中学受験算数のキセル算｜仕組みと解き方を解説

中学受験算数のキセル算とは？

この記事では、中学受験算数のキセル算について、分数を分ける仕組みから基本例題、応用問題、家庭で分かりやすく教える方法まで順を追って解説します。

キセル算とは、分数をうまく分解し、途中の項を打ち消し合わせることで長い計算を短くする方法です。

見た目は分数が何個も並んでいて大変そうですが、形を整えると途中の多くが消え、最初と最後の一部だけが残ります。

この形が昔の「キセル」に似て見えることから、キセル算と呼ばれています。

中学受験では、計算の工夫、数列、規則性などと組み合わせて出題されることがあります。

途中の数が消えて計算が簡単になる方法

たとえば、

1/（1×2）＋1/（2×3）＋1/（3×4）

という計算を考えます。

それぞれを普通に通分することもできますが、項数が10個、20個と増えると大変です。

そこで、

1/（1×2）＝1－1/2
1/（2×3）＝1/2－1/3
1/（3×4）＝1/3－1/4

と分けます。

並べると、

1－1/2
＋1/2－1/3
＋1/3－1/4

となります。

－1/2と＋1/2、－1/3と＋1/3が消えるので、

1－1/4＝3/4

だけが残ります。

これがキセル算の基本です。

まず分数を「引き算の形」に分ける

重要なのは、いきなり「消す」ことではありません。

先に分数を、隣り合う分数の差へ分解します。

たとえば、

1/（3×4）

なら、

1/3－1/4

です。

実際に確認すると、

1/3－1/4
＝4/12－3/12
＝1/12

となり、

1/（3×4）＝1/12

と一致します。

子どもがこの分解を不思議に感じたら、必ず通分して確かめてください。

「こういう公式だから」と覚えさせるより、等しいことを自分で確認するほうが定着します。

キセル算と部分分数分解の関係

中学数学以降では、こうした考え方を「部分分数分解」と呼ぶことがあります。

ただし、中学受験では難しい用語を覚える必要はありません。

小学生には、

「1つの分数を2つの分数の差に分ける」

と理解できれば十分です。

キセル算で重要なのは名称ではなく、

分解すると隣同士が消える

という構造を見抜くことです。

キセル算の基本的な解き方を例題で確認

ここでは、最も基本となる問題を解いてみます。

1÷（連続する2数の積）を分解する

例題です。

1/（1×2）＋1/（2×3）＋1/（3×4）＋1/（4×5）

を求めます。

それぞれ、

1/（1×2）＝1－1/2
1/（2×3）＝1/2－1/3
1/（3×4）＝1/3－1/4
1/（4×5）＝1/4－1/5

と分解します。

ここで大切なのは、

1/（n×（n＋1））

のように、連続する2つの整数が分母にある形です。

この形を見たら、キセル算が使えないか考えましょう。

並べて書くと途中の項が消える

先ほどの式を縦に並べると、

1－1/2
＋1/2－1/3
＋1/3－1/4
＋1/4－1/5

となります。

すると、

－1/2と＋1/2
－1/3と＋1/3
－1/4と＋1/4

がすべて打ち消し合います。

残るのは、

1－1/5

だけです。

したがって、

1－1/5＝4/5

答えは4/5です。

途中をすべて計算しなくても、最初と最後だけ見ればよいことが分かります。

最初と最後だけ残る理由を理解する

キセル算が苦手な子は、

「なぜ途中だけ都合よく消えるの？」

と疑問を持ちます。

理由は単純です。

ある項の「引く部分」が、次の項の「足す部分」と同じだからです。

たとえば、

1/2を引く
↓
次の項で1/2を足す

ので0になります。

1/3も同じです。

この仕組みが最後まで続きます。

家庭では、

「どの数とどの数がペアで消えている？」

と聞くと理解しやすくなります。

中学受験で出るキセル算の応用パターン

入試では、基本形をそのまま出すだけとは限りません。

分母や係数が変化した問題もあります。

分母が2つ飛びになっている問題

たとえば、

1/（1×3）＋1/（3×5）＋1/（5×7）

のような形です。

この場合、

1/（1×3）＝1/2×（1－1/3）

と分解できます。

なぜ1/2が必要なのでしょうか。

1－1/3＝2/3

なので、そのままでは1/3になりません。

1/2を掛けると、

1/2×2/3＝1/3

となります。

同様に、

1/（3×5）＝1/2×（1/3－1/5）

です。

間隔が2の場合は、差の大きさを調整する係数が必要になります。

係数が付いた分数の和

