体を沈める問題なら、

水中に入った物体の体積＝押しのけられた水の体積

です。

容器が途中で細くなる問題なら、

形が変わるところで分けて考えます。

水位グラフなら、

傾きが急
→底面積が小さい

傾きが緩やか
→底面積が大きい

と考えることができます。

家庭で子どもが止まったら、

「水は何cm³増えた？」
「その水はどの広さに広がる？」
「容器の幅は途中で変わっていない？」

と順番に聞いてみてください。

水位問題は公式を増やして解く単元ではありません。

体積の変化と、それを受け止める底面積の関係を見ること。

この考え方が分かれば、容器と水量、物体を沈める問題、水位グラフなど、中学受験で出るさまざまな水問題に対応しやすくなります。