問題によっては、

2/（1×2）＋2/（2×3）＋……

のように、分子に数字が付く場合があります。

基本のキセル算が、

1/（n×（n＋1））
＝1/n－1/（n＋1）

なので、

2/（n×（n＋1））
＝2/n－2/（n＋1）

と考えられます。

形が少し変わっても、

「分解したら隣同士が消えるか」

を見ることが重要です。

数列・規則性と組み合わせた問題

中学受験では、

1/（1×2）
1/（2×3）
1/（3×4）

という並びから規則を見つけ、20項目までの和を求める問題もあります。

20項目までなら、

1－1/2
＋1/2－1/3
＋……
＋1/20－1/21

となります。

途中はすべて消え、

1－1/21＝20/21

です。

20個の分数を通分する必要はありません。

「第20項の最後の分母は21になる」

と見抜けるかがポイントです。

逆算して何項まであるかを求める問題

応用では、

1/（1×2）＋1/（2×3）＋……＝9/10

となるとき、何項あるかを求める問題も考えられます。

n項までなら、

1－1/（n＋1）

となります。

これが9/10なので、

1－1/（n＋1）＝9/10

1/（n＋1）＝1/10

したがって、

n＋1＝10

n＝9

です。

答えは9項です。

単純に和を求めるだけでなく、最後の分母から項数を逆算する力も必要になります。

キセル算が苦手な子への家庭での教え方

キセル算は、一度仕組みが分かると速く計算できる反面、公式だけ暗記すると少し形が変わっただけで解けなくなります。

公式ではなく実際に3～4項を書き出す

最初から、

「最初と最後だけ残る」

と覚えさせないほうがよいでしょう。

まず3～4項だけ分解します。

たとえば、

1－1/2
＋1/2－1/3
＋1/3－1/4

と実際に書かせます。

そして、

「どこが消える？」

と聞きます。

自分で見つけたほうが、仕組みとして記憶に残ります。

分解した後に符号を確認する

よくあるミスが、

1/3－1/4

を、

1/4－1/3

としてしまうことです。

後者は負の値になるため、元の正の分数とは一致しません。

家庭では分解したあと、

「どちらが大きい？」

と確認してください。

1/3のほうが1/4より大きいので、

1/3－1/4

なら正になります。

消える項へ線を引いて見える化する

算数が苦手な子には、

－1/2と＋1/2

を斜線で消すなど、実際に書き込ませる方法がおすすめです。

目で見て、

途中は全部ペアになる
最初と最後だけペアがない

と確認できます。

キセル算は、頭の中で処理するより紙の上で構造を見せるほうが理解しやすい単元です。

普通に通分する問題との見分け方を覚える

分数が並んでいれば何でもキセル算になるわけではありません。

まず注目したいのは、

1/（1×2）
1/（2×3）
1/（3×4）

のように、分母が規則的な2数の積になっている場合です。

そのうえで、

「2つの分数の差にできないか」

を試します。

うまく隣同士が消えればキセル算が有効です。

消えないなら、通分や別の計算方法を考えます。

「キセル算を使う」と先に決めるのではなく、「使える形を見抜く」ことが入試では重要です。

まとめ｜キセル算は「分ける→並べる→消す」で考える

中学受験算数のキセル算は、長く並んだ分数を効率よく計算する方法です。

基本となる形は、

1/（1×2）
1/（2×3）
1/（3×4）

のように、連続する2数の積が分母に並ぶ形です。

たとえば、

1/（3×4）

なら、

1/3－1/4

と分解できます。

その後、

分ける
↓
順番に並べる
↓
同じ分数を消す
↓
最初と最後を計算する

という流れで解きます。

さらに中学受験では、

分母の数字が2ずつ増える
係数が付く
数列と組み合わされる
項数を逆算する

といった応用問題へ発展します。

家庭で教えるときは、

「この公式を覚えて」

ではなく、

「分解すると本当に同じ値？」
「どの項とどの項が消える？」
「最後に何が残る？」

と順番に確認してください。

特に最初の3～4項を書き出し、実際に消えるところへ線を引くと、キセル算の仕組みが見えやすくなります。

キセル算は、特殊な裏技を暗記する単元ではありません。

規則的に並んだ分数を見て、

「分けたら隣同士が消えるのでは？」

と気づく力を身につける単元です。

「分ける→並べる→消す」。

この3段階を理解できれば、基本的な計算問題から数列を組み合わせた中学受験の応用問題まで対応しやすくなります